दूसरी पल विधि, ब्राउनियन गति?

चलो $B_t$ एक मानक ब्राउनियन गति हो। चलो $E_{j, n}$ निरूपित घटना

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$ और जाने

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$ जहां

1

$1$ को दर्शाता सूचक समारोह। वहाँ मौजूद है

ρ > 0

$\rho > 0$ ऐसी है कि के लिए

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$ सभी के लिए

n

$n$ ? मुझे संदेह है कि उत्तर हां है; मैं दूसरे पल विधि के साथ खिलवाड़ करने की कोशिश की है, लेकिन ज्यादा फायदा नहीं हुआ। क्या इसे दूसरे क्षण विधि के साथ दिखाया जा सकता है? या मुझे कुछ और कोशिश करनी चाहिए?

— छात्र
स्रोत

सबसे पहले, अपने योग नहीं होना चाहिए:

आपके घटना संकेत है कि विकास की दर के रूप में

है

तो एक अपने योग की उम्मीद करेंगे

शर्तों , नहीं?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— इज़मिरलियन अनुदान

उत्तर नहीं, लेकिन संभवतः उपयोगी सुधार

मुझे लगता है कि ऊपर की गई टिप्पणी सही है (यह राशि $2^{n+1}$ शब्द है)।

Denote उस निरीक्षण करें यदि

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

सबसे पहले बिंदु: अगर आप से पूछना है कि क्या इस तरह के सभी n के लिए मौजूद है, तो आप पता चलता है कि कुछ के लिए की जरूरत है सीमा सकारात्मक है तो, अगर सकारात्मक सीमा और सभी है मूल्यों सकारात्मक रहे हैं, यह शून्य से अलग किया जाना चाहिए, मान लें कि । फिर $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

ताकि आप के लिए संपत्ति वांछित है

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$ ।

तो आपको बस की सीमा दिखाने की आवश्यकता है $p_n$ सकारात्मक होने के लिए ।

मैं तब चर और उसके अपेक्षित मूल्य की जांच करूंगा $K_n/2^n$

— krzmip
स्रोत