Iid यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य

Question

तो: मैं इस व्युत्पत्ति जो मुझे समझ नहीं आता में आए $X_1, X_2, ..., X_n$ आकार $\mu$ और विचरण आबादी से लिए गए आकार n के यादृच्छिक नमूने हैं , फिर$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

यह वह जगह है जहां मैं हार गया हूं। उपयोग किए गए तर्क क्योंकि वे समान रूप से वितरित हैं। वास्तव में यह सच नहीं है। मान लीजिए कि मेरे पास एक नमूना है, और फिर अगर बेतरतीब ढंग से प्रतिस्थापन के साथ 2 नंबर का चयन करें और इस प्रक्रिया को 10 बार दोहराएं, तो मुझे 10 नमूने मिलते हैं: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1)। यह 2 यादृच्छिक चर लिए कैसा दिखता है । अब अगर मुझे का मूल्य मिलता है, तो मैंS = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X 1 , X 2 X $E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

लेकिन जनसंख्या का अपेक्षित मूल्य 3.5 है। मेरे तर्क में वास्तव में क्या गलत है?

Comments

क्या गलत है वह यह है कि एक है यादृच्छिक चर नहीं एक नमूना ...$X$

— टिम

आप एक नमूना के आधार पर अनुभवजन्य औसत को भ्रमित कर रहे हैं और जनसंख्या के वितरण के आधार पर संभाव्य औसत। पूर्व यादृच्छिक है, बाद वाला नहीं है।

— शीआन

Answer 1

$X_1, X_2,...,X_n$

$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

आपके प्रश्न में तीसरा समीकरण एक अनुमानक के लिए जनसंख्या पैरामीटर के निष्पक्ष अनुमानक होने की शर्त है। एक अनुमानक के निष्पक्ष होने की शर्त है

$$E(\bar{\theta})=\theta$$

जहां थीटा जनसंख्या पैरामीटर और है $\bar{\theta}$

$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$। सवाल यह है कि आप इस नमूने को दी गई जनसंख्या का अनुमान कैसे लगाएंगे। उपर्युक्त सूत्र के अनुसार नमूने का औसत जनसंख्या माध्य का निष्पक्ष अनुमानक है। निष्पक्ष आकलनकर्ता को वास्तविक अर्थ के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह मतलब के करीब है क्योंकि आपको यह जानकारी दी जा सकती है।