यदि किसी चर का मानक विचलन 0 है तो सहसंबंध क्या है?

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जैसा कि मैं समझता हूं, हम समीकरण का उपयोग करके सहसंयोजक को सामान्य करके सहसंबंध प्राप्त कर सकते हैं

ρ_{i, j} = \frac{c o v (X_{i}, X_{j})}{σ_{i} σ_{j}}

$\rho_{i,j}=\frac{cov(X_i, X_j)}{\sigma_i \sigma_j}$

जहां का मानक विचलन है। $\sigma_i=\sqrt{E[(X_i-\mu_i)^2]}$ $X_i$

मेरी चिंता यह है कि क्या मानक विचलन शून्य के बराबर है? क्या ऐसी कोई शर्त है जो गारंटी देती है कि यह शून्य नहीं हो सकती?

धन्यवाद।

correlation standard-deviation covariance

— chepukha
स्रोत

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कोई भी चर जिसमें मानक विचलन 0 है, संभवतः दूसरे (गैर-स्थिर) चर के साथ सहसंबद्ध हो सकता है। सहसंबंध एक माप है कि एक चर में बड़े / छोटे मान दूसरे चर में बड़े / छोटे मूल्यों के अनुरूप कैसे होते हैं - यदि चर में से एक संभावना 1 के साथ एक स्थिर के बराबर है (मानक विचलन 0 होने का एक परिणाम), तो यह हो सकता है ' t संभवत: इस बारे में जानकारी दें कि दूसरा चर छोटा है या बड़ा। मुझे नहीं पता कि सम्मेलन क्या है लेकिन ऐसा लगता है कि सहसंबंध को उस मामले में 0 के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।

— मैक्रों

बहुत बहुत धन्यवाद मैक्रों। मुझे लगता है कि आपका विचार नीचे दिए गए उत्तर के समान है। हालाँकि, मैं आपकी टिप्पणी को अंकों में सीमित होने के कारण वोट नहीं दे सका। धन्यवाद।

— चपुखा

4

आपने पहले ही एक उत्तर स्वीकार कर लिया है, और इसलिए मैं सिर्फ एक टिप्पणी लिखूंगा। एक यादृच्छिक चर तो

मानक विचलन है

, तो

)। इस प्रकार, सहसंबंध गुणांक की परिभाषा

Y

$Y$

σ_{Y} = 0

$\sigma_Y = 0$

cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = 0

$\text{cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=0$ किसी अन्य यादृच्छिक चर के लिए

(के बाद से

संभावना

साथ

X

$X$

(Y - μ_{Y}) = 0

$(Y-\mu_Y)=0$

1

$1$

अनिश्चित रूप देता है

ρ_{X, Y} = \frac{cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

$\rho_{X,Y}=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

। यह करने के लिए पारंपरिक हैपरिभाषित

के बराबर होना चाहिए

इस मामले में, और इस बात का सीमित मूल्य के आधार पर बचाव किया जा सकता है

के रूप में

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

0

$0$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

आदि

σ_{Y} \to 0

$\sigma_Y \to 0$

— दिलीप Sarwate

6

@ दिलीप, अगर यह एक जवाब है तो इसे एक जवाब के रूप में जाना चाहिए। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या एक उत्तर पहले से ही स्वीकार किया जाता है।

— एंडी डब्ल्यू

1

@Dipip

साथ समस्या

फॉर्म यह है कि भले ही इसे सीमित संचालन के माध्यम से एक निश्चित मूल्य के लिए बनाया जा सकता है, यह मान इस बात पर निर्भर करता हैकिआप सीमाकैसेलेते हैं। Whence, यह तर्क कि

अधूरा है (और असंबद्ध)। क्या आप एक ऐसे स्रोत का हवाला दे सकते हैं जो इस सम्मेलन को अपनाता है और एक वैध कारण के साथ इसका समर्थन करता है?

