द्विभाजित द्विपद वितरण की कल्पना करें

Question

प्रश्न: 3-आयामी अंतरिक्ष में एक द्विभाजित द्विपद वितरण कैसा दिखता है?

नीचे विशिष्ट कार्य है जो मैं मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए कल्पना करना चाहूंगा; अर्थात्, , , और ।पी 1 पी $n$$p_{1}$$p_{2}$

$$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$$

ध्यान दें कि दो बाधाएं हैं; और । इसके अलावा, एक सकारात्मक पूर्णांक है, कहते हैं, ।p 1 + p 2 = 1 n $x_{1}+x_{2}=n$$p_{1}+p_{2}=1$$n$$5$

LaTeX (TikZ / PGFPLOTS) का उपयोग करके फ़ंक्शन को प्लॉट करने के दो प्रयास किए हैं। ऐसा करने पर, मुझे निम्नलिखित मानों के लिए नीचे दिए गए ग्राफ़ मिलते हैं: , और , और, , और क्रमशः । मैं डोमेन मूल्यों पर बाधा को लागू करने में सफल नहीं रहा हूं; , इसलिए मैं थोड़ा स्टम्प्ड हूं।p 1 = 0.1 p 2 = 0.9 n = 5 p 1 = 0.4 p 2 = 0.6 x 1 + x 2 = $n=5$$p_{1}=0.1$$p_{2}=0.9$$n=5$$p_{1}=0.4$$p_{2}=0.6$$x_{1}+x_{2}=n$

किसी भी भाषा में निर्मित विज़ुअलाइज़ेशन ठीक होगा (R, MATLAB, इत्यादि), लेकिन मैं LaTeX में TikZ / PGFPLOTS के साथ काम कर रहा हूं।

पहला प्रयास

$n=5$ , औरपी 2 = $p_{1}=0.1$$p_{2}=0.9$

दूसरा प्रयास

$n=5$ , औरपी 2 = $p_{1}=0.4$$p_{2}=0.6$

संपादित करें:

संदर्भ के लिए, यहां एक आलेख है जिसमें कुछ रेखांकन हैं। अतनु बिस्वासा और जिंग-शियांग ह्वांग द्वारा कागज का शीर्षक "एक नया द्विवर्षीय द्विपद वितरण" है। सांख्यिकी और संभावना पत्र 60 (2002) 231-240

संपादन 2: स्पष्टता के लिए, और टिप्पणियों में @GlenB के जवाब में, नीचे एक स्नैपशॉट है कि वितरण को मेरी पुस्तक में मुझे कैसे प्रस्तुत किया गया है। पुस्तक में अधोगामी / गैर-अध: पतन मामलों का उल्लेख नहीं है। यह बस इसे ऐसे ही प्रस्तुत करता है और मैंने इसकी कल्पना करना चाहा है। चीयर्स! इसके अलावा, जैसा कि @ जोंक द्वारा बताया गया है, X1 + X1 = 1 के संबंध में एक टाइपो होने की संभावना है, जो वह सुझाव देता है कि X1 + X1 = n होना चाहिए।

इससे समीकरण की छवि:

स्पैनोस, ए (1986) अर्थमेटिक मॉडलिंग की सांख्यिकीय नींव। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस

Comments

लेकिन यह एक निरंतर नहीं होना चाहिए, यह होना चाहिए? दोनों यादृच्छिक चर असतत हैं।

— JohnK

तो X1 और x2 स्वतंत्र हैं, क्या यह सही है? आपको एक छद्म -3 डी प्लॉट चाहिए? क्या एक हीटमैप स्वीकार्य होगा?

— गंग -

कुछ इस तरह ?

— एंटोनी परेलाडा

@ जोंक अगर और आप (और केवल ) के साथ काम कर रहे हैं । यह अविभाज्य द्विपद है (या, द्विभाजित माना जाता है, यह पतित है )। पी 1 + पी 2 = 1 एक्स 1 ~ द्विपद ( एन , पी 1 ) एक्स 2 n - एक्स $x_1+x_2=n$$p_1+p_2=1$$X_1\sim \text{Binomial}(n,p_1)$$X_2$$n-X_1$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

आपके पास अपने प्रश्न में एक द्विभाजित द्विपद के लिए विनिर्देश नहीं है। (एक द्विभाजित वितरण को निर्दिष्ट करने का एक से अधिक तरीका है जिसे बहुधा "द्विपद" कहा जा सकता है। आपके पास उनमें से कोई भी नहीं है, हालांकि आपका पतित होना उनमें से कुछ का एक विशेष मामला होगा।) ... चित्र में। आपका बिस्वासा और ह्वांग संदर्भ एक असतत बीवरिएट pmf के उपयुक्त प्रदर्शन नहीं हैं । संक्षेप में, आपके सवाल का कुछ भी अभाव है करने के लिए हैं और आपको अपने संदर्भ में मुख्य रूप से क्या से बचने के लिए एक उदाहरण के रूप में उपयोगी है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

