क्या डिराक के डेल्टा समारोह को गौसियन वितरण का एक उपवर्ग माना जाना चाहिए?

विकिडता में, ऑन्कोलॉजी में संभावना वितरण (सब कुछ की तरह) को जोड़ना संभव है, उदाहरण के लिए, कि टी-वितरण गैर-टी-वितरण का एक उपवर्ग है, देखें, जैसे,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

विभिन्न सीमित मामले हैं, उदाहरण के लिए, जब टी-वितरण में स्वतंत्रता की डिग्री अनंत तक जाती है या जब विचरण सामान्य वितरण (गौसियन वितरण) के लिए शून्य तक पहुंचता है। बाद के मामले में वितरण डिराक के डेल्टा फ़ंक्शन की ओर जाएगा।

मैं ध्यान देता हूं कि अंग्रेजी विकिपीडिया पर वर्तमान में विचरण पैरामीटर शून्य से बड़ा बताया गया है, इसलिए एक सख्त व्याख्या के साथ कोई यह नहीं कहेगा कि डिराक का डेल्टा फ़ंक्शन सामान्य वितरण का एक उपवर्ग है। हालांकि, मेरे लिए यह काफी ठीक है, जैसा कि मैं कहूंगा कि घातांक वितरण डिराक के डेल्टा फ़ंक्शन का एक सुपरक्लास है।

क्या यह बताने में कोई समस्या है कि डिराक का डेल्टा कार्य गौसियन वितरण का एक उपवर्ग है?

distributions normal-distribution dirac-delta

— फिन Åरूप नील्सन
स्रोत

अगर डायक डेल्टा गॉसियन का उपवर्ग है तो उसका कुर्तोसिस 3 होना चाहिए, है ना?

— अक्कल

मुझे लगता है कि अगर हम डिराक डेल्टा को कई संभाव्यता वितरणों के उपवर्ग के रूप में मानते हैं, तो कुर्तोसिस डायराक डेल्टा के लिए असंगत है। यह इनमें से किसी भी वितरण के उपवर्ग के रूप में डायक डेल्टा के बारे में बोलता है।

— फिन Finरूप नील्सन

संभाव्यता संदर्भ में डेल्टा को एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। यह सामान्य कार्य नहीं है

— अक्कल

जवाबों:

डिराक के डेल्टा को गॉसियन वितरण के रूप में माना जाता है जब ऐसा करने के लिए सुविधाजनक होता है, और ऐसा नहीं माना जाता है जब इस दृष्टिकोण से हमें अपवाद बनाने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, कहा जाता है एक आनंद लेने के लिए मल्टीवेरिएट अगर गाऊसी वितरण के लिए एक गाऊसी यादृच्छिक चर है सभी वास्तविक संख्या के विकल्प । (नोट: यह "उन्नत" आँकड़ों में एक मानक परिभाषा है)। के बाद से एक विकल्प है $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , मानक परिभाषा निरंतर (पतित यादृच्छिक चर) को गौसियन यादृच्छिक चर (माध्य और विचरण साथ) के रूप मेंमानती है। दूसरी ओर, हम ग्रेसियन वितरण के रूप में डिराक डेल्टा के लिए हमारे संबंध की उपेक्षा करते हैं, जब हम कुछ ऐसा विचार कर रहे होते हैं $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"संचयी प्रायिकता वितरण समारोह मानक विचलन के साथ एक शून्य मतलब गाऊसी यादृच्छिक चर के (CDF) है $\sigma$ जहांएक मानक गाऊसी यादृच्छिक चर के CDF है। "

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

$0$ $1$ $x \geq 0$

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$ लेकिन, बहुत से लोग आपको बताएंगे कि एक गाऊसी वितरण के रूप में एक डीरेका डेल्टा के बारे में उनकी पुस्तक के बाद से सरासर बकवास है, क्योंकि एक गाऊसी यादृच्छिक चर का विचरण एक सकारात्मक संख्या होना चाहिए (और उनमें से कुछ को दिखाने के लिए इस जवाब को वोट देना होगा। उनकी नाराजगी)। कुछ साल पहले आँकड़े पर इस बिंदु की बहुत जोरदार और रोशन चर्चा थी। लेकिन, दुर्भाग्य से यह केवल एक उत्तर पर टिप्पणियों में था (@ मैक्रो द्वारा, मेरा मानना है) और व्यक्तिगत उत्तरों के रूप में नहीं, और मैं इसे फिर से नहीं ढूंढ सकता। ।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

