बेयस अनुमानकों के बीच तुलना

पहले दिए गए जहां साथ द्विघात हानि । आज्ञा देना संभावना। बेस अनुमानक । $L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$ $\pi(\theta)$ $\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi$

भारित द्विघात हानि पर विचार करें जहां पूर्व । आज्ञा देना संभावना हो। बेयस अनुमानक का पता लगाएं । $L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$ $w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$ $\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi_1$

की तुलना करें और $\delta^\pi$ $\delta^\pi_1$

पहले मैंने देखा कि , और मैंने यह मान लिया था कि यह संभावना है, अन्यथा मुझे कोई पोस्टीरियर नहीं मिलता है, तो इसलिए द्विघात हानि के संबंध में बेयस अनुमानक $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} * 2 I_{(0, 1 / 2)} (θ) \sim B e t a (θ, 1)

$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$

E [π (θ | x)] = \frac{θ}{θ + 1}

$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$

मैं पुस्तक द बायेसियन चॉइस में देख रहा हूं और भारित द्विघात हानि के साथ जुड़े बेस अनुमानक के बारे में एक प्रमेय है और यह

δ^{π} (x) = \frac{E^{π} [w (θ) θ | x]}{E^{π} [w (θ) | x]}

$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$

क्या कोई मुझे समझा सकता है कि मैं इसकी गणना कैसे करूं?

मैंने कोशिश की है:

δ^{π} (x) = \frac{\frac{\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}}{\frac{\int f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x θ) π (θ) d θ}}

$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$

मुझे पता है कि समर्थन , लेकिन जब मैंने अंश में एकीकृत करने की कोशिश की $[0,\frac{1}{2}]$

\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ = \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ θ x^{θ - 1} d θ = \frac{1}{x} \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ^{2} x^{θ} d θ

$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$

मुझे कोई अच्छा परिणाम नहीं मिला।

— शीआन
स्रोत

ना गैर नकारात्मक यहाँ?

w (θ)

$w(\theta)$

— जुहो कोक्कल

मैं आपकी टिप्पणी को केवल " अप्रतिष्ठित " के बारे में नहीं समझता , क्योंकि (1) एक हानि फ़ंक्शन कभी भी नकारात्मक नहीं होगा और (2) आपका नुकसान फ़ंक्शन वैसे भी नकारात्मक नहीं हो सकता।

w (θ)

$w(\theta)$

— whuber

जवाबों:

सबसे पहले, ध्यान दें कि मैंने प्रश्न के मूल शब्द को ठीक किया है कि संकेतक कार्य को आपकी संभावना परिभाषाओं में लिखता है क्योंकि उन्हें not कार्य करने होंगे । इसलिए संभावना जो स्पष्ट रूप से एक से एकीकृत होती है: $x$ $\theta$

f (x) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} (x)

$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$

\int_{0}^{1} θ x^{θ - 1} d x = 1

$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$

दूसरा, पीछे में है नहीं एक बीटा के रूप में द्वारा संकेत के बाद से समारोह Greenparker बाधा के कारण के मूल्यों पर यह एक गामा वितरण भी नहीं है, लेकिन गामा वितरण का एक कटाव है। $\theta$

π (θ | x) \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ x^{θ - 1} \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ \exp {\log (x) θ}

$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$

θ

$\theta$

इसलिए बेयस अनुमानक पश्चगामी प्रत्याशा है जो अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन जिसे आंशिक रूप से एकीकरण द्वारा बंद रूप में प्राप्त किया जा सकता है: के बाद से

\begin{aligned} E [θ | x] & = \int_{0}^{1 / 2} θ \times θ \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \\ = \int_{0}^{1 / 2} θ^{2} \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$

\int_{0}^{1 / 2} θ^{k} \exp {- α θ} d θ = \frac{- 1}{α} {[θ^{k} \exp {- α θ}]}_{0}^{1 / 2} + \frac{k}{α} \int_{0}^{1 / 2} θ^{k - 1} \exp {- α θ} d θ

$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$

\int_{0}^{1 / 2} \exp {- α θ} d θ = \frac{1 - \exp {- α / 2}}{α}

$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$

अंतिम, जैसा कि मेरी पुस्तक में इंगित किया गया है , वास्तव में, में कम से कम न्यूनतम करने के बराबर है। जो कि अपने आप को में छोटा करने के बराबर है जो मूल पूर्व को एक नए पूर्व साथ प्रतिस्थापित करने के लिए मात्रा में है) जिसे एक घनत्व में बदलने की आवश्यकता है, वह है, $\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ | x) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ) f (x | θ) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int (θ - δ)^{2} w (θ) π (θ) f (x | θ) d θ

$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

π

$\pi$

w (θ) π (θ)

$w(\theta)\pi(\theta)$

π_{1} (θ) = w (θ) π (θ) / \int w (θ) π (θ) d θ

$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$

— शीआन
स्रोत

चुकता त्रुटि हानि भाग के लिए आपका उत्तर गलत है।

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = 2 θ x^{θ - 1} I_{(0, 1 / 2)} (θ) .

$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$

यह एक में वितरण है , न कि , और पीछे के यादृच्छिक चर में । तो आपका उत्तर गलत है, और सही उत्तर उस वितरण का पीछे का मतलब होगा। $Beta(\theta,1)$ $x$ $\theta$ $\theta$

दूसरे भाग के लिए,

(भारित हानि फ़ंक्शन के लिए पूर्व लेकिन आप इसे रूप में संदर्भित करते हैं । मैं नोटेशन को वापस स्विच कर रहा ।) $\pi_1$ $\pi$ $\pi_1$

Let , जहाँ एक सामान्य स्थिरांक है। आपको गणना करने की आवश्यकता है $\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$ $c$

\begin{aligned} δ^{π_{1}} (x) & = \frac{E^{π_{1}} [w (θ) θ | x]}{E^{π_{1}} [w (θ | x)]} \\ = \frac{\int w (θ) θ f (x | θ) π_{1} (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π_{1} (θ) d θ} \\ = \frac{\int θ f (x | θ) π^{'} (θ) d θ}{\int f (x | θ) π^{'} (θ) d θ} \\ = E^{π^{'}} [θ | x] \end{aligned}

$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$

इस प्रकार, भारित कम से कम वर्गों के नुकसान समारोह के लिए, प्रमेय का कहना है कि बेयस अनुमान एक अलग पूर्व के संबंध में पीछे का मतलब है। पूर्व जा रहा है

π^{'} (θ) \propto w (θ) π_{1} (θ) .

$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$

सामान्य करने वाला स्थिरांक । $\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

\begin{aligned} E_{π_{1}} [w (θ)] & = \int_{0}^{1 / 2} I_{0, 1} (θ) d (θ) = \frac{1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$

तो पूर्व । यह वही प्रश्न है जो आपने पहले प्रश्न में किया था। $\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

इस प्रकार परिदृश्यों के लिए उत्तर (जो भी हो) वही होगा। आप यहां अभिन्न पा सकते हैं । हालाँकि, यह उत्तर के रूप को सही करने के लिए पर्याप्त हो सकता है, और अभिन्न को पूरा नहीं करने के लिए।

— Greenparker
स्रोत