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y} = 0

$\rho_{X,Y}= 0$

— whuber

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यह सच है कि, अगर आपके SD का 0 है, तो यह समीकरण अपरिभाषित है। हालांकि, इस बारे में सोचने का एक बेहतर तरीका यह है कि यदि आपके एसडी में से एक 0 है, तो कोई संबंध नहीं है। ढीले वैचारिक शब्दों में, एक सहसंबंध आपको इस बारे में बता रहा है कि एक चर दूसरे चर के रूप में कैसे घूमता है। 0 के एक एसडी का तात्पर्य है कि चर 'घूम रहा है' नहीं है। आपके पास एक स्थिरांक का वेक्टर होना चाहिए, जैसे कि rep(constant, n_times)।

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद। मुझे लगता है कि समझ में आता है। यह दिलचस्प है कि मैंने उस मामले में किसी भी पाठ्यपुस्तक का उल्लेख नहीं देखा है।

— chepukha

@gung तो क्या यह सहसंबंध गुणांक की परिभाषा में एक सीमा है, मेरा मतलब है कि सहसंबंध समीकरण के दो मूल्य हो सकते हैं, एक जैसा कि ऊपर दिए गए समीकरण में दिया गया है और 0 जब चर में से एक का एसडी 0. है

— प्रशाँत

@ विश्वास, मुझे लगता है।

— गूँज - मोनिका

2

जब हम साधन और मानक विचलन और सहसंबंधों के बारे में बात करते हैं, तो सोचने वाली दूसरी अंतर्निहित धारणाएं हैं।

अगर हम डेटा सैंपल के बारे में बात कर रहे हैं, तो एक आम धारणा यह है कि डेटा कम से कम (लगभग कम से कम) सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, या इसे ऐसे रूपांतरित किया जा सकता है (जैसे कि लॉग ट्रांसफ़ॉर्म के माध्यम से)। यदि आप शून्य के एक मानक विचलन का निरीक्षण करते हैं, तो दो परिदृश्य हैं: या तो मानक विचलन वास्तव में नॉनज़रो है, लेकिन बहुत छोटा है, और इसलिए आपके पास जो डेटासेट हैं, वे नमूने हैं जो कि सभी औसत मूल्य पर हैं (यह, उदाहरण के लिए, हो सकता है) यदि आप सटीकता के मोटे स्तर पर डेटा को माप रहे हैं); या मॉडल गलत है।

इस दूसरे परिदृश्य में, मानक विचलन, और परिणामस्वरूप सहसंबंध, एक निरर्थक उपाय है।

आमतौर पर, अंतर्निहित वितरण में दोनों को दूसरे पल के लिए परिमित होना चाहिए, और इसलिए गैर-शून्य मानक विचलन, सहसंबंध के लिए एक वैध अवधारणा है।

— टीडीसी
स्रोत

यह ध्यान देने योग्य हो सकता है कि मूल प्रश्न डेटा के बारे में नहीं (सैद्धांतिक) वितरण के बारे में है।

— whuber

अगर ऐसा है, तो शून्य का एक मानक विचलन केवल औसत (यानी स्थिर कार्य) पर माप के साथ पतित वितरण का अर्थ होगा ... फिर से मानक विचलन केवल यह बताता है कि अंतर्निहित वितरण सामान्य है। यदि मानक विचलन शून्य है, तो गाऊसी का पीडीएफ ठीक से परिभाषित नहीं है, और इसलिए मॉडल में अनुमति नहीं है।

— tdc

मुझे आपकी टिप्पणी, टॉम में गॉसियंस की उपस्थिति पर आश्चर्य है। यह एक अनावश्यक प्रतिबंध की तरह लगता है। एक पीडीएफ के अस्तित्व की आवश्यकता भी प्रतिबंधात्मक लगती है (आखिरकार, कोई असतत वितरण एक पीडीएफ नहीं है)। ध्यान दें, भी, कि एसडी को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है - "सार्थक" - जब भी दूसरा क्षण परिमित होता है, और इसमें संभावना परमाणु (आपके "डीरेका डेल्टा" फ़ंक्शन) शामिल होते हैं।

— whuber

ठीक है, मैं मानता हूं कि संभवतः अत्यधिक प्रतिबंधात्मक था, लेकिन आमतौर पर एसडी से लोगों का यही मतलब है। वोल्फ्राम से उदाहरण के लिए: "पहले दो क्षणों के साथ किसी भी वितरण के लिए मानक विचलन को परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन यह मानना सबसे आम है कि अंतर्निहित वितरण सामान्य है।" क्या आप मेरी बात को मान लेते हैं, कि यदि चर में से किसी एक के लिए SD = 0, तो सहसंबंध की सांख्यिकीय अवधारणा से जुड़ी बुनियादी धारणाएं पूरी नहीं हो रही हैं?