इसके दो टुकड़े हैं: पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि व्यक्तिगत संभावनाएं क्या हैं, फिर आपको उन्हें किसी तरह से प्लॉट करने की आवश्यकता है।

एक द्विपद पीएमएफ कई सफलताओं के साथ संभावनाओं का एक समूह है। एक द्विवार्षिक द्विपद पीएमएफ 'सफलताओं' के संभावित संयोजनों के ग्रिड पर संभावनाओं का एक समूह होगा। आपके मामले में, आपके पास , इसलिए (ध्यान में रखते हुए कि सफलता एक संभावना है) ग्रिड में संभावित परिणाम हैं / द्विवार्षिक द्विपद वितरण। 0 6 × 6 = $n_i = n_j = 5$$0$$6\times 6 = 36$

हम पहले सीमांत द्विपद पीएमएफ की गणना कर सकते हैं, क्योंकि यह बहुत सीधा है। चूंकि चर स्वतंत्र हैं, प्रत्येक संयुक्त संभावना सिर्फ सीमांत संभावनाओं का उत्पाद होगी; यह मैट्रिक्स बीजगणित है। यहां मैं Rकोड का उपयोग करके इस प्रक्रिया को प्रदर्शित करता हूं :

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

इस बिंदु पर, हमारे पास संभाव्यता के दो अपेक्षित मैट्रेस हैं। हमें केवल यह तय करने की आवश्यकता है कि हम उन्हें कैसे प्लॉट करना चाहते हैं। सच कहूं तो, मैं 3 डी बार चार्ट का बहुत बड़ा प्रशंसक नहीं हूं। क्योंकि Rमेरे साथ सहमत होने के लिए, मैंने इन प्लॉटों को एक्सेल में बनाया है:

b19:

b46:

Comments

प्रस्तुति प्लस आर कोड के लिए धन्यवाद। इससे मुझे X1 + x2 = n के बारे में पूछना पड़ता है। यदि यह शर्त है, तो यहां प्रस्तुत किए गए स्तंभों की एक ही पंक्ति होनी चाहिए: reference.wolfram.com/language/ref/MultinomialDistribution.html वुल्फराम ग्राफ मेरा मानना ​​है कि @Glen_b को पतित मामला कहा जाता है? क्या इसका मतलब यह है कि आपने गैर-पतित मामले को प्रस्तुत किया है?

— ग्रीम वाल्श

ग्रीमवेलश, मेरी प्रस्तुति में एक द्विभाजित द्विपद नहीं दिखाया गया है जहां X1 + x2 = n। जैसा कि @Glen_b ने टिप्पणियों और उनके उत्तर में बड़े पैमाने पर चर्चा की है, मैं वास्तव में यह नहीं कहूंगा कि "द्विवार्षिक द्विपद वितरण" w / o इसे योग्य बनाते हैं। इसके अलावा, इसका मतलब यह होगा कि X1 और x2 स्वतंत्र नहीं हैं, जैसा कि आपने अपनी प्रतिक्रिया टिप्पणी में कहा था, लेकिन पूरी तरह से निर्भर है। सच में, मैंने ध्यान नहीं दिया कि यह एक ऐसा विचित्र संस्करण था (आप मुझे पर्याप्त रूप से नहीं पढ़ने के लिए दोषी ठहरा सकते हैं)। जैसा कि ग्लेन_ बी ने दिखाया, वह संस्करण स्तंभों की एक पंक्ति होगी। मैंने जो प्रस्तुत किया वह गैर-पतित मामला था।

— गंग - मोनिका

@ गुंग मुझे आपके नए प्लॉट पसंद हैं। मुझे लगता है कि आपकी चर्चा पतित मामले को ठीक करती है ("आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि व्यक्तिगत संभावनाएं क्या हैं" वास्तव में सब कुछ कहता है; पतित मामले की वास्तविक गणना तुच्छ है); मैंने सिर्फ उन तुच्छ गणनाओं को अंजाम दिया।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

गंग का उत्तर वास्तविक बिवरिएट द्विपद के लिए एक अच्छा उत्तर है, मुद्दों को अच्छी तरह से समझाते हुए (मैं इसे शीर्षक प्रश्न के एक अच्छे उत्तर के रूप में स्वीकार करने की सलाह दूंगा, सबसे अधिक दूसरों के लिए उपयोगी होने की संभावना है)।

गणितीय वस्तु जिसे आप वास्तव में अपने संपादन में पेश करते हैं, वह वास्तव में एक अविभाज्य स्केल किया हुआ द्विपद है। यहाँ द्विपद गणना द्वारा नहीं बल्कि अनुपात ( द्वारा विभाजित द्विपद ) द्वारा लिया गया मान है ।$x_1$$n$

तो चलिए चीजों को ठीक से परिभाषित करते हैं। ध्यान दें कि यादृच्छिक चर की कोई परिभाषा वास्तव में पेश नहीं की गई है, इसलिए हमें कुछ अनुमानों के साथ छोड़ दिया गया है।

बता दें कि ध्यान दें कि जब हम लिए गणितीय सूत्र देते हैं, तो यह आवश्यक है कि क्या मान ले सकता है, इसलिए । चलो , और ध्यान दें कि ।$Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$$P(Y_1=y_1)$$y_1$$y_1=0,1,...,n$$X_1=Y_1/n$$x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

फिर आपके द्वारा दिया गया समीकरण (ध्यान रहे कि और )।$P(X_1=x_1)$$x_2=n-x_1$$p_2=1-p_1$

के लिए , यह इस तरह दिखता है:$n=6,p_1=0.3$

हम डाल सकते हैं बस के तहत लेबल के एक दूसरे सेट रख कर काफी आसानी से ऊपर भूखंड पर मूल्यों, मूल्यों के बराबर द्वारा उठाए गए मूल्य से संकेत मिलता है (एक अलग रंग में शायद) ।$x_2$$x_1$$1-x_1$$x_2$

हम इसे (स्केल्ड) पतित द्विभाजित द्विपद के रूप में मान सकते हैं:

लेकिन यह वास्तव में कॉल करने के लिए एक खिंचाव का एक सा है कि पुस्तक में एक द्विभाजित द्विपद क्या है, (क्योंकि यह प्रभावी रूप से एक अविभाज्य द्विपद है)।

इस धारणा पर कि कोई व्यक्ति 3D प्लॉट के समान प्लॉट उत्पन्न करना चाहेगा, इस छोटे से (R) कोड के ऊपर दूसरे प्लॉट के काफी करीब पहुंच जाता है:

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

(आपको scatterplot3dपैकेज की आवश्यकता है जिसमें समान नाम का फ़ंक्शन है।)

एक "सच" (गैर-अध: पतन) बीवरिएट द्विपद में एक साथ दोनों चर में भिन्नता होती है। यहाँ एक विशेष प्रकार के द्विभाजन द्विपद (इस मामले में स्वतंत्र नहीं) का एक उदाहरण दिया गया है। मैंने कथानक में विभिन्न रंगों का उपयोग करने का सहारा लिया क्योंकि "लाठी" के जंगल में खो जाना बहुत आसान है अन्यथा।

एक वस्तु प्राप्त करने के कई तरीके हैं जिन्हें आप एक द्विभाजित द्विपद कह सकते हैं; यह विशेष प्रकार वह है जहां आपके पास , , ( सभी स्वतंत्र), फिर और ।$X\sim\text{bin}(n_0,p)$$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$$X_1=X+Y$$X_2=X+Z$

यह द्विपद और जो सहसंबद्ध हैं (लेकिन इसका नुकसान यह है कि यह नकारात्मक सहसंबंध नहीं पैदा करता है)।$X_1$$X_2$

इस प्रकार के द्विभाजित द्विपद वितरण के pmf के लिए एक अभिव्यक्ति हमदान, 1972 [1] में दी गई है, लेकिन मैंने उस गणना का उपयोग नहीं किया; कोई भी आसानी से प्रत्यक्ष गणना (न्यूमेरिक कनवल्शन) कर सकता है। इस विशेष मामले में 4 था और और केवल 2 थे, इसलिए पूरे ग्रिड में प्रत्यक्ष सांख्यिक गणना (अंतिम परिणाम में 49 मान) मुश्किल या अतिसक्रिय नहीं है। आप एक पतित द्विभाजित (दोनों आयाम ) के साथ शुरू करते हैं, ऊपर चित्रित एक के समान (लेकिन छोटा और "मुख्य विकर्ण" पर - बजाय प्रतिपक्षी ( ) और फिर स्वतंत्र घटक जोड़ें , विकर्ण के साथ और बाहर संभावना को फैलाना।$n_0$$n_y$$n_z$$=X$$x_1=x_2$$x_1+x_2=n$

