एक सामान्य सामान्य यादृच्छिक चर के वर्ग का Pdf [बंद]

बन्द है। यह सवाल ऑफ टॉपिक है । यह वर्तमान में उत्तर स्वीकार नहीं कर रहा है।

इस प्रश्न को सुधारना चाहते हैं? प्रश्न को अपडेट करें ताकि यह क्रॉस मान्य के लिए विषय पर हो ।

4 साल पहले बंद हुआ ।

मुझे यह समस्या है जहाँ मुझे का pdf खोजना होगा । मुझे पता है कि का वितरण । किस प्रकार का वितरण है ? समान है ? मैं पीडीएफ कैसे खोजूं? $Y = X^2$ $X$ $N(0,1)$ $Y = X^2$ $X$

— Melye77
स्रोत

की पीडीएफ के रूप में एक समान नहीं हो सकती के रूप में nonegative हो जाएगा।

Y = X^{2}

$Y = X^2$

X

$X$

Y

$Y$

— जॉनके

वैसे मैं टेस्ट के लिए अभ्यास कर रहा हूं इसलिए नहीं, यह होमवर्क नहीं है। मैं उन्हें अपने आप से हल करने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन मैं इसे समझ नहीं सकता हूं

— Melye77

कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें । फिर हमें बताएं कि इस प्रकार आप क्या समझ रहे हैं, आपने क्या प्रयास किया है और आप कहां फंस गए हैं। हम आपको बिना रुके मदद करने के लिए संकेत प्रदान करेंगे।

— गूँग - मोनिका

यदि आप इस विशेष प्रश्न के सीधे उत्तर की तलाश कर रहे हैं, तो ध्यान दें कि दिनचर्या "पुस्तक-कार्य" शैली के प्रश्न जैसे कि इस self-studyटैग को ले जाना चाहिए (और आपको इसका टैग-विकी पढ़ना चाहिए और इस तरह के पूछने पर दिशानिर्देशों का पालन करने के लिए अपने प्रश्न को संशोधित करना चाहिए। प्रश्न - आपको यह स्पष्ट रूप से पहचानने की आवश्यकता होगी कि आपने स्वयं समस्या को हल करने के लिए क्या किया है, और उस बिंदु पर विशिष्ट सहायता की आवश्यकता बताएं, जिस पर आपको कठिनाई हुई थी)। ... ctd

— Glen_b -Reinstate मोनिका

ctd ... दूसरी ओर, यदि आप इस प्रकार के एक सामान्य प्रश्न का उत्तर मांग रहे हैं (जैसे "मैं एक रूपांतरित यादृच्छिक pdf का pdf कैसे प्राप्त करूं? '), यह एक अच्छा प्रश्न है, जो पहले से ही है? साइट पर कुछ बार उत्तर दिया गया।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

आपने प्रायिकता सिद्धांत और आँकड़ों के सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से एक पर ठोकर खाई है। मैं एक उत्तर लिखूंगा, हालांकि मैं निश्चित हूं कि यह प्रश्न इस साइट पर पहले पूछा गया है (और उत्तर दिया गया है)।

सबसे पहले, ध्यान दें कि की पीडीएफ $Y = X^2$ के रूप में एक समान नहीं हो सकती $X$ के रूप में $Y$ गैर नकारात्मक हो जाएगा। $Y$ के वितरण को प्राप्त करने के लिए हम तीन तरीकों का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात् mgf तकनीक, cdf तकनीक और घनत्व परिवर्तन तकनीक। चलो शुरू करें।

क्षण उत्पन्न करने की क्रिया तकनीक ।

या विशेषता फ़ंक्शन तकनीक, जो भी आपको पसंद है। हमें $Y=X^2$ का mgf खोजना होगा । इसलिए हमें अपेक्षा की गणना करने की आवश्यकता है

इ [इ^{टी {एक्स}^{2}}]

$E\left[e^{tX^2}\right]$

अचेतन सांख्यिकीविद् के कानून का उपयोग करना , हम सभी को $X$ के वितरण पर इस अभिन्न गणना करना है । इस प्रकार हमें गणना करने की आवश्यकता है

\begin{aligned} इ [इ^{टी {एक्स}^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} इ^{टी {एक्स}^{2}} इ^{- \frac{{एक्स}^{2}}{2}} घ एक्स & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{{एक्स}^{2}}{2} (1 - 2 टी)} घ टी \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{(1 - 2 टी)}^{1 / 2}}{{(1 - 2 टी)}^{1 / 2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{{एक्स}^{2}}{2} (1 - 2 टी)} घ टी \\ = {(1 - 2 टी)}^{- 1 / 2}, टी < \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$

जहां अंतिम पंक्ति में हमने गौसियन इंटीग्रल के साथ अभिन्न शून्य और विचरण $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ । बेशक यह वास्तविक रेखा पर एक को एकीकृत करता है। अब आप उस परिणाम के साथ क्या कर सकते हैं? ठीक है, आप एक बहुत ही जटिल उलटा परिवर्तन लागू कर सकते हैं और इस एमजीएफ से मेल खाती पीडीएफ को निर्धारित कर सकते हैं या आप इसे केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ ची-चुकता वितरण के एमजीएफ के रूप में पहचान सकते हैं। (याद रखें कि ची-स्क्वर्ट वितरणसाथ गामा वितरण का एक विशेष मामला है $\alpha = \frac{r}{2}$ , $r$ स्वतंत्रता की डिग्री जा रहा है, और $\beta = 2$ )।

