संभावना वितरण के 'क्षणों' के बारे में ऐसा क्या 'क्षण' है?

Question

मुझे पता है कि क्या क्षण होते हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है और उच्च क्रम वाले क्षणों को प्राप्त करने के लिए क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग कैसे किया जाता है। हां, मैं गणित जानता हूं।

अब जब मुझे काम के लिए अपने आँकड़ों का ज्ञान प्राप्त करना है, तो मैंने सोचा कि मैं भी यह प्रश्न पूछ सकता हूँ - यह लगभग कुछ वर्षों से मुझे कचोट रहा है और कॉलेज में किसी भी प्राध्यापक को इसका उत्तर नहीं पता था या वह इस प्रश्न को (ईमानदारी से) खारिज कर देगा। ।

तो इस मामले में "पल" शब्द का क्या मतलब है? शब्द का यह विकल्प क्यों? यह मेरे लिए सहज ज्ञान युक्त नहीं है (या मैंने इसे कॉलेज में कभी इस तरह से नहीं सुना था :) यह सोचने के लिए आओ कि मैं "जड़ता के क्षण" में इसके उपयोग के साथ समान रूप से उत्सुक हूं;) लेकिन आइए अब इसके लिए उस पर ध्यान केंद्रित न करें।

तो एक वितरण के "क्षण" का क्या मतलब है और यह क्या करना चाहता है और क्यों यह शब्द है! :) कोई भी क्षणों की परवाह क्यों करता है? इस क्षण मैं उस पल के बारे में अन्यथा महसूस कर रहा हूं;)

पुनश्च: हाँ, मैंने शायद विचरण पर एक समान प्रश्न पूछा है, लेकिन मैं 'यह पता लगाने के लिए पुस्तक में देखो' पर सहज ज्ञान युक्त समझ रखता हूँ :)

Comments

शब्द विकल्प के लिए, इसकी व्युत्पत्ति से शुरू करें ।

— whuber

@ शुभकर्ता: हाँ! इस प्रश्न को प्रस्तुत करने से पहले इसे देखा - कई साल पहले भी;)

— पीएचडी

मैं @whuber द्वारा प्रदान की गई व्युत्पत्ति को इस ( thefreedEDIA.com/moment ) के साथ जोड़कर देखूंगा जो मैथ्स / स्टेट की परिभाषा है, जो कॉलिन्स इंग्लिश डिक्शनरी से उद्धृत है। संयुक्त है कि आम उपयोग की परिभाषाओं जैसे "समय की छोटी अवधि" या "विशिष्ट उदाहरण।" मुझे पूरा यकीन है कि हमारे गणित / स्टेट सेन्स में वह क्षण अंकों के साथ विनिमेय है। डेसकार्टेस ज्यामिति और बीजगणित से पहले बस कुछ बिंदुओं (एमजीएफ या एमओआई) में इन बिंदुओं का विशेष महत्व है, इसलिए उनके पास कोई व्यवस्थित लिंक नहीं था, इसलिए उनके पास वास्तव में एक ही चीज के लिए विभिन्न प्रकार के विभिन्न शब्द थे।

— क्रिस सिमोकैट

यह मैकबेथ से है: " कौन बुद्धिमान, विस्मित, संयमी और उग्र हो सकता है, एक पल में वफादार और तटस्थ? " मैकबेथ: अधिनियम ii। एससी। 3

— भेड़ियों

Answer 1

कागज के अनुसार "सबसे पहले (?) गणितीय सांख्यिकी में सामान्य शब्द की घटना" हा दाऊद से, इस स्थिति में शब्द 'पल' का पहला प्रयोग करने के लिए एक 1893 पत्र में था प्रकृति कार्ल पियर्सन द्वारा हकदार "विषम आवृत्ति वक्र" ।

