पैरामीटर अनुमान के लिए द्विपद वितरण के लिए संभावना फ़ंक्शन कैसे प्राप्त करें?

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इंजीनियर्स के लिए मिलर और फ्रायंड की संभावना और सांख्यिकी, 8ed ( pp.217-218 ) के अनुसार, द्विपद वितरण (बर्नौली परीक्षण) के लिए अधिकतम होने की संभावना के रूप में दिया जाता है।

$L(p) = \prod_{i=1}^np^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$

इस समीकरण पर कैसे पहुंचे? यह मुझे अन्य वितरण, पॉसों और गाऊसी के बारे में बहुत स्पष्ट लगता है;

$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \text{PDF or PMF of dist.}$

लेकिन द्विपद के लिए एक बस थोड़ा अलग है। सीधे आगे रहने के लिए, कैसे किया

$nC_x~p^x(1-p)^{n-x}$

बनना

$p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$

उपरोक्त संभावना समारोह में?

— Éबे इसहाक
स्रोत

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अधिकतम संभावना अनुमान में, आप को अधिकतम करने की कोशिश कर रहे हैं ; हालाँकि, इसे अधिकतम करना एक निश्चित लिए को अधिकतम करने के बराबर है । $nC_x~p^x(1-p)^{n-x}$ $p^x(1-p)^{n-x}$ $x$

दरअसल, गॉसियन और पोइसन की संभावना भी उनके प्रमुख स्थिरांक को शामिल नहीं करती है, इसलिए यह मामला सिर्फ w जैसे है।

ओपी टिप्पणी को संबोधित करते हुए

यहाँ थोड़ा और विस्तार है:

पहला, सफलताओं की कुल संख्या है जबकि एकल परीक्षण (0 या 1) है। इसलिए: $x$ $x_i$

\prod_{i = 1}^{n} p^{x_{i}} (1 - p)^{1 - x_{i}} = p^{\sum_{1}^{n} x_{i}} (1 - p)^{\sum_{1}^{n} 1 - x_{i}} = p^{x} (1 - p)^{n - x}

$\prod_{i=1}^np^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_1^n x_i}(1-p)^{\sum_1^n1-x_i} = p^{x}(1-p)^{n-x}$

यह दर्शाता है कि आप कारकों को कैसे प्राप्त करते हैं (उपरोक्त चरणों को पीछे की ओर चलाकर)।

निरंतर क्यों चला जाता है? अनौपचारिक रूप से, और अधिकांश लोग क्या करते हैं (मेरे सहित), बस नोटिस है कि अग्रणी निरंतर के मूल्य को प्रभावित नहीं करता है जो संभावना को अधिकतम करता है, इसलिए हम इसे अनदेखा करते हैं (प्रभावी रूप से इसे 1 पर सेट करें)। $p$

हम इसकी संभावना फ़ंक्शन के लॉग को ले कर प्राप्त कर सकते हैं और पा सकते हैं कि इसका व्युत्पन्न शून्य है:

\ln (n C_{x} p^{x} (1 - p)^{n - x}) = \ln (n C_{x}) + x \ln (p) + (n - x) \ln (1 - p)

$\ln\left(nC_x~p^x(1-p)^{n-x}\right) = \ln(nC_x)+x\ln(p)+(n-x)\ln(1-p)$

व्युत्पन्न wrt लें और सेट करें : $p$ $0$

\frac{d}{d p} \ln (n C_{x}) + x \ln (p) + (n - x) \ln (1 - p) = \frac{x}{p} - \frac{n - x}{1 - p} = 0

$\frac{d}{dp}\ln(nC_x)+x\ln(p)+(n-x)\ln(1-p) = \frac{x}{p}- \frac{n-x}{1-p} = 0$

⟹ \frac{n}{x} = \frac{1}{p} ⟹ p = \frac{x}{n}

$\implies \frac{n}{x} = \frac{1}{p} \implies p = \frac{x}{n}$

ध्यान दें कि MLE की गणना से प्रमुख स्थिरांक गिरा है।

अधिक दार्शनिक रूप से, एक संभावना केवल एक गुणा स्थिरांक के लिए अनुमान के लिए सार्थक है, जैसे कि अगर हमारे पास दो संभावना कार्य और , तो वे समकक्ष हैं। इसे लॉलीहुड का नियम कहा जाता है । इसलिए, यदि हम एक ही संभावना फ़ंक्शन का उपयोग करके विभिन्न मूल्यों की तुलना कर रहे हैं , तो अग्रणी शब्द अप्रासंगिक हो जाता है। $L_1,L_2$ $L_1=kL_2$ $p$

एक व्यावहारिक स्तर पर, संभावना फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए निष्कर्ष वास्तव में संभावना अनुपात पर आधारित होता है, संभावना के पूर्ण मूल्य पर नहीं। यह संभावना अनुपात के स्पर्शोन्मुख सिद्धांत के कारण है (जो कि विषम रूप से ची-वर्ग है - कुछ नियमित परिस्थितियों के अधीन जो अक्सर उपयुक्त होते हैं)। संभावना अनुपात परीक्षण नेमन-पीयरसन लेम्मा के कारण इष्ट हैं । इसलिए, जब हम दो सरल परिकल्पनाओं का परीक्षण करने का प्रयास करते हैं, तो हम अनुपात लेंगे और सामान्य अग्रणी कारक रद्द कर देंगे।

नोट: ऐसा नहीं होगा यदि आप दो अलग-अलग मॉडलों की तुलना कर रहे हैं, एक द्विपद और एक पॉइसन कहें। उस स्थिति में, स्थिरांक महत्वपूर्ण हैं।

उपरोक्त कारणों में से, पहला (L का अधिकतम पता लगाने की अप्रासंगिकता) सबसे सीधे आपके प्रश्न का उत्तर देता है।

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हम देख सकते हैं कि यह विचार है। लेकिन क्या आप थोड़ा और समझा सकते हैं कि कैसे को हटा दिया जाता है और को 1 से बदल दिया जाता है?

n C_{x}

$nC_x$

n

$n$

— 31बे इसाक

@ UserbeIsaac ने कुछ और विवरण जोड़े

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उत्पाद में xi प्रत्येक व्यक्तिगत परीक्षण को संदर्भित करता है। प्रत्येक व्यक्तिगत परीक्षण के लिए xi 0 या 1 हो सकता है और n हमेशा 1 के बराबर होता है। इसलिए, तुच्छ रूप से, द्विपद गुणांक 1 के बराबर होगा। इसलिए, संभावना के लिए उत्पाद सूत्र में, द्विपद गुणांक का उत्पाद 1 होगा और इसलिए सूत्र में कोई nxx नहीं है। यह कदम से कदम बाहर काम करते हुए एहसास हुआ :) (स्वरूपण के बारे में क्षमा करें, जवाब में गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ जवाब देने के लिए उपयोग नहीं किया गया ... अभी तक :)

— अभिषेक तिवारी
स्रोत