क्या किसी कार्य के लिए रोचक विशेषताएं हैं प्रतिगमन के ?

Question

मैं प्रतिगमन की एक सामान्य सेटअप, यह है कि, एक सतत समारोह मान एक परिवार से चुना जाता है दिए गए डेटा फिट करने के लिए ( किसी भी स्थान जैसे घन या वास्तव में किसी भी उचित टोपोलॉजिकल स्पेस) में कुछ प्राकृतिक मानदंडों के अनुसार हो सकता है।$h_\theta:X\to \mathbb R^n$$\{h_\theta\}_\theta$$(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$$X$$[0,1]^m$

प्रतिगमन की वहाँ अनुप्रयोगों के लिए जहां एक में एक समोच्च दिलचस्पी है की कुछ बिंदु के लिए - उदाहरण के लिए शून्य सेट ?$h^{-1}(y)$$h$$y\in \mathbb R^n$$h^{-1}(0)$

मेरी रुचि की व्याख्या निम्नलिखित है: चूंकि कई स्थितियों में सीखी गई (डेटा की या कमी) से जुड़ी अनिश्चितता है , कोई भी शून्य सेट का विश्लेषण करना चाहेगा " मजबूती के साथ "। अर्थात्, शून्य सेट की सुविधाओं का अध्ययन करें जो सभी "गड़बड़ी" के लिए सामान्य हैं । एक बहुत अच्छी समझ हाल ही में एक बहुत ही सामान्य सेटिंग में विकसित की गई है, जहां perturbations मनमाने ढंग से निरंतर नक्शे के करीब हो सकता है जो कि मानदंड में करीब है। या, अनिवार्य रूप से समान रूप से, मनमाना निरंतर है जैसे कि हमारे पास प्रत्येक है जहां$h_\theta$$h^{-1}(0)$$h$$f$$h$$\ell_\infty$$f$$x\in X$$|f(x)-h(x)|\le c(x)$$c:X\to\mathbb R$ प्रत्येक पर कुछ आत्मविश्वास मूल्य देता है ।$x$

सिद्धांत विकसित करने के लिए हमारी मुख्य प्रेरणा और एल्गोरिदम के पीछे रोमांचक गणित रहा है (अनिवार्य रूप से सभी समस्याएं / प्रश्न होमोटॉपी सिद्धांत के लिए कम हो जाते हैं)। हालांकि, वर्तमान चरण में, एल्गोरिदम के आगे के विकास और कार्यान्वयन के लिए, हमें अधिक विशिष्ट सेटिंग्स और लक्ष्यों को चुनने की आवश्यकता है।

Comments

$h^{-1}(0)$ हमें बारे में जानकारी देता है । आमतौर पर अगर हम में रुचि रखते हैं तो हम उन्हें मॉडल करते हैं, यानी हम एक मॉडल बनाते हैं जहां निर्भर चर होते हैं। हमारे हिसाब से मेरा मतलब है कि मैंने जो सांख्यिकीय ग्रंथों का सामना किया है। मुझे उत्सुकता होगी अगर किसी ने यह प्रदर्शित किया कि का विश्लेषण करना दिलचस्प है। सरल रैखिक प्रतिगमन के लिए जहां हमारे पास , जिसका महत्व मुझे याद करने के लिए संघर्ष है। मैं अन्यथा साबित होना पसंद करूंगा, ऐसा लगता है कि आप जो कर रहे हैं वह काफी दिलचस्प है। $x_i$$x_i$$x_i$$h^{-1}(0)$$h(x)= \alpha+x\beta$$h^{-1}(0)=\frac{-\alpha}{\beta}$

— mpiktas

@mpiktas आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। हमारे दिमाग में ऐसे मामले थे जहां में होता है (उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए लिंक के अध्याय 2 में गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्रों के माध्यम से प्रतिगमन) जहां का विश्लेषण बहुत कम तुच्छ होगा। gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf$h_θ$$x_i$$h^{−1}(0)$

— पीटर फ्रेंक

शैतान के वकील की भूमिका करने के लिए क्षमा करें, लेकिन मैंने अध्याय पढ़ा है, लेकिन मैं अभी भी यह देखने में नाकाम रहा कि क्यों महत्वपूर्ण होगा। गैर-तुच्छ हाँ, लेकिन उपयोगी, नहीं। हालाँकि मुझे ख़ुशी होगी अन्यथा साबित होने में। $h^{-1}(0)$

