क्या प्रत्येक सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है?

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मैं यहाँ पियरसन सहसंबंधों के बारे में बात कर रहा हूँ।

मैंने अक्सर यह कहा है कि सभी सहसंबंध परिपक्व सकारात्मक सकारात्मक होना चाहिए। मेरी समझ यह है कि सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स में eigenvalues होना चाहिए , जबकि सकारात्मक semidefinite matrices में eigenvalues होना चाहिए । इससे मुझे लगता है कि मेरे प्रश्न को फिर से परिभाषित किया जा सकता है "क्या सहसंबंध के लिए मैत्रिकों के लिए एक स्वदेशी ?" $> 0$ $\ge 0$ $= 0$

यह एक सहसंबंध मैट्रिक्स के लिए संभव है (अनुभवजन्य डेटा से उत्पन्न, कोई लापता डेटा के साथ) एक eigenvalue , या एक eigenvalue ? यदि इसके बजाय जनसंख्या सहसंबंध मैट्रिक्स था तो क्या होगा? $= 0$ $< 0$

मैं इस प्रश्न के शीर्ष उत्तर में कोवरियस मैट्रिस के बारे में पढ़ता हूं जो

तीन चर, , और । उनका सहसंयोजक मैट्रिक्स, , सकारात्मक निश्चित नहीं है, क्योंकि वहां एक वेक्टर ( ) है, जिसके लिए सकारात्मक नहीं है। $X$ $Y$ $Z = X+Y$ $M$ $z$ $= (1, 1, -1)'$ $z'Mz$

हालाँकि, अगर एक सहसंयोजक मैट्रिक्स के बजाय मैं एक सहसंबंध मैट्रिक्स पर उन गणनाओं को करता तो सकारात्मक रूप में आता है। इस प्रकार मुझे लगता है कि शायद सहसंबंध और सहसंयोजक मैट्रिक्स के लिए स्थिति अलग है। $z'Mz$

मेरे पूछने का कारण यह है कि मैंने एक प्रश्न के संबंध में स्टैकओवरफ़्लो पर पूछा , मैंने वहाँ पूछा।

covariance-matrix eigenvalues correlation-matrix

— user1205901 - मोनिका को बहाल करें
स्रोत

यदि, उदाहरण के लिए, दो विशेषताएँ एक चीज हैं, केवल अलग-अलग नाम हैं, तो मैट्रिक्स विलक्षण है। यदि दो विशेषताएँ एक स्थिरांक में जुड़ती हैं, तो यह फिर से एकवचन है, वगैरह ।

— tnnphns

यदि एक सहसंयोजक मैट्रिक्स विलक्षण सहसंबंध मैट्रिक्स है, तो एकवचन भी है।

— ttnphns

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निकट-डुप्लिकेट: क्या प्रत्येक सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक अर्ध-निश्चित है? जिसका निश्चित बनाम अर्ध-निश्चित कोण पर कम ध्यान है, और क्या प्रत्येक सहसंयोजक मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है? जो प्रासंगिक है क्योंकि एक सहसंयोजक अनिवार्य रूप से एक उन्नत सहसंबंध है।

— सिल्वर फिश

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सहसंबंध की परिपक्वताएं सकारात्मक निश्चित नहीं होनी चाहिए।

गैर-शून्य विचरण वाले एक अदिश यादृच्छिक चर X पर विचार करें। फिर एक्स का सहसंबंध मैट्रिक्स स्वयं के साथ सभी का मैट्रिक्स है, जो सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, लेकिन सकारात्मक निश्चित नहीं है।

नमूना सहसंबंध के रूप में, उपरोक्त के लिए नमूना डेटा पर विचार करें, जिसमें पहला अवलोकन 1 और 1 है, और दूसरा अवलोकन 2 और 2 है। नमूना सहसंबंध सभी लोगों का मैट्रिक्स है, इसलिए सकारात्मक निश्चितता नहीं है।

एक नमूना सहसंबंध मैट्रिक्स, यदि सटीक अंकगणित में गणना की जाती है (यानी, बिना राउंडऑफ़ त्रुटि के) नकारात्मक प्रतिजन नहीं हो सकते हैं।

— मार्क एल। स्टोन
स्रोत

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नमूना सहसंबंध मैट्रिक्स पर लापता मूल्यों के संभावित प्रभावों का उल्लेख करने योग्य हो सकता है । न्यूमेरिकल फ़ज़, नमूना सहसंबंध / सहसंयोजक मैट्रिक्स में एक नकारात्मक प्रतिध्वनि प्राप्त करने का एकमात्र कारण नहीं है।

— सिल्वर फिश

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हां, मैंने इसे स्पष्ट नहीं किया था, लेकिन मैं इस प्रश्न कथन के अनुसार, "बिना किसी गायब डेटा के" मान रहा था। एक बार जब आप लापता डेटा की जंगली, निराला दुनिया में आ जाते हैं और उसके बाद कुछ भी हो जाता है।

— मार्क एल। स्टोन

हाँ, क्षमा करें, आप बिल्कुल सही प्रश्न हैं, "कोई लापता डेटा नहीं" - बस सोचा था कि कहीं न कहीं यह ध्यान देने योग्य है क्योंकि भविष्य के खोजकर्ता दिलचस्पी ले सकते हैं, भले ही ओपी की भूख लगी हो!

