दो सामान्य वितरणों के बीच अंतर का वितरण

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मेरे पास सामान्य वितरण के दो प्रायिकता घनत्व कार्य हैं:

f_{1} (x_{1} | μ_{1}, σ_{1}) = \frac{1}{σ_{1} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ_{1})^{2}}{2 σ_{1}^{2}}}

$f_1(x_1 \; | \; \mu_1, \sigma_1) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} }$

तथा

f_{2} (x_{2} | μ_{2}, σ_{2}) = \frac{1}{σ_{2} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}}

$f_2(x_2 \; | \; \mu_2, \sigma_2) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} }$

मैं और बीच पृथक्करण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की तलाश कर रहा हूं । मुझे लगता है कि इसका मतलब है कि मैं संभावना घनत्व समारोह के लिए देख रहा हूँ । क्या वो सही है? मुझे वह कैसे मिलेगा? $x_1$ $x_2$ $|x_1 - x_2|$

distributions normal-distribution distance

— Martijn
स्रोत

यदि यह होमवर्क है तो कृपया self-studyटैग का उपयोग करें । हम होमवर्क के सवालों को स्वीकार करते हैं, लेकिन हम उन्हें यहां थोड़ा अलग तरीके से संभालते हैं।

— छायाकार

इसके अलावा, मैं "वह आदमी" नहीं बनना चाहता, लेकिन क्या आपने Google की कोशिश की? "सामान्य वितरणों के बीच अंतर" मुझे तुरंत एक उत्तर मिला।

— छायाकार

@ssdecontrol नहीं, होमवर्क नहीं है, लेकिन यह एक शौक परियोजना के लिए है, इसलिए अगर मैं सही रास्ते पर डाल रहा हूं तो मुझे खुद कुछ सामान खोजने में कोई आपत्ति नहीं है। मैंने Google को आज़माया, लेकिन इस मामले पर मेरी समझ इतनी सीमित है कि अगर मैं सही होता तो शायद मैं इसे पहचान नहीं पाता। उद्धरण के साथ मुझे कुछ सामान के समान "सामान्य वितरण और x के बीच अंतर क्या है" कुछ एक्स के लिए मिला।

— मार्टिज़न

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इस प्रश्न का उत्तर केवल दो यादृच्छिक चर और द्वारा वितरित किए गए इन वितरणों से स्वतंत्र मानकर ही दिया जा सकता है । $X_1$ $X_2$ इससे उनका अंतर सामान्य होता है, जिसका अर्थ है और विचरण । (निम्नलिखित समाधान आसानी से किसी भी bivariate के सामान्यीकृत किया जा सकता है का सामान्य वितरण ।) इस प्रकार चर। $X = X_2-X_1$ $\mu = \mu_2-\mu_1$ $\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ $(X_1, X_2)$

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X_{2} - X_{1} - (μ_{2} - μ_{1})}{\sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}}

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{X_2 - X_1 - (\mu_2 - \mu_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$

एक मानक सामान्य वितरण है (जो कि शून्य माध्य और इकाई भिन्नता के साथ है) और

X = σ (Z + \frac{μ}{σ}) .

$X = \sigma \left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right).$

भाव

| X_{2} - X_{1} | = | X | = \sqrt{X^{2}} = σ \sqrt{{(Z + \frac{μ}{σ})}^{2}}

$|X_2 - X_1| = |X| = \sqrt{X^2} = \sigma\sqrt{\left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right)^2}$

पूर्ण अंतर को एक गैर-केंद्रीय ची-वर्गित वितरण के वर्गमूल के स्केल किए गए संस्करण के रूप में एक डिग्री स्वतंत्रता और गैर-प्रसार पैरामीटर । इन मापदंडों के साथ एक गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण में संभाव्यता तत्व होता है $\lambda=(\mu/\sigma)^2$

f (y) d y = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} (- λ - y)} \cosh (\sqrt{λ y}) \frac{d y}{y}, y > 0.

$f(y)dy = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -y)} \cosh \left(\sqrt{\lambda y} \right) \frac{dy}{y},\ y \gt 0.$

लेखन के लिए स्थापित करता के बीच एक-से-एक पत्राचार और उसके वर्गमूल, जिसका परिणाम $y=x^2$ $x \gt 0$ $y$

f (y) d y = f (x^{2}) d (x^{2}) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} (- λ - x^{2})} \cosh (\sqrt{λ x^{2}}) \frac{d x^{2}}{x^{2}} .

$f(y)dy = f(x^2) d(x^2) = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -x^2)} \cosh \left(\sqrt{\lambda x^2} \right) \frac{dx^2}{x^2}.$

इसे सरल करना और फिर _ द्वारा गूंजना वांछित घनत्व देता है, $\sigma$

f_{| X |} (x) = \frac{1}{σ} \sqrt{\frac{2}{π}} \cosh (\frac{x μ}{σ^{2}}) \exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}}) .

$f_{|X|}(x) = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right).$

यह परिणाम सिमुलेशन द्वारा समर्थित है, जैसे कि 100,000 स्वतंत्र ड्रॉ का यह हिस्टोग्राम(कोड में "x" कहा जाता है) पैरामीटर । इस पर का ग्राफ प्लॉट किया गया है , जो हिस्टोग्राम मूल्यों के साथ बड़े करीने से मेल खाता है। $|X|=|X_2-X_1|$ $\mu_1=-1, \mu_2=5, \sigma_1=4, \sigma_2=1$ $f_{|X|}$

Rइस सिमुलेशन का कोड निम्न है।

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

— व्हीबर
स्रोत

यदि मैं चुकता अंतर प्राप्त करना चाहता हूं तो यह कैसे अलग होगा? उदाहरण के लिए यदि मैं तो ?