— 13

Answer 1

अर्थशास्त्री अक्सर इसमें रुचि रखते हैं। अक्सर हम उपभोक्ताओं की उपयोगिता कार्यों का अनुमान लगाते , जहां डोमेन वर्णन करता है कि प्रत्येक उपभोक्ता कितना अच्छा उपभोग करता है और सीमा कितनी "खुश" होती है उपभोग उपभोग बंडल उसे बनाता है। हम उपयोगिता कार्यों के स्तर सेट को "उदासीनता घटता" कहते हैं। अक्सर हम फर्मों की लागत कार्यों का अनुमान लगाते हैं , जहां डोमेन के दो हिस्से प्रत्येक आउटपुट की मात्रा होते हैं जो फर्म प्रत्येक इनपुट के लिए उत्पादन और कीमतों का उपयोग करती है। उत्पादन में। स्तर सेट को आइसो-कॉस्ट कर्व कहा जाता है।$u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$$c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$$c$

आमतौर पर, हम जिस स्तर के सेट में रुचि रखते हैं, उसके गुण सीमाओं के ढलान हैं। एक उदासीनता वक्र की ढलान आपको बताती है कि उपभोक्ता किस दर पर अलग-अलग वस्तुओं का व्यापार करते हैं: "आप कितने सेब के लिए कितने खुबानी देने के लिए तैयार होंगे?" एक आइसो-कॉस्ट कर्व का ढलान आपको बताता है (डोमेन के किस हिस्से पर निर्भर करता है), उत्पादन में कितना उपयुक्त होता है अलग-अलग आउटपुट (एक ही कीमत पर, यदि आपने 10 कम रेज़र ब्लेड का उत्पादन किया है, तो आप और कितने पिन बना सकते हैं) या प्रतिस्थापन योग्य विभिन्न इनपुट कैसे हैं।

अर्थशास्त्री पूरी तरह से पहले आंशिक डेरिवेटिव्स के अनुपात से ग्रस्त हैं क्योंकि हम व्यापार-नापसंद हैं। मुझे लगता है, (हमेशा?) स्तर सेट की सीमाओं के ढलानों के रूप में सोचा जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग आर्थिक संतुलन की गणना है। सबसे सरल उदाहरण आपूर्ति और मांग प्रणाली है। आपूर्ति वक्र का प्रतिनिधित्व करता है कि प्रत्येक कीमत पर उत्पादकों की आपूर्ति करने के लिए कितने तैयार हैं: । मांग वक्र यह दर्शाता है कि उपभोक्ता प्रत्येक मूल्य पर कितनी मांग करने को तैयार हैं: । एक मनमाना मूल्य लें, , और अतिरिक्त मांग को रूप में परिभाषित करें । संतुलन की कीमतें --- यानी ये कीमतें हैं जिन पर बाजार स्पष्ट हैं। और वैक्टर हो सकते हैं, और और सामान्य रूप से गैर-रैखिक हैं।$q=s(p)$$q=d(p)$$p$$e(p)=d(p)-s(p)$$e^{-1}(0)$$q$$p$$d$$s$

मैं पिछले पैराग्राफ (मांग और आपूर्ति) में जो वर्णन कर रहा हूं वह सिर्फ एक उदाहरण है। सामान्य सेट-अप बेहद सामान्य है। गेम थ्योरी में, शायद हम एक गेम के नैश इक्विलिब्रिया की गणना करने में रुचि रखते हैं। ऐसा करने के लिए, आप खिलाड़ी , एक फंक्शन (सबसे अच्छा रिस्पॉन्स फंक्शन) के लिए परिभाषित करते हैं, जो रेंज के रूप में अपनी सर्वश्रेष्ठ रणनीति देता है और अन्य सभी खिलाड़ी डोमेन के रूप में क्या रणनीति खेल रहे हैं: । इन सभी को एक वेक्टर सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया फ़ंक्शन में ढेर करें: । यदि : वास्तविक संख्या के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, तो आप एक समारोह संतुलन से दूरी देने परिभाषित कर सकते हैं । फिर खेल के संतुलन का सेट है।$i$$s_i=br(s^{-i})$$s=BR(s)$$s$$d(s)=BR(s)-s$$d^{-1}(0)$

क्या अर्थशास्त्री आमतौर पर प्रतिगमन के साथ इन संबंधों का अनुमान लगाते हैं, यह निर्भर करता है कि आपके प्रतिगमन की परिभाषा कितनी व्यापक है। आमतौर पर, हम वाद्य चर प्रतिगमन का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, उपयोगिता कार्यों के मामले में, उपयोगिता नहीं देखी गई है, इसलिए हमारे पास उन अनुमान लगाने के लिए विभिन्न अव्यक्त चर विधियां हैं।