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Question

हमारे पास कार्ड का एक डेक है । हम प्रतिस्थापन से यादृच्छिक रूप से समान रूप से कार्ड बनाते हैं। 2 n ड्रॉ के बाद , अपेक्षित कार्डों की संख्या कभी नहीं चुनी जाती है?$n$$2n$

यह प्रश्न समस्या का भाग 2 है। 2.12 इन

एम। मिटज़ेनमाकर और ई। अपफ़ल, प्रोबेबिलिटी एंड कम्प्यूटिंग: रैंडमाइज़्ड अल्गोरिथम एंड प्रोबेबिलिस्टिक एनालिसिस , कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2005।

इसके अलावा, इसके लायक क्या है, यह होमवर्क की समस्या नहीं है। यह स्व-अध्ययन है और मैं अभी अटका हुआ हूं।

इस प्रकार मेरा जवाब है:

चलो अलग कार्ड देखा के बाद की संख्या हो मैं वें आकर्षित। फिर:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

यहाँ विचार यह है कि हर बार जब हम ड्रा करते हैं, हम या तो हमारे द्वारा देखे गए कार्ड को खींचते हैं या हम ऐसे कार्ड को खींचते हैं जो हमने नहीं देखा है, और यह कि हम इस पुनरावृत्ति को परिभाषित कर सकते हैं।

$2n$$n-E[X_{2n}]$

मेरा मानना ​​है कि यह सही है, लेकिन इसका एक सरल समाधान होना चाहिए।

किसी भी तरह की सहायता का स्वागत किया जाएगा।

Comments

क्या आपने इसका अनुकरण किया है और परिणामों की तुलना की है?

— एडम

Answer 1

$\frac{n-1}{n}$$2n$

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(+1) यह एक अच्छी पहली शुरुआत देता है। अपेक्षा के रैखिकता के साथ इसे जोड़ने से एक किफायती और सुरुचिपूर्ण समाधान होता है।

— कार्डिनल

Answer 2

संकेत के लिए माइक धन्यवाद।

मैंने ये ढूंढ निकाला।

$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

और यह मुझे लगता है।

Comments

$n$$p \approx e^{-2}$

यह उससे थोड़ा अधिक जटिल हो सकता है। कार्ड की संभावना (i) छूट गई है जैसा आपने लिखा है। हालांकि, एक बार जब हम जानते हैं कि कार्ड (i) छूट गया था, तो लापता कार्ड (j) की संभावना बदल जाती है। मुझे नहीं पता कि क्या स्वतंत्रता का मुद्दा अंतिम परिणाम को बदल देगा लेकिन व्युत्पत्ति को जटिल बनाता है।

— एमिल फ्राइडमैन

@ ईमिल फ्राइडमैन: उम्मीद रेखीय है कि क्या सारांश स्वतंत्र हैं या नहीं। स्वतंत्रता की कमी विचरण की तरह मात्राओं को प्रभावित करती है, लेकिन अपेक्षा नहीं।

— डगलस ज़ारे

Answer 3

सिद्धांत को मान्य करने के लिए यहां कुछ आर कोड है।

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}