(f_{1} (.) - f_{2} (.))^{2}

$(f_1(.) -f_2(.))^2$

— user77005

1

@ user77005 इसका उत्तर मेरी पोस्ट में है: यह एक गैर-केंद्रीय ची-वर्गीय वितरण है। विवरण के लिए लिंक का अनुसरण करें।

— whuber

22

मैं एक उत्तर प्रदान कर रहा हूं जो @whuber द्वारा उस व्यक्ति के पूरक के रूप में है जो एक गैर-सांख्यिकीविद् (यानी कोई व्यक्ति जो गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं रखता है, जो एक डिग्री की स्वतंत्रता आदि के साथ लिख सकता है)। और यह कि एक नवजात शिशु अपेक्षाकृत आसानी से पालन कर सकता है।

स्वतंत्रता की धारणा के साथ-साथ व्हिबर के उत्तर से संकेतन का श्रेय , जहां और । इस प्रकार, , और हां, के लिए । यह संबंध में विभेद करने पर अनुसरण करता है $Z = X_1-X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$ $\mu = \mu_1-\mu_2$ $\sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2$ $x \geq 0$

\begin{aligned} F_{| Z |} (x) & ≜ P {| Z | \leq x} \\ = P {- x \leq Z \leq x} \\ = P {- x < Z \leq x} & since Z is a continuous random variable \\ = F_{Z} (x) - F_{Z} (- x), \end{aligned}

$\begin{align} F_{|Z|}(x) &\triangleq P\{|Z| \leq x\}\\ &= P\{-x \leq Z \leq x\}\\ &= P\{-x < Z \leq x\} &\scriptstyle{\text{since}~Z~\text{is a continuous random variable}}\\ &= F_Z(x) - F_Z(-x), \end{align}$

F_{| Z |} (x) = 0

$F_{|Z|}(x) = 0$

x < 0

$x < 0$

x

$x$

\begin{aligned} f_{| Z |} (x) & ≜ \frac{\partial}{\partial x} F_{| Z |} (x) \\ = [f_{Z} (x) + f_{Z} (- x)] 1_{(0, \infty)} (x) \\ = [\frac{\exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}} + \frac{\exp (- \frac{(x + μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}}] 1_{(0, \infty)} (x) \\ = \frac{\exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}} (\exp (\frac{x μ}{σ^{2}}) + \exp (\frac{x μ}{σ^{2}})) 1_{(0, \infty)} (x) \\ = \frac{1}{σ} \sqrt{\frac{2}{π}} \cosh (\frac{x μ}{σ^{2}}) \exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}}) 1_{(0, \infty)} (x) \end{aligned}

$\begin{align}f_{|Z|}(x) &\triangleq \frac{\partial}{\partial x} F_{|Z|}(x)\\ &= [f_Z(x) + f_Z(-x)]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}} + \frac{\exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \frac{\displaystyle\exp\left(-\frac{x^2+\mu^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) + \exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right)\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ & = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$ जो व्हिबर के उत्तर के समान सटीक परिणाम है, लेकिन अधिक पारदर्शी रूप से पहुंचे।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

1

+1 मैं हमेशा उन समाधानों को देखना पसंद करता हूं जो सबसे बुनियादी संभव सिद्धांतों और मान्यताओं से काम करते हैं।

— whuber

1

दो सामान्य रूप से वितरित चर X और Y के अंतर का वितरण भी एक सामान्य वितरण है, यह मानते हुए कि X और Y स्वतंत्र हैं (टिप्पणी के लिए धन्यवाद मार्क)। यहाँ एक व्युत्पत्ति है: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

यहां आप व्हिबर के उत्तर के आधार पर पूर्ण अंतर पूछ रहे हैं और अगर हम एक्स और वाई के बीच के अंतर को शून्य मान लेते हैं, तो यह केवल आधे सामान्य वितरण के साथ दो गुना घनत्व है (टिप्पणी के लिए धन्यवाद दिलीप)।

— yuqian
स्रोत

3

आप और वोल्फ़्राम मैथवर्ल्ड यह अनुमान लगा रहे हैं कि 2 सामान्य वितरण (यादृच्छिक चर) स्वतंत्र हैं। यह अंतर आवश्यक रूप से सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है यदि 2 सामान्य यादृच्छिक चर सामान्य नहीं होते हैं, जो कि स्वतंत्र नहीं होने पर हो सकता है ..

— Mark L. Stone

4

मार्क द्वारा बताई गई धारणा के अलावा, आप इस तथ्य की भी अनदेखी कर रहे हैं कि साधन अलग हैं। आधा सामान्य मामला तभी काम करता है जब ताकि अंतर का अर्थ ।

μ_{1} = μ_{2}

$\mu_1 = \mu_2$

0

$0$

— दिलीप सरवटे

आपकी टिप्पणीयों के लिए धन्यवाद। अब मैंने आपकी टिप्पणियों और व्ह्यूबर के उत्तर के आधार पर अपने उत्तर को संशोधित किया।

— युकेअन