लंबे समय तक चलने वाला विचरण क्या है?

समय श्रृंखला विश्लेषण के दायरे में लंबे समय तक विचरण को कैसे परिभाषित किया जाता है?

मैं समझता हूं कि इसका उपयोग उस मामले में किया जाता है जब डेटा में सहसंबंध संरचना होती है। इसलिए हमारी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $X_1, X_2 \dots$ यादृच्छिक चर के बीच का परिवार नहीं होगी बल्कि केवल समान रूप से वितरित की जाएगी?

क्या मेरे पास अवधारणा के परिचय और इसके अनुमान में शामिल कठिनाइयों के रूप में एक मानक संदर्भ हो सकता है?

— Monolite
स्रोत

संबं धत ल ं क आँकड़े

— टेलर

यह धारावाहिक निर्भरता होने पर नमूने के मानक त्रुटि का एक उपाय है।

$Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$ और तीसरे स्थान पर होने का परिणाम, जिसका तात्पर्य उस ।

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

तो समस्या वास्तव में स्वतंत्रता की कमी है। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से देखने के लिए, नमूने के विचरण को रूप में लिखना

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

लंबे समय से चलने वाले विचरण का अनुमान लगाने में एक समस्या यह है कि हम निश्चित रूप से परिमित डेटा के साथ सभी ऑटोकॉवरियन का निरीक्षण नहीं करते हैं। कर्नेल (अर्थमिति में, "नेवी-वेस्ट" या HAC आकलनकर्ता) का उपयोग इस अंत तक किया जाता है,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ एक कर्नेल या वेटिंग फ़ंक्शन है, नमूना ऑटोकॉवरियन हैं। , अन्य चीजों के बीच सममित होना चाहिए और होना चाहिए । एक बैंडविड्थ पैरामीटर है।

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

एक लोकप्रिय कर्नेल बार्टलेट कर्नेल अच्छा पाठ्यपुस्तक संदर्भ हैमिल्टन, समय श्रृंखला विश्लेषण या फुलर हैं । एक सेमिनल (लेकिन तकनीकी) जर्नल लेख नेवी और वेस्ट, इकोनोमेट्रिका 1987 है ।

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

धन्यवाद! मैंने हैमिल्टन द्वारा टाइम सीरीज़ विश्लेषण की जाँच की। यह वास्तव में कहता है कि स्पेक्ट्रम का अनुमान लगाने का एक गैर-पैरामीट्रिक तरीका नमूना सहसंयोजकों का भारित औसत लेना है लेकिन यह इस कथन के निर्धारण के पीछे गणित में नहीं आता है। क्या आप एक संदर्भ पुस्तक या पेपर का सुझाव दे सकते हैं जो बताता है कि जब नमूना आकार बढ़ता है तो यह एक अच्छा अनुमानक क्यों होता है?

— मोनोलिट

अच्छी बात। कुछ संपादन किए

— क्रिस्टोफ़ हनक

यह शायद ध्यान देने योग्य है कि दूसरे ("मुश्किल") कदम के लिए वर्चस्व अभिसरण की आवश्यकता होती है (देखें । आँकड़े । रैकअभियोजन / 154070/… )।

— तमस फेरेंसी

@TamasFerenci, पॉइंटर के लिए धन्यवाद, मैंने लिंक को शामिल किया।

— क्रिस्टोफ हनक

@ क्रिस्टोफ़ हेंक, आपका स्वागत है, अपडेट के लिए धन्यवाद!

— तामस फेरेंसी