रैंडम ओवरलैपिंग अंतराल

Question

मैं निम्नलिखित समस्या में एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति कैसे प्राप्त कर सकता हूं ?$D(n,l,L)$

मैं बेतरतीब ढंग से ड्रॉप लंबाई की "सलाखों" अंतराल में । "बार" ओवरलैप कर सकते हैं। मैं कम से कम एक "बार" के कब्जे वाले अंतराल की कुल लंबाई खोजना चाहता हूं ।$n$$l$$[0,L]$$D$$[0,L]$

"कम-घनत्व" सीमा में, ओवरलैप नगण्य होना चाहिए और । "उच्च घनत्व" सीमा में, दृष्टिकोण । लेकिन मैं लिए एक सामान्य अभिव्यक्ति कैसे प्राप्त कर सकता हूं ? यह काफी मौलिक सांख्यिकीय समस्या होनी चाहिए, लेकिन मैं मंचों में एक व्याख्यात्मक समाधान नहीं ढूंढ सका।$D = n\cdot l$$D$$L$$D$

किसी भी तरह की सहायता का स्वागत किया जाएगा।

ध्यान दें कि सलाखों को वास्तव में एक दूसरे के यादृच्छिक (सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र) गिरा दिया जाता है।

Comments

क्या यह एक पाठ्यक्रम या पाठ्यपुस्तक से एक प्रश्न है? यदि हां, तो कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें ।

— गंग -

नहीं यह नहीं। आप नमूना द्वारा कंप्यूटर के साथ आसानी से व्याप्त लंबाई की गणना कर सकते हैं, लेकिन समस्या यह है कि मौलिक इसे हल करने के लिए एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण होना चाहिए। चूंकि मेरे सभी प्रयास विफल हो गए थे, मैं बस इसे करने के लिए उत्सुक था।

— डेनियल

[0, L] पर सलाखों को "कैसे" गिराया जाता है, इसके लिए आपका मॉडल क्या है? क्या उनके लिए किनारों पर रहना संभव है? संपादित करें: आपका ड्राइंग और उत्तर यह सुझाव है।

— एड्रियन

संभावना खोजें $p(x)dx$ कि एक दिया $dx$ कवर नहीं किया गया है - जो एक चौराहा है $n$ईद की घटनाएँ। फिर एक खुला भाग की अपेक्षित लंबाई बस है$\int_0^L p(x)dx$।

— के रूप में

Answer 1

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

में एक बिंदु की संभावना $[x_0,x_0 + L]$ एक गिरा बार द्वारा कब्जा किया जाना है

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$।

इसके विपरीत, खाली होने की संभावना है $P_{e} = 1 - P_o$। संभावना है कि किसी दिए गए बिंदु के बाद भी खाली है$n$ गिरा बार है $P_e^{n}$, और कब्जा किया जाना है

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

बड़े के लिए $n$।

फिर, मतलब में व्याप्त लंबाई $[x_0,x_0 + L]$ उपरांत $n$ यादृच्छिक "बार ड्रॉप्स" है

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$।

Comments

आप सही रास्ते पर हैं, लेकिन कुछ संकेत हैं कि अधिक देखभाल की आवश्यकता हो सकती है। शायद सबसे महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि किसी भी दो बिंदुओं से जुड़ी घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं: क्या, फिर, संभावनाओं को गुणा करना उचित है? मैं आपकी अभिव्यक्ति के लिए भी मानता हूं$P_0$गलत है। उदाहरण के लिए, मामला जहां$l=L=1$। आपके ड्राइंग से यह प्रतीत होता है कि आप मान रहे हैं कि बार के बाएं छोर पर अंतराल पर एक समान वितरण है$[-l, L]=[-1,1]$। नतीजतन मौका है कि$0$ कवर किया गया है $1/2$, जो नहीं के बराबर है $l/L=1$।

— whuber

संकेत के लिए धन्यवाद। आप सही हैं, मुझे लिखा जाना चाहिए कि यादृच्छिक "चित्र" के बीच शून्य सहसंबंध होना चाहिए। और आप सही भी हैं, उपरोक्त समाधान केवल तभी मान्य है जब सलाखों को बाहर निकलने की अनुमति नहीं है। जब हम उन्हें बाहर निकलने की अनुमति देते हैं तो समस्या कैसे हल हो सकती है?

— डैनियल

मेरा कहना है कि जब भी बार बेतरतीब ढंग से गिराए जाते हैं और तब भी किसी भी दिए जाने पर भी स्वतंत्र रूप जाता है$x,y\in [0,L]$ घटनाओं "इस बार कवर बिंदु $x$"और" यह वही बार कवर बिंदु है $y$"दृढ़ता से अन्योन्याश्रित हैं। विशेष रूप से, यदि $|x-y|\gt l$, वे एक साथ नहीं हो सकते। इस कठोरता से निपटने का एक तरीका संभावनाओं को उम्मीदों से संबंधित करना है।

— whuber

मैंने अब सीमा प्रभाव पर विचार किया। मुझे आपका कहना है कि अंतराल में दो अलग-अलग बिंदुओं पर कब्जे का संबंध है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह समाधान को कैसे प्रभावित करेगा।

— डैनियल