+1। मुझे यकीन नहीं है कि सीडीएफ के संबंध में कोई समस्या है, क्योंकि मेरा मानना है कि सीमा के किसी भी बिंदु पर सीडीएफ के एक अनुक्रम के सीमित मूल्य से कोई फर्क नहीं पड़ता है। इसे देखने के दो तरीके हैं। एक ध्यान रखना है कि आपका सीमित फॉर्मूला एक वैध सीडीएफ नहीं है (यह कैडलैग नहीं है)। एक और बात यह है कि आप एक साथ डिराक वितरण प्राप्त करते हैं, जब आप एक साथ देते हैं, लेकिन आप के सीमित मान को नियंत्रित कर सकते हैं और बीच कुछ भी हो (या बिल्कुल भी सीमा न हो)।

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

आपके द्वारा संदर्भित वार्तालाप इस उत्तर की टिप्पणियों में हुआ , हालांकि मुझे पूरी उम्मीद है कि अधिकांश पाठकों के लिए चर्चा बहुत जोरदार नहीं होगी । (+1)

— कार्डिनल

@ हमारे समुदाय का गहन ज्ञान। बहुत बढ़िया!

— मैथ्यू ड्र्यू

डेल्टा फ़ंक्शन वितरण के एक गणितीय सिद्धांत में फिट होता है (जो संभाव्यता वितरण के सिद्धांत से काफी अलग है , यहां शब्दावली अधिक भ्रमित नहीं हो सकती है)।

अनिवार्य रूप से, वितरण सामान्यीकृत कार्य हैं। उनका मूल्यांकन एक फ़ंक्शन की तरह नहीं किया जा सकता है, लेकिन फिर एकीकृत किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, एक वितरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है $D$

चलो का संग्रह हो परीक्षण कार्यों । एक परीक्षण समारोह एक सच्चा, ईश्वर के कार्य के लिए ईमानदार, सुगम, कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ है। एक वितरण एक रेखीय मानचित्रण $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

एक ईमानदार फ़ंक्शन एकीकरण ऑपरेटर द्वारा एक वितरण निर्धारित करता है $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

ऐसे वितरण हैं जो सच्चे कार्यों से जुड़े नहीं हैं, डायराक ऑपरेटर उनमें से एक है

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

इस अर्थ में, आप डिराक को सामान्य वितरण के एक सीमित मामले पर विचार कर सकते हैं। यदि औसत शून्य और विचरण साथ पीडीएफ के सामान्य वितरण का परिवार है , तो किसी भी परीक्षण कार्य के लिए $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

यह संभवतः अधिक सामान्यतः के रूप में व्यक्त किया गया है

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

जो गणितज्ञ संकेतन के दुरुपयोग पर विचार करेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति वास्तव में कोई मतलब नहीं है। लेकिन फिर, मैं कौन हूं , जो कि डीरेक की आलोचना करता है, जो सबसे अच्छा है। $\delta(x)$

बेशक, क्या यह डीरेक को सामान्य वितरण के परिवार का सदस्य बनाता है, एक सांस्कृतिक सवाल है। यहां मैं सिर्फ एक कारण दे रहा हूं कि यह इस पर विचार करने के लिए समझ में क्यों आता है।

— मैथ्यू ड्र्यू
स्रोत

जब भी मैं आपके बयानों से सहमत होता हूं, मुझे लगता है कि यह विपरीत है। एक डेल्टा फंक्शन गॉसियंस का एक उपसमूह नहीं है। बस निरंतर कार्यों की एक सीमा के रूप में एक सतत कार्य की आवश्यकता नहीं है।

— seanv507

@ seanv507 मैंने किसी भी तरह से निष्कर्ष नहीं निकालने की पूरी कोशिश की!