नेमन का 1938 बायोमेट्रिक पेपर "ए हिस्टोरिकल नोट ऑन कार्ल पियर्सन की डेडक्शन ऑफ द मोमेंट्स ऑफ द बिनोमियल" पत्र का एक अच्छा सार और पियर्सन के बाद के द्विपद वितरण और क्षणों की विधि पर काम करता है। यह वास्तव में अच्छा पढ़ा है। उम्मीद है कि आपके पास JSTOR का उपयोग होगा क्योंकि मेरे पास अब समय नहीं है कि हम एक अच्छा सारांश दे सकें (हालांकि मैं इस सप्ताहांत होगा)। हालांकि मैं एक ऐसे टुकड़े का उल्लेख करूंगा जो यह बता सकता है कि 'क्षण' शब्द का उपयोग क्यों किया गया था। नेमन के कागज से:

यह [पियर्सन के संस्मरण] मुख्य रूप से आसान फ़ार्मुलों की गणना से जुड़ी कुछ प्रक्रियाओं के माध्यम से निरंतर आवृत्ति घटता अनुमान लगाने के तरीकों से संबंधित है। इन सूत्रों में से एक माना जाता था "बिंदु-द्विपद" या "भारित निर्देशकों के साथ द्विपद"। सूत्र इस बात
से भिन्न है कि हम किस दिन को द्विपद, अर्थात कहते हैं। (4), केवल एक कारक , निरंतर वक्र के तहत उस क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है जिसे वह फिट करना चाहता है।$\alpha$

यह वही है जो आखिरकार 'क्षणों की पद्धति' के लिए प्रेरित हुआ। नेमन उपरोक्त पेपर में द्विपदीय क्षणों की व्युत्पत्ति पियर्सन से अधिक लेता है।

और पियर्सन के पत्र से:

$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

यह इस तथ्य पर संकेत देता है कि पियर्सन ने 'क्षण' शब्द का प्रयोग ' जड़ता के क्षण', भौतिकी में एक सामान्य शब्द के रूप में किया था।

यहाँ पियर्सन के अधिकांश प्रकृति पत्र का एक स्कैन है:

आप पूरे लेख को पेज 615 पर यहाँ देख सकते हैं ।

Comments

क्या मैं इस उत्तर के लिए +100 दे सकता हूं? ;)

— पीएचडी

@ नूपुल, आप इनाम के रूप में +100 दे सकते हैं। जब प्रश्न दो दिन पुराना हो, तो उसे इनाम दिया जा सकता है।

— mpiktas

@ नुपुल ने "गुरुत्वाकर्षण" के लिए पियर्सन के कई संदर्भों का निरीक्षण किया। स्पष्ट रूप से वह एक भौतिक सादृश्य के साथ तर्क कर रहा है। यह इस सवाल को पीछे धकेलता है कि भौतिकी ऐसी चीजों के लिए "क्षण" शब्द का उपयोग क्यों करती है। मेरा मानना ​​है कि यह केवल जड़ता के क्षण (एक दूसरे क्षण) के विचार का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है , जिसे आप "क्षण" के लिए व्युत्पत्ति लिंक में संदर्भित पाते हैं। यही कारण है कि क्यों व्युत्पत्ति प्रासंगिक है।

— whuber

भौतिकी दूसरे, नुपुल की तुलना में अधिक क्षणों को पहचानती है, और सूत्र आँकड़ों के समान हैं। एक वस्तु के "घनत्व" का अनुवाद केवल "संभावना घनत्व" में करता है। वास्तव में, भौतिकी ने इस विचार को सामान्य कर दिया है कि कुछ उपयुक्त समन्वय प्रणाली में एक शक्ति श्रृंखला विस्तार का गुणांक है।

— whuber

@ नुपुल मुझे नहीं पता कि अगर मैंने जो कुछ कहा है, उससे ज्यादा कुछ जोड़ सकता हूं। मैं सोच रहा हूं कि मैंने अपनी प्रतिक्रिया और व्हाट्सएप की टिप्पणियों से जो कुछ भी जोड़ा है, उससे आगे शायद भौतिकी एसई में अधिक अच्छी तरह से संबोधित किया जा सकता है । और अगर यह अभी भी 'गहरा' नहीं है, तो हमेशा अंग्रेजी एसई है जिसका 5 वां सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला टैग 'व्युत्पत्ति' है। लेकिन, महान सवाल! इस पर शोध करने में मज़ा आया और 3 महान पत्र मिले जिनका मुझे कभी पता नहीं था।

