कई स्थितियों के साथ बेयर्स प्रमेय

मुझे समझ नहीं आता कि यह समीकरण कैसे बना।

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

यह समीकरण "ट्रायल बाय प्रोबेबिलिटी" पेपर से था जहां ओजे सिम्पसन के मामले को एक उदाहरण समस्या के रूप में दिया गया था। प्रतिवादी पर दोहरे हत्याकांड का मुकदमा चल रहा है और उसके खिलाफ दो सबूत पेश किए गए हैं।

$M_{1}$ वह घटना है जिसमें प्रतिवादी का खून अपराध की घटना में मिले रक्त की एक बूंद से मेल खाता है। वह घटना है जिसमें पीड़ित का खून प्रतिवादी से संबंधित जुर्राब पर खून से मेल खाता है। अपराध मानते हुए, एक सबूत की घटना दूसरे की संभावना को बढ़ाती है। घटना का प्रतिवादी निर्दोष जबकि जब वह दोषी है। $M_{2}$ $I$ $I'$

हम इस संभावना को प्राप्त करने की कोशिश कर रहे हैं कि प्रतिवादी को दो सबूत दिए गए हैं।

कुछ चरों का मान दिया गया था, लेकिन मुझे इसमें दिलचस्पी है कि समीकरण कैसे बने। मैंने कोशिश की लेकिन कहीं नहीं मिली।

हां, मैंने पहले से ही 'प्रश्न जो आपके उत्तर हो सकते हैं' की जाँच की है।

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
स्रोत

का अर्थ क्या है ? क्या यह ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— शीआन

@ शीआन हाँ है एक और अंकन में

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

बायस प्रमेय द्वारा: अब आपके द्वारा प्रदान किया गया पेपर यह तर्क देता है

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

अगर सच , तो और स्वतंत्र हैं। लेकिन अपराध मानकर, एक की घटना दूसरे की संभावना को बढ़ा देती है। $I$ $M_1$ $M_2$

तो और इसलिए।

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

को प्राप्त करने के लिए , और की घटना के बाद से की संभावना बढ़ जाएगी : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— फ्रांसिस
स्रोत

मैं मदद करने के लिए समय निकालने के लिए सबसे पहले धन्यवाद देना चाहता हूं। लेकिन मैं अभी भी थोड़ा उलझन में हूं। क्या आप कृपया समीकरण संख्याएँ जोड़ सकते हैं और इंगित कर सकते हैं कि आपने बाद के प्रतिस्थापनों में पहले के समीकरण कहाँ लागू किए हैं? चीजें समझ में आने लगी हैं, लेकिन मुझे अभी भी 'और' के बाद असमानता नहीं मिली है, और जिस हिस्से में आप हर में स्थानापन्न होते हैं और पूरी चीज एक असमानता बन जाती है। मैं एक स्पष्टीकरण का अनुमान लगा रहा हूं कि कागज से उद्धृत तर्क को कैसे गणितीय रूप से अनुवादित किया जाता है। एक बार फिर धन्यवाद!

— सकुराबे

@ ससुराबे: बेहतर?

— फ्रांसिस

ठीक है, अब मुझे समझ में आया कि कैसे सबूत एक-दूसरे को सुदृढ़ करते हैं। अंतिम प्रश्न, क्या हमने ड्रॉप किया था ? एक प्रमेय या कुछ भी बिना ड्रॉप के रूप में? मेरा मतलब है, यह कुछ समझ में आता है क्योंकि यह (2) से परिणामी असमानता को उलट नहीं सकता है, साथ ही यह भी है कि मैंने यह मान लिया था कि उन्होंने कागज में पहले उदाहरण में केवल एक डीएनए प्रमाण शामिल किया था (हर में +1 के साथ) )। धन्यवाद, मैं वास्तव में आपकी मदद की सराहना करता हूं।

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— सकुराबे

@ शकुरबे: हां, क्योंकि यह शब्द गैर-नकारात्मक है, इसलिए इसे छोड़ने से हर को कम किया जाएगा।

— फ्रांसिस