— मैथ्यू ड्र्यू

मैंने सोचा कि डिस्ट्रीब्यूशन डिस्ट्रीब्यूशन वेरिएबल के साथ

— डायराक

यदि आप इंटीग्रल्स की सीमा नहीं लिखते हैं तो वे अनिश्चित इंटीग्रल हो सकते हैं। इसके अलावा, यह वाक्य समझ में नहीं आता है: "एक परीक्षण फ़ंक्शन a एक सच्चा, ईश्वर के कार्य के लिए ईमानदार, चिकनी, कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ" है।

— ऑगोगमड सिप

@jkabrg यह समझ में क्यों नहीं आता है? जब से मैंने इसे लिखा है, मेरे लिए यह समझ में नहीं आना मुश्किल है।

— मैथ्यू ड्र्यू

-1

नहीं, यह सामान्य वितरण का एक उपवर्ग नहीं है।

मुझे लगता है कि भ्रम डायराक फ़ंक्शन के अभ्यावेदन से आता है। याद रखें कि इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

इसे एक अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, जो महान है लेकिन कभी-कभी आपको इसे अभिन्न के बजाय फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व द्वारा संचालित करने की आवश्यकता होती है। इसलिए, लोग सभी प्रकार के विकल्पों के साथ आए, उनमें से एक गॉसियन घनत्व की तरह दिखता है:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

हालाँकि, यह एकमात्र प्रतिनिधित्व नहीं है , उदाहरण के लिए यह एक है:

δ (x) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{i k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

इसलिए, इसकी अभिन्न परिभाषा के संदर्भ में डीरेक कार्य के बारे में सोचना सबसे अच्छा है, और सुविधा के उपकरण के रूप में फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व, जैसे कि गौसियन को लें।

अद्यतन करने के लिए @ whuber की बात, एक बेहतर उदाहरण भी यह डायराक के डेल्टा का प्रतिनिधित्व है:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

क्या यह आपके लिए लाप्लासियन वितरण जैसा दिखता है ? क्या हमें तब डिराक के डेल्टा को लाप्लासियन वितरण के उपवर्ग के रूप में नहीं समझना चाहिए?

— Aksakal
स्रोत

इस उत्तर में कुछ बिंदु पर आप चर्चा करने के लिए वितरण से चर्चा करने के लिए स्विच करने लगते हैं। प्रश्न स्पष्ट रूप से "संभाव्यता वितरण" को संदर्भित करता है। जिन्हें आमतौर पर घनत्व कार्यों द्वारा नहीं दिया जाता है, लेकिन हमेशा उनके वितरण समारोह द्वारा दिया जा सकता है। एक परमाणु का वितरण - "डीरेका डेल्टा" - एक सीमित मामले के रूप में अन्य सभी गाऊसी वितरण के साथ खूबसूरती से फिट बैठता है। (मैथ्यू ड्र्यू की स्थापना में, इसे उस सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है!) आपका तर्क यह दावा करने के समान है कि, कहते हैं, मंडलियां दीर्घवृत्त नहीं हैं। ऐसे अपवादों को लागू करना रचनात्मक नहीं लगता है।

— whuber

@ शुभंकर, "परमाणु का वितरण" क्या है?

— अक्कल

एक "परमाणु" एक बिंदु पर संभावना की एक गांठ है। समान रूप से, यह किसी भी यादृच्छिक चर का वितरण है जो लगभग हर जगह स्थिर है।

— whuber

@whuber, ओह, मैं एक भौतिक परमाणु के बारे में सोच रहा था। नहीं, मेरा कहना यह है कि डिराक का डेल्टा गाऊसी का उपवर्ग नहीं है, क्योंकि यह डिस्ट्रो की तरह लाप्लासियन द्वारा भी प्रस्तुत किया जा सकता है

— अक्सकल

पुन: लाप्लास वितरण के बारे में अपनी बात। जैसे एक वर्ग एक आयत और एक समभुज दोनों है, और समान वितरण एक समान वितरण और एक बीटा वितरण का एक विशेष मामला है , एक वितरण वितरण के कई नामित परिवारों से संबंधित हो सकते हैं। वास्तव में डेल्टा वितरण हर स्थान-स्तरीय परिवार से संबंधित है और कम से कम एक डेल्टा वितरण हर पैमाने के परिवार से संबंधित है। ज्यामितीय रूप से, परिवार वितरण के एक स्थान में वक्र हैं; दिया गया वितरण एक बिंदु है; और (स्पष्ट रूप से) कोई भी बिंदु कई वक्रों से संबंधित हो सकता है।

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber