यदि एक क्रॉस-कोवरियन मैट्रिक्स गैर-शून्य है तो परीक्षण कैसे करें?

Question

मेरे अध्ययन की पृष्ठभूमि :

गिब्स के नमूने में जहां हम (रुचियों का चर) और से और क्रमशः नमूना लेते हैं, जहां और , -dimensional यादृच्छिक वैक्टर हैं। हम जानते हैं कि प्रक्रिया आमतौर पर दो चरणों में विभाजित होती है:$X$$Y$$P(X|Y)$$P(Y|X)$$X$$Y$$k$

1. बर्न-इन पीरियड, जहां हम सभी नमूनों को छोड़ देते हैं। नमूने को और ।$X_1\sim X_t$$Y_1\sim Y_t$
2. "आफ्टर-बर्न-इन" अवधि, जहां हम अपने अंतिम वांछित परिणाम के रूप में नमूने करते हैं।$\bar{X} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k X_{t+i}$

हालाँकि, "आफ्टर-बर्न-इन" अनुक्रम स्वतंत्र रूप से वितरित नहीं किए गए हैं। इसलिए अगर मैं अंतिम परिणाम के विचरण का निरीक्षण करना चाहता हूं, तो यह बन जाता है$X_{t+1}\sim X_{t+k}$

$$\operatorname{Var}[\bar{X}] = \operatorname{Var}\left[\sum_{i=1}^k X_{t+i}\right] = \frac{1}{k^2}\left(\sum_{i=1}^k\operatorname{Var}[X_{t+i}] + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k \operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]\right)$$

यहाँ पर शब्द एक -covariance मैट्रिक्स है जो किसी भी पर साथ लागू होता है ।$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$$k\times k$$(i,j)$$i<j$

उदाहरण के लिए, मेरे पास है

$$X_{t+1} = (1,2,1)'\\ X_{t+2} = (1,0,2)'\\ X_{t+3} = (1,0,0)'\\ X_{t+4} = (5,0,-1)'$$

तो मैं अनुमान कर सकता है सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ$\operatorname{Cov}[X_{t+i}, X_{t+i+1}]$

$$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 (X_{t+i}-\mu_{t+i})(X_{t+i+1}-\mu_{t+i+1})'$$

अब मुझे दिलचस्पी है अगर परिणामी अनुमान काफी गैर-शून्य है, तो मुझे इसे अपने ।$\operatorname{Var}[\bar{X}]$

तो यहाँ मेरे प्रश्न आते हैं :

1. हम नमूना से । चूंकि बदल रहा है, मुझे लगता है कि और समान वितरण से नहीं हैं, इसलिए के समान नहीं है । क्या यह कथन सही है?$X_{t+i}$$P(X_{t+i}|Y_{t+i})$$Y_{t+i}$$X_{t+i}$$X_{t+i+1}$$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$
2. मान लें कि मेरे पास अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त डेटा है (अनुक्रम में पड़ोसी नमूने), क्या परीक्षण करने का कोई तरीका है अगर कोवरियन मैट्रिक्स महत्वपूर्ण रूप से एक है गैर शून्य मैट्रिक्स? मोटे तौर पर, मुझे एक संकेतक में दिलचस्पी है जो मुझे कुछ सार्थक क्रॉस-कोवरियन मैट्रिसेस के लिए मार्गदर्शन करता है जिन्हें मेरे अंतिम विचरण अनुमान में शामिल किया जाना चाहिए।$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

Comments

दरअसल, अब यह एक अच्छा सवाल है; मुझे लगता है कि कुछ अन्य लोगों को मेरे मुकाबले अच्छे जवाब देने के लिए बेहतर स्थान दिया जाएगा, इसलिए मैं इसे शीघ्र ही योग्य होने पर इसे बढ़ावा देना चाहता हूं (इस पर एक इनाम रखें)। [संक्षिप्त उत्तर: 1. वे दो सहसंयोजक अलग हैं। 2. आपको यह परीक्षण करने की आवश्यकता नहीं है कि क्या निरंतर चर सहसंबंधित हैं (सभी में लेकिन सबसे अधिक तुच्छ मामले हैं, एल्गोरिथ्म निर्भर चर उत्पन्न करके काम करता है) - परीक्षण की तुलना में सहसंबंध को मापने के लिए अधिक दिलचस्प;] ... यदि अच्छे उत्तर नहीं दिखाते हैं कि मैं उन छोटी टिप्पणियों का पूर्ण उत्तर में विस्तार

— करूंगा

ऐसा लगता है कि आपका प्रश्न आपके शीर्षक प्रश्न से बहुत व्यापक है। विशेष रूप से आपके शीर्षक प्रश्न को संबोधित करते हुए, बारलेट की गोलाकारता की परीक्षा होती है जो यह जांचने की अनुमति देती है कि क्या नमूना सहसंयोजक मैट्रिक्स विकर्ण है। आपको शायद इसे अपने क्रॉस-कोवरिएनस परिदृश्य के अनुकूल बनाने की आवश्यकता होगी (आपका "कोविरियन मैट्रिक्स" वास्तव में कोविरियस मैट्रिक्स नहीं है, यह एक क्रॉस-कोवरिएन मैट्रिक्स है; यह X_t और X_ {} दोनों के पूर्ण सहसंयोजक मैट्रिक्स का एक ऑफ-डायगोनल ब्लॉक है; t + 1} एक साथ)। CC to @Glen_b।

— अमीबा

मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि सहसंयोजक अधिक या कम ज्यामितीय रूप से क्षय करते हैं (जैसे-जैसे आप आगे बढ़ते हैं); समय के अलावा दूर के मूल्यों में बहुत कम सहसंबंध होता है ( शून्य नहीं बल्कि काफी हद तक प्रज्वलित) जबकि एक साथ पास होने वाले कभी-कभी काफी निर्भर हो सकते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@ १. फिर भी, स्थिर श्रृंखला के साथ, बहुत दूर के अंतराल पर (४ दूर नहीं है!), एसीएफ का क्या होता है? 2. आप कुछ जानते हैं कि MCMC से उत्पन्न मान कैसे काम करता है जो आप मनमाने समय की श्रृंखला के बारे में नहीं कह सकते हैं ... वे मार्कोवियन हैं । आप ध्यान देंगे कि मेरी पहले की टिप्पणियां यह दावा नहीं करती हैं कि निकटतम लैग्स को ज्यामितीय क्षय दिखाना होगा (जैसे मैंने नहीं कहा था कि लैग 4 में 3 से अधिक सहसंबंध को देखना असंभव था)। आप अभी भी (यदि कुछ शर्तें पकड़ते हैं) एसीएफ में ज्यामितीय क्षय की प्रवृत्ति बढ़ जाती है, क्योंकि आप बहुत दूर चले जाते हैं। $\quad$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यदि आपके नमूने की अवधि इतनी कम है, तो आपके पास क्रॉस कोवरियन के अत्यधिक सटीक अनुमान नहीं हैं, तो आपको बस इस तथ्य से निपटना पड़ सकता है कि क्रॉस-कोवरियन शब्दों के आपके अनुमानों में मानक त्रुटि है। मेरी वर्तमान समझ को देखते हुए मैं और अधिक दृढ़ता से सहसंबंधों के परीक्षण पर अपनी आपत्ति की पुष्टि करने जा रहा हूं। शून्य बनाम गैर-शून्य सहसंबंधों के लिए परिकल्पना परीक्षण आपकी समस्या का समाधान नहीं करता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

1. हम नमूना से । चूंकि बदल रहा है, मुझे लगता है कि और समान वितरण से नहीं हैं [...]$X_{t+i}$$P(X_{t+i}|Y_{t+i})$$Y_{t+i}$$X_{t+i}$$X_{t+i+1}$

आप यहां सशर्त और बिना शर्त वितरण को भ्रमित कर रहे हैं, मेरी अगली टिप्पणी भी देखें। सशर्त पर और , । लेकिन अपने गिब्स नमूना बनाने का पूरा बिंदु और के स्थिर वितरण से नमूना लेना है । बहुत मोटे तौर पर, यदि आप अपनी श्रृंखला को लंबे समय तक चलाते हैं और इसलिए स्थिर वितरण का अनुसरण करते हैं, तो आप फिर से कह सकते हैं। जिसका अर्थ है कि का बिना शर्त वितरण भी अपरिवर्तनीय है। दूसरे शब्दों में, के रूप में$Y_{t+i} = y_1$$Y_{t+i+1} = y_2$$P(X_{t+i}|Y_{t+i} = y_1) \neq P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1} = y_2)$$X$$Y$$\{Y_t\}$

$$\begin{align} P(X_t) = \int_{\mathcal{Y}}P(X_t|Y_t)dP(Y_t), \end{align}$$ $X_t$$t \to \infty$ to और हम स्थिर वितरणों में परिवर्तित होते हैं, , क्योंकि और को रूप से (वही!) स्थिर वितरण । दूसरी ओर और पहले की तरह, एक बार जब हम और , तो यह अब और नहीं होगा, भले ही कितना बड़ा हो।$P(X_{t+i}|Y_{t+i}) = P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1})$$Y_{t+i}$$Y_{t+i+1}$$P(Y_t)$$Y_{t+i} = y_1$$Y_{t+i+1} = y_2$$t$

[...] तो के समान नहीं है । क्या यह कथन सही है?$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$

हां, यह सही है - भले ही , यानी और का समान वितरण हो। मुझे पता है कि यह भ्रामक हो सकता है, लेकिन मेरे साथ है। को साथ परिभाषित करें । प्रतिस्थापन प्रतिस्थापन द्वारा, कोई यह दिखा सकता है कि , और चूंकि (अनंत) योग अभी भी सामान्य हैं, यह उस धारण करता है और ताकि । स्पष्ट रूप से, और$X_{t+1} \sim X_{t}$$X_t$$X_{t+1}$$Y_t = 0.8\cdot Y_{t-1} + \varepsilon_t$$\varepsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,1)$$Y_t = \sum_{i=0}^t0.8^i \varepsilon_{t-i}$$\text{Var}(Y_t) = \sum_{i=0}^t0.8^{2i} = \dfrac{1}{1-0.8^2}$$Y_t \overset{iid}{\sim} N(0, \dfrac{1}{1-0.8^2})$$Y_t$$Y_{t+1}$अभी भी सहसंबद्ध होंगे, लेकिन वे समान वितरण ( ) से भी आएंगे । ऐसी ही स्थिति आपके ।$Y_{t+1} \sim Y_{t}$$X_t$

2. मान लें कि मेरे पास अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त डेटा है (अनुक्रम में पड़ोसी नमूने), क्या परीक्षण करने का कोई तरीका है अगर कोवरियन मैट्रिक्स महत्वपूर्ण रूप से एक है गैर शून्य मैट्रिक्स? मोटे तौर पर, मुझे एक संकेतक में दिलचस्पी है जो मुझे कुछ सार्थक क्रॉस-कोवरियन मैट्रिसेस के लिए मार्गदर्शन करता है जिन्हें मेरे अंतिम विचरण अनुमान में शामिल किया जाना चाहिए।$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

ठीक है, अगर आपके पास असीम रूप से कई अवलोकन थे, तो वे सभी अंततः महत्वपूर्ण होंगे। स्पष्ट रूप से, आप व्यवहार में ऐसा नहीं कर सकते हैं, लेकिन कुछ शर्तों के बाद विस्तार को 'काट' रहे हैं, यहाँ दिए गए उत्कृष्ट उत्तर को देखें । मूल रूप से, आप एक कर्नेल को परिभाषित करते हैं, जो और पहले सहसंयोजक मैट्रिक्स को वजन प्रदान करता है जिसे आप गणना कर सकते हैं। यदि आप एक तरीके से चुनना चाहते हैं , तो आपको साहित्य में थोड़ी खुदाई करनी पड़ेगी, लेकिन मैंने जो पोस्ट है, वह आपको ठीक करने के लिए कुछ अच्छे संदर्भ देती है।$k(\cdot)$$0$$l_T$$l_T$