— tcc

हाँ, टॉम, आपका आखिरी बयान हाजिर है और मैं इसे सहर्ष स्वीकार करता हूं। हालाँकि, यह व्यक्त विचार आपके उत्तर में बहुत प्रमुखता से प्रकट नहीं होता है; यदि यह वहां है, तो यह सामान्य वितरण, लॉग, डेल्टा फ़ंक्शन और स्वयं वितरण के बजाय डेटा पर ध्यान केंद्रित करने के बारे में टिप्पणी में दफन है। BTW, किसी को वुल्फराम साइट पर दिखाई देने वाले सांख्यिकीय बयानों के बारे में सावधान रहना चाहिए: यह गणित की ओर इतना अधिक उन्मुख है कि सांख्यिकीय अभ्यास के बारे में इसकी विशेषताएँ संदिग्ध हो सकती हैं। यहाँ, यह गलत है: SD का उपयोग सामान्य-वितरण सेटिंग्स से आगे जाता है।

— whuber

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एक सहसंबंध दो वैक्टर के बीच के कोण का कोसाइन है। यह कहना कि Y के लिए मानक विचलन शून्य है, यह कहना कि वेक्टर Y-माध्य (Y) शून्य है (या, अधिक कठोरता से, कि यह उपयुक्त वेक्टर अंतरिक्ष में शून्य का प्रतिनिधित्व करता है)। तो सवाल यह हो जाता है कि "शून्य वेक्टर और वेक्टर X-माध्य (X)?" के बीच के कोण (cosine) के बारे में कोई क्या कह सकता है? अधिक आम तौर पर, किसी भी वेक्टर अंतरिक्ष में एक आंतरिक उत्पाद के साथ, शून्य वेक्टर और कुछ अन्य वेक्टर के बीच के कोण से क्या मतलब है? इसका केवल एक ही उत्तर है, मेरी राय में, और वह यह है कि इस स्थिति में "कोण" की अवधारणा व्यर्थ है, और इसलिए इस स्थिति में सहसंबंध की अवधारणा अर्थहीन है।

— डेविड एपस्टीन
स्रोत

0

अस्वीकरण, मुझे पता है कि पहले से ही एक स्वीकृत गुणवत्ता उत्तर है, इसलिए यह एक प्रतिक्रिया होनी चाहिए, लेकिन मेरे पास इसे अनुमति देने के लिए अनुभव बिंदु नहीं हैं। @Dipip ने उल्लेख किया कि आप सहसंबंध को कन्वेंशन के लिए 0 के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, लेकिन यह समस्याग्रस्त लगता है क्योंकि यह एक सहसंबंध से बहुत अलग व्याख्या होगी जो वास्तव में शून्य है (गैर-शून्य एसडी के साथ)। मूल प्रश्न कहता है "यदि एक चर का एसडी शून्य है"। यदि हम बस रुकते हैं और 'चर' की परिभाषा के बारे में सोचते हैं, तो हमें उत्तर के लिए बहुत अधिक सीधा रास्ता मिलता है। 0 SD वाला वेरिएबल बिल्कुल वैरिएबल नहीं है, यह एक स्थिरांक है। तो उस मामले में आपके पास दो चर नहीं हैं, इसलिए यह वैचारिक रूप से किसी सहसंबंध को परिभाषित करने के लिए कोई मतलब नहीं है।

— स्काई बकनेर-पेटी
स्रोत

यदि आपके पास टिप्पणी करने के लिए पर्याप्त बिंदु नहीं हैं, तो आपको उत्तरों के माध्यम से टिप्पणी नहीं करनी चाहिए।

— माइकल आर। चेरिक