गैर-नकारात्मक पूर्णांक पर असतत वितरण से नमूना कैसे लें?

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मेरे पास निम्न असतत वितरण है, जहां ज्ञात स्थिरांक हैं: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

इस वितरण से कुशलता से नमूना लेने के लिए कुछ दृष्टिकोण क्या हैं?

— jii
स्रोत

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यह एक बीटा नकारात्मक द्विपद वितरण है , आपके मामले में पैरामीटर साथ , विकिपीडिया संकेतन का उपयोग करते हुए। यह भी नामित बीटा-पास्कल वितरण जब एक पूर्णांक है। जैसा कि आपने एक टिप्पणी में उल्लेख किया है, यह बायसियन नकारात्मक द्विपद मॉडल में एक पूर्वानुमान वितरण है जो सफलता की संभावना पर एक संयुग्म बीटा से पहले है। $r=1$ $r$

इस प्रकार आप इसे एक चर का नमूना करके और फिर एक नकारात्मक द्विपद चर ( अपने मामले में साथ नमूना ले सकते हैं, जो है एक ज्यामितीय वितरण कहने के लिए)। $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

यह वितरण R पैकेज में लागू किया गया है brr। सैंपलर में नाम है rbeta_nbinom, pmf का नाम है dbeta_nbinom, आदि नोटेशन , , । चेक: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

कोड को देखते हुए, कोई भी इसे वास्तव ghyperमें SuppDistsपैकेज के वितरण के (सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक) परिवार कह सकता है :

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

Ineed, BNB वितरण को IV सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक वितरण के रूप में जाना जाता है । की मदद देखें ghyperमें SuppDistsपैकेज। मेरा मानना है कि यह जॉनसन एंड अल की पुस्तक यूनीवेरेट डिसक्रीट डिस्ट्रीब्यूशन में भी पाया जा सकता है ।

— स्टीफन लॉरेंट
स्रोत

यह उत्तर बहुत अच्छा है, लेकिन यह और भी बेहतर होगा यदि आप साबित कर दें कि घनत्व ओपी तैनात नकारात्मक द्विपद घनत्व के समान है।

— साइकोरैक्स का कहना है कि

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@ user777 मुझे लगता है कि ओपी के लेखक ने खुद को साबित कर दिया, जियान के जवाब के बारे में उनकी टिप्पणी (संयुग्म बीटा पूर्व के साथ नकारात्मक द्विपद मॉडल में पूर्ववर्ती पूर्वानुमान वितरण)।

— स्टीफन लॉरेंट

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यह देखते हुए कि साथ कम हो रहा है, मैं सुझाव देता हूं कि एक समान संस्करण उत्पन्न करना और रकम जब तक अहसास तब संबंधित बराबर है । जबसे

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ और गणना गामा कार्यों का उपयोग करने से पूरी तरह से बच सकते हैं।

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— शीआन
स्रोत

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(+1) से बहुत तेज़ी आएगी काम।

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

1

पुन: संपादित करें: मुझे संदेह है कि गामा के कार्यों का शोषण फिर भी , , और संदर्भ में समाधान में सहायक होगा । उदाहरण के लिए, कोई और के मूल्यांकन में स्टर्लिंग के सूत्र का उपयोग करके प्रारंभिक अनुमान लगा सकता है और फिर कुछ न्यूटन-राफसन के साथ पॉलिश कर सकता है कदम। लॉग गामा और इसके व्युत्पन्न के मूल्यांकन की आवश्यकता है। बेशक अगर और दोनों अभिन्न हैं, तो समाधान एक बहुपद की जड़ है - लेकिन फिर भी गामा का उपयोग अभी भी जाने का रास्ता हो सकता है।

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

1

बहुत बढ़िया जवाब! मैंने SL द्वारा दिए गए उत्तर को स्वीकार कर लिया क्योंकि यह मेरे ध्यान में एक महत्वपूर्ण बिंदु (मूल प्रश्न का हिस्सा नहीं) लाया गया था, कि पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव से नमूना पोस्टीरियर से पैरामीटर का नमूना लेने के बराबर है, फिर संभावना से डेटा का नमूना लेना। विशेष रूप से, ऊपर दिए गए वितरण फ़ंक्शन पैरामीटर पर पूर्व बीटा के साथ एक ज्यामितीय डेटा का पूर्ववर्ती पूर्वानुमान है ।

p

$p$

— jII