— सिल्वर फिश

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@Yoki और @MarkLStone (+1 से दोनों) के उत्तर बताते हैं कि जनसंख्या सहसंबंध मैट्रिक्स के शून्य हो सकते हैं यदि चर रैखिक रूप से संबंधित हैं (जैसे कि @MarkLStone और के उदाहरण में । @yoki का उदाहरण)। $X_1 = X_2$ $X_1 = 2X_2$

इसके अलावा, एक नमूना सहसंबंध मैट्रिक्स जरूरी शून्य eigenvalues होगा अगर , यानी यदि नमूना आकार चर की संख्या से छोटा है। इस मामले में सहसंयोजक और सहसंबंध वाले मेट्रिसेस दोनों अधिकांश रैंक , इसलिए कम से कम शून्य eigenvalues होंगे। देखें कि नमूना आकार वैरिएबल मैट्रिक्स विलक्षण क्यों है जब नमूना आकार चर की संख्या से कम है? और सबसे पर सहसंयोजक मैट्रिक्स की रैंक क्यों है ? $n<p$ $n-1$ $p-n+1$ $n-1$

— एक सलि का जन्तु
स्रोत

सही है वह। मुझे लगता है कि मुझे यह जानकारी मिल सकती थी और साथ ही यह जानकारी भी देनी चाहिए थी, लेकिन मेरा लक्ष्य ओपी की परिकल्पना का खंडन करने के लिए एक प्रतिरूप उत्पादन करना था, जिससे इसकी अमान्यता दिखाई दे, फिर भी, आपको अपना दूसरा वाक्य समायोजित करना चाहिए "इस मामले में सहानुभूति और सहसंबंध की परिपक्वता अधिकांश रैंक n, 1 पर होगा, इसलिए कम से कम (p 1 n + 1) शून्य eigenvalues होंगे। "

— मार्क एल। स्टोन

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पर विचार करें मतलब 0 और की 1. Let विचरण के साथ एक आर.वी. होने के लिए , और की सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना । चूंकि , , और । शून्य माध्य विन्यास के कारण, दूसरे क्षण उपयुक्त संकेतन के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए: । $X$ $Y=2X$ $(X,Y)$ $2X=Y$ $E[Y^2]=4E[X^2]=\sigma_Y^2$ $E[XY]=2E[X^2]$ $\mbox{Cov}(X,Y)=E[XY]-EXEY=E[XY]$

तो सहसंयोजक मैट्रिक्स होगा: एक शून्य eigenvalue। सहसंबंध मैट्रिक्स होगा: एक शून्य eigenvalue भी। और बीच रैखिक पत्राचार के कारण यह देखना आसान है कि हमें यह सहसंबंध मैट्रिक्स क्यों मिलता है - विकर्ण हमेशा 1 होगा, और रैखिक संबंध के कारण ऑफ-विकर्ण 1 है।

Λ = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 2 \\ 2 & 4 }\right),$

Λ = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 1 \\ 1 & 1 }\right),$

X

$X$

Y

$Y$

— Yoki
स्रोत

बस अपने आप की तरह गणित चुनौती पाठकों के लिए, मुझे कहना है कि जाने 2में है इस अंतिम समानता से परिणाम: ।

Λ

$\Lambda$

c o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 2 E [X^{2}] = 2 (σ_{X}^{2} + [E (X)]^{2})

$cov(X,Y)= \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)= 2\mathbb{E}[X^2]=2\left(\sigma_X^2+[E(X)]^2\right)$

E (X^{2}) = Var (X) + [E (X)]^{2}

$E(X^2)=\text{Var}(X)+[E(X)]^2$

— एंटोनी परेलाडा

अपनी पोस्ट के लिए +1। मैं फॉर्मूला को शामिल करके सभी के लिए इसका पालन करना आसान बनाना चाहता था , लेकिन टिप्पणी प्रारूप इसकी अनुमति नहीं देगा। क्या आपको लगता है कि आपके पोस्ट में इसे शामिल करने का कोई मान्य बिंदु है?

d i a g Λ^{- 1 / 2} Λ d i a g Λ^{1 / 2}

$diag \Lambda^{-1/2}\,\Lambda\, diag \Lambda^{1/2}$

— एंटोनी पारेल्लाडा

@AntoniParellada, मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है - यहां के सहसंयोजक एक प्रत्यक्ष गणना है। लेकिन मैं संपादित करूंगा और इसे स्पष्ट करूंगा। धन्यवाद।

— योकि