सीडीएफ तकनीक

यह शायद सबसे आसान काम है जिसे आप कर सकते हैं और यह टिप्पणियों में Glen_b द्वारा सुझाया गया है। इस तकनीक के अनुसार, हम गणना करते हैं

{एफ}_{Y} (y) = पी (Y \leq y) = पी ({एक्स}^{2} \leq y) = पी (| एक्स | \leq \sqrt{y})

$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$

और चूंकि वितरण कार्य घनत्व कार्यों को परिभाषित करते हैं, एक सरल अभिव्यक्ति मिलने के बाद हम अपने पीडीएफ को प्राप्त करने के लिए $y$ संबंध में अंतर करते हैं । हमारे पास तब है

\begin{aligned} {एफ}_{Y} (y) = पी (| एक्स | \leq \sqrt{y}) = पी (- \sqrt{y} < एक्स < \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$

जहां $\Phi(.)$ एक मानक सामान्य चर के CDF को दर्शाता है। हमें मिलने वाले $y$ संबंध में करना,

च_{Y} (y) = {एफ}_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} φ (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} φ (- \sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{y}} φ (\sqrt{y})

$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$

जहां $\phi(.)$ अब एक मानक सामान्य चर के पीडीएफ है और हम तथ्य यह है कि यह शून्य के बारे में सममित है इस्तेमाल किया है। इसलिये

च_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} इ^{- \frac{y}{2}}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$

जिसे हम आजादी के एक डिग्री के साथ ची-वर्गीय वितरण के पीडीएफ के रूप में पहचानते हैं (आप अब तक एक पैटर्न देख सकते हैं)।

घनत्व परिवर्तन तकनीक

इस बिंदु पर आप आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि हम केवल उस परिवर्तन तकनीक का उपयोग क्यों नहीं करते जिससे आप परिचित हैं, यानि कि एक फ़ंक्शन $Y = g(X)$ हमारे पास $Y$ का घनत्व दिया गया है।

च_{Y} (y) = | \frac{घ}{घ y} {जी}^{- 1} (y) | च_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

$y$ $g$ $X$ $Y$ $g$

$X$ $Y= g(X)$ $g$ $Y$

च_{Y} (y) = Σ | \frac{घ}{घ y} {जी}^{- 1} (y) | च_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

जहां योग सभी व्युत्क्रम कार्यों पर चलता है। यह उदाहरण स्पष्ट कर देगा।

$y = x^2$ $x = \pm \sqrt{y}$ $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

च_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} इ^{- y / 2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} इ^{- y / 2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} इ^{- y / 2}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$

आजादी के एक डिग्री के साथ ची-चुकता वितरण की पीडीएफ। एक साइड नोट पर, मुझे यह तकनीक विशेष रूप से उपयोगी लगती है क्योंकि अब आपको परिवर्तन के सीडीएफ को प्राप्त नहीं करना है। लेकिन निश्चित रूप से, ये व्यक्तिगत स्वाद हैं।

तो आप आज रात पूरी तरह से आश्वस्त बिस्तर पर जा सकते हैं कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर का वर्ग स्वतंत्रता के एक डिग्री के साथ ची-चुकता वितरण का अनुसरण करता है।

— JohnK
स्रोत

हम आमतौर पर स्व अध्ययन के प्रश्नों के पूर्ण उत्तर नहीं देते हैं, लेकिन केवल संकेत देते हैं। तथ्य यह है कि ओपी ने टैग नहीं जोड़ा है या हमारी नीतियों का पालन करने का प्रयास नहीं किया है इसका मतलब है कि यह धागा बंद होना चाहिए। आप स्वयं अध्ययन सवाल पर हमारी नीति पा सकते हैं यहाँ ।

— गंग -

@ मुझे लगता है कि ओपी को कहीं भी जवाब मिल सकता है, यह निश्चित है कि यह बिल्कुल भी

— गलत

आत्म अध्ययन के सवालों के साथ यह हमेशा बहुत सच होगा। फिर भी हम आम तौर पर उनके लिए लोगों के होमवर्क का पूरा जवाब नहीं देते हैं, लेकिन सिर्फ उन्हें खुद के लिए यह पता लगाने में मदद करने के लिए संकेत देते हैं।

— गंग -

@ जॉन, उत्तर के लिए धन्यवाद। CDF तकनीक पर आपने जो लिखा है उस पर बस एक सवाल: क्या यह नहीं होना चाहिए

f_{Y} (y) = \frac{1}{2} F_{Y}^{'}

$f_Y(y) = \frac{1}{2}F_Y^{\prime}$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} P (- y ⩽ Y ⩽ y) = f_{Y} (y) - (- f_{Y} (y)) = 2 \cdot f_{Y} (y)

$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) = f_Y(y)-(-f_Y(y))= 2\cdot f_Y(y)$