एक समान वितरण के आदेश आँकड़ों के लिए गणना कैसे करें ?

मैं अपनी थीसिस के लिए एक समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं और मुझे नहीं पता कि यह कैसे करना है। मेरे पास एक समान वितरण से यादृच्छिक रूप से 4 अवलोकन हैं । मैं इस संभावना की गणना करना चाहता हूं कि । ith ऑर्डर स्टेटिस्टिक है (मैं ऑर्डर स्टेटिस्टिक लेता हूं ताकि मेरी टिप्पणियों को सबसे छोटे से सबसे बड़े स्थान पर रखा जाए)। मैंने इसे एक सरल मामले के लिए हल किया है, लेकिन यहां मुझे यह करने के लिए खो दिया गया है। $(0,1)$ $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$ $X_{(i)}$

सभी मदद का स्वागत किया जाएगा।

probability uniform order-statistics

— सेव
स्रोत

क्रम के आँकड़े , । उस को नोट करने से शुरू है $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $x_1 \le x_2$

Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [3 x_{1} < x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] .

$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$

यह अंतिम ईवेंट दो घटनाओं में टूट जाता है, जो और में से किस पर निर्भर करता है : $x_2$ $(x_2+x_3)/2$

\begin{aligned} Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] & = Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] \\ + Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$

चूँकि संयुक्त वितरण घनत्व साथ , सेट पर समान है , $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{0}^{x_{3} / 2} d x_{2} \int_{0}^{x_{2}} d x_{1} = \frac{1}{4}

$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$

तथा

Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{x_{3} / 2}^{x_{3}} d x_{2} \int_{0}^{(x_{2} + x_{3}) / 2} d x_{1} = \frac{7}{12} .

$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$

(प्रत्येक अभिन्न सीधे चलने वाले अभिन्न के रूप में प्रदर्शन करने के लिए सीधा है; केवल बहुपद एकीकरण शामिल हैं।)

वांछित संभावना इसलिए बराबर है = । $1 - (1/4 + 7/12)$ $1/6$

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एक चतुर समाधान (जो काम को सरल करता है) मान्यता से निकलता है कि जब में iid एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन, , तो ( ) , आंशिक आंशिक राशि है $y_j$ $1\le j\le n+1$ $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\$

x_{i} = \sum_{j = 1}^{i} y_{j} / Y,

$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$

$1\le i\le n$ , समान आदेश आँकड़ों की तरह वितरित किए जाते हैं। क्योंकि लगभग निश्चित रूप से सकारात्मक है, यह आसानी से किसी भी लिए अनुसरण करता है , $Y$ $n\ge 3$

\begin{aligned} Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] & = Pr [\frac{3 y_{1}}{Y} \geq \frac{y_{1} + y_{2}}{Y} + \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{Y}] \\ = Pr [3 y_{1} \geq (y_{1} + y_{2}) + (y_{1} + y_{2} + y_{3})] \\ = Pr [y_{1} \geq 2 y_{2} + y_{3}] \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) \int_{2 y_{2} + y_{3}}^{\infty} \exp (- y_{1}) d y_{1} d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) [\exp (- 2 y_{2} - y_{3})] d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- 2 y_{3}) d y_{3} \int_{0}^{\infty} \exp (- 3 y_{2}) d y_{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$

— व्हीबर
स्रोत

आपकी मदद के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! मैं इस समस्या के कारण अपने शोध में ब्लॉक था, इसलिए फिर से धन्यवाद!

— sev

+1 हाल के सम्पादन में जोड़ा गया दृष्टिकोण विशेष रूप से सराहा गया

— दिलीप सरवटे