[१]: हमदान, एमए (१ ९ 1972२),
"असमान सीमांत सूचकांकों के साथ द्विवार्षिक द्विपद वितरण का कैनोनिकल विस्तार"
अंतर्राष्ट्रीय सांख्यिकीय समीक्षा , ४० : ३ (दिसम्बर), पीपी। २-2-2-२d०।

Comments

अच्छा लगा। यह भी ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में$corr(X_1, X_2) = -1$

— जॉन्स

Glen_b। आपका बहुत बहुत धन्यवाद। यह इंगित करते हुए कि मैंने जो गणित वस्तु प्रस्तुत की है (जो मुझे प्रस्तुत की गई थी!) एक (स्केलेड) पतित द्विवर्णीय द्विपद बहुत सहायक रही है! मुझे यह शुरुआत से नहीं पता था। अन्त में, एक प्राथमिक अनुरोध! क्या आपके लिए यह स्पष्ट होना संभव है (गणित संकेतन के माध्यम से) कि आप एक सच्चे या वास्तविक द्विभाजित द्विपद को कैसे परिभाषित करते हैं? यह उपयोगी होगा, मुझे लगता है।

— ग्रीम वाल्श 15

@Gememe जैसा कि मैंने पहले ही टिप्पणियों (/ उत्तर) में उल्लेख किया है, एक वस्तु प्राप्त करने के कई तरीके हैं जिन्हें आप एक द्विभाजित द्विपद (वास्तव में बिस्वासा और ह्वांग संदर्भ का शीर्षक आपके प्रश्न में आपको बताता है) कह सकते हैं। यह निश्चित रूप से द्विपद के लिए अद्वितीय नहीं है, बहुत अधिक आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले अविभाजित वितरण के कई उपलब्ध बिवरिएट सामान्यीकरण हैं। "विशेष प्रकार का द्विभाजित द्विपद" मैंने अपने उत्तर में दिया है, जहां आपके पास , , (सभी स्वतंत्र), फिर और । ... ctdवाई ~ बिन ( एन वाई , पी ) जेड ~ बिन ( एन जेड , पी ) एक्स 1 = एक्स + वाई एक्स 2 = एक्स + $X\sim\text{bin}(n_0,p)$$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$$X_1=X+Y$$X_2=X+Z$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

ctd ... यह द्विपद और जो सहसंबद्ध होते हैं लेकिन इसका नुकसान यह है कि यह नकारात्मक सहसंबंध नहीं पैदा करता है, इसलिए यह सामान्य द्विवार्षिक मॉडलिंग के लिए द्विवार्षिक द्विपद के कुछ अन्य योगों जितना उपयोगी नहीं है। आमतौर पर जब आप एक अनियंत्रित वितरण परिवार को एक बीवरिएट को सामान्य करते हैं, तो आपको यह चुनना होगा कि आपको कौन से गुण सबसे अधिक चाहिए और जिन्हें आप छोड़ सकते हैं, और उन विकल्पों से बीवरिएट परिवारों के विभिन्न विकल्प बनेंगे। [सामान्य वितरण असामान्य है - एक "स्पष्ट" सामान्यीकरण है जो हम चाहते हैं कि सब कुछ के साथ सामान्य हो।]एक्स $X_1$$X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ ग्रेमे ... मैं कुछ और विवरण जोड़ने की योजना बना रहा हूं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 3

Mathematicaअब ऐसी चीजों में काफी मजबूत है - यह प्रलेखन में आपकी समस्या का समाधान है । छोटे परिवर्धन के साथ मैंने आसपास ( p = p1 = 0.4बेहतर दृश्य प्रस्तुति के लिए) खेलने के लिए एक मॉडल बनाया है । यही है कि इंटरफ़ेस कैसा दिखता है और इसे कैसे नियंत्रित किया जा सकता है।

टुकड़ा

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

यहां मुख्य बात यह है कि PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]जो सेल्फप्लेनेटरी है, मुझे लगता है। Multinomialबस इसका मतलब है कि आप piसंबंधित चर के लिए प्रत्येक के साथ बहुत सारे वितरण ले सकते हैं । सरल रूप है BinomialDistribution। बेशक, मैं इसे मैन्युअल रूप से बना सकता हूं, लेकिन नियम यह है कि यदि आपके पास बिल्ड-इन फ़ंक्शन है - तो आपको इसका उपयोग करना चाहिए।

यदि आपको कोड संरचना के बारे में कुछ टिप्पणियों की आवश्यकता है, तो कृपया मुझे बताएं।