क्या स्लटस्की की प्रमेय अभी भी मान्य है जब दो अनुक्रम दोनों एक गैर-पतित यादृच्छिक चर में परिवर्तित होते हैं?

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मैं स्लटस्की के प्रमेय के बारे में कुछ विवरणों को लेकर भ्रमित हूं :

Let , अदिश / सदिश / मैट्रिक्स यादृच्छिक तत्वों के दो क्रम होते हैं। $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

यदि एक यादृच्छिक तत्व के वितरण में परिवर्तित होता है और एक निरंतर लिए प्रायिकता में होता है , तो बशर्ते कि उल्टा है, जहां वितरण में अभिसरण को दर्शाता है। $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

यदि स्लटस्की के प्रमेय में दोनों अनुक्रम एक गैर-पतित यादृच्छिक चर में परिवर्तित हो जाते हैं, तो क्या प्रमेय अभी भी मान्य है, और यदि नहीं (कोई उदाहरण प्रदान कर सकता है?), तो इसे वैध बनाने के लिए अतिरिक्त शर्तें क्या हैं?

— निकोलस एच
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स्लटस्की के प्रमेय एक यादृच्छिक चर के वितरण में परिवर्तित दो अनुक्रमों तक नहीं है। यदि वितरण में होता है , तो अच्छी तरह से अभिसरण करने में विफल हो सकता है या अलावा किसी अन्य चीज़ में परिवर्तित हो सकता है । $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

उदाहरण के लिए, यदि सभी 's के लिए, , दो rv के समान वितरण के अंतर के साथ नहीं मिलता है । $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

एक और प्रति-उदाहरण है, जब अनुक्रम और स्वतंत्र होते हैं और दोनों एक सामान्य चर में वितरण में परिवर्तित होते हैं , यदि कोई को परिभाषित करता है और , तब इस उदाहरण पर अधिक जानकारी के लिए Davide का उत्तर देखें । $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— शीआन
स्रोत

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इसके विस्तार के लिए आपको कुछ और चाहिए, जैसे स्वतंत्रता।

— kjetil b halvorsen

क्या मैं यह सोचने में सही हूं कि यदि दोनों अनुक्रम एक स्थिर में परिवर्तित हो जाते हैं, तो स्लुटस्की डीईईएस अभी भी लागू होता है क्योंकि एक आरवी का एक विशेष (पतित) मामला है?

— आधे

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@ आधा-पास: यह सही है।

— शीआन

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मान लें कि एक गाऊसी केन्द्रित वेक्टर है जिसका सहसंयोजक मैट्रिक्स साथ । परिभाषित करें लिए और । फिर और , जहां और मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं। हालाँकि, गाऊसी है, केंद्रित है और इसका विचरण । चूँकि के वितरण के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है , इसलिए हम वितरण में नहीं कर सकते । $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

इस उदाहरण से पता चलता है कि वितरण में हमारे पास सामान्य और हो सकते हैं, लेकिन यदि हमारे पास के वितरण के बारे में जानकारी नहीं है , तो लिए अभिसरण विफल हो सकता है। $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

बेशक, सब कुछ ठीक है अगर वितरण में (उदाहरण के लिए यदि और के से स्वतंत्र है । सामान्य तौर पर, हम केवल उस क्रम पर जोर दे सकते हैं। तंग है (अर्थात, प्रत्येक धनात्मक , हम ऐसा खोज सकते हैं जैसे कि )। इसका तात्पर्य है। कि हम पूर्णांक का बढ़ता क्रम पा सकते हैं, जैसे कि कुछ यादृच्छिक चर वितरण में परिवर्तन करता है । $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

प्रस्ताव। गॉसियन रैंडम वेरिएबल्स और जैसे कि किसी भी लिए , हम पूर्णांकों का बढ़ता क्रम पा सकते हैं। ऐसा वितरण में परिवर्तित होता है । $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

सबूत। के परिमेय संख्याओं की गणना और एक पूर्वाग्रह । के लिए , परिभाषित एक गाऊसी के रूप में केंद्रित के वेक्टर सहप्रसरण मैट्रिक्स । इस विकल्प के साथ, कोई यह देख सकता है कि प्रस्ताव का निष्कर्ष संतुष्ट है जब तर्कसंगत है। सामान्य मामले के लिए एक अनुमान तर्क का उपयोग करें। $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— डेविड जिराडो
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