Answer 2

हर किसी का पल पल होता है। मेरे पास क्यूमुलेंट में मेरा नाम था और विचरण, तिरछापन और कुर्तोसिस से परे के नाम , और इस भयावह धागे को पढ़ने में कुछ समय बिताया।

अजीब तरह से, मुझे "हा डेविड के कागज" में "क्षण का उल्लेख" नहीं मिला। इसलिए मैं कार्ल पियर्सन: द साइंटिफिक लाइफ इन ए स्टैटिस्टिकल एज , टीएम पोर्टर की एक किताब। और कार्ल पियर्सन और द ऑरिजिन्स ऑफ मॉडर्न स्टैटिस्टिक्स: एन इलास्टिकियन। एक सांख्यिकीविद बन जाता है । उन्होंने उदाहरण के लिए, ए हिस्ट्री ऑफ़ थ्योरी ऑफ़ इलास्टिकिटी एंड द स्ट्रेंथ ऑफ़ मटीरियल्स ऑफ़ गैलिली से वर्तमान समय तक संपादित किया ।

उनकी पृष्ठभूमि बहुत विस्तृत थी, और वे विशेष रूप से इंजीनियरिंग और इलास्टिक के एक प्रोफेसर थे, जो एक पुल की अवधि के झुकने के क्षणों को निर्धारित करने और चिनाई वाले बांधों पर तनाव की गणना करने में शामिल थे। लोच में, कोई केवल वही देखता है जो सीमित रूप से चल रहा है (टूटना)। वह (पोर्टर की पुस्तक से) में रुचि रखते थे:

चित्रमय गणना या, इसके सबसे गरिमापूर्ण और गणितीय रूप में, ग्राफिकल स्टेटिक्स।

बाद में :

अपने सांख्यिकीय कैरियर की शुरुआत से, और इससे पहले भी, वह "क्षणों की पद्धति" का उपयोग करके घटता फिट बैठता है। यांत्रिकी में, इसका मतलब एक जटिल शरीर से एक साधारण या अमूर्त मिलान करना था जिसमें द्रव्यमान और "स्विंग त्रिज्या" का समान केंद्र था, क्रमशः पहले और दूसरे क्षण। ये मात्राएँ आँकड़ों के अनुरूप होती हैं और माध्य के चारों ओर मापों के प्रसार या फैलाव की।

और तब से:

पियर्सन असतत माप अंतराल में निपटा, यह एक अभिन्न के बजाय एक योग था

जड़त्वीय क्षण एक गतिशील शरीर के सारांश के लिए खड़े हो सकते हैं: संगणनों को बाहर किया जा सकता है जैसे कि शरीर को एक बिंदु पर घटाया गया था।

पियर्सन ने इन पांचों समानताओं को समीकरणों की प्रणाली के रूप में स्थापित किया, जो कि नौवीं डिग्री में से एक में संयुक्त है। एक संख्यात्मक समाधान केवल क्रमिक अनुमानों द्वारा संभव था। नौ वास्तविक समाधान के रूप में कई हो सकते थे, हालांकि वर्तमान उदाहरण में केवल दो थे। उन्होंने दोनों परिणामों को मूल के साथ रेखांकन किया, और आमतौर पर परिणाम की उपस्थिति से प्रसन्न थे। हालांकि, उन्होंने उनके बीच फैसला करने के लिए दृश्य निरीक्षण पर भरोसा नहीं किया, लेकिन सर्वश्रेष्ठ मैच का फैसला करने के लिए छठे पल की गणना की

आइए हम भौतिकी पर वापस जाएं। एक क्षण एक भौतिक मात्रा है जो एक भौतिक संपत्ति की स्थानीय व्यवस्था को ध्यान में रखता है, आम तौर पर एक निश्चित क्रमिक बिंदु या अक्ष के संबंध में (अंतरिक्ष या समय में शास्त्रीय रूप से)। यह भौतिक मात्रा को एक संदर्भ से कुछ दूरी पर मापा जाता है। यदि मात्रा एक बिंदु पर केंद्रित नहीं है, तो अभिन्न या योग के माध्यम से, पल पूरे स्थान पर "औसत" है।

जाहिरा तौर पर, आर्किमिडीज द्वारा लीवर के "खोज" के ऑपरेटिंग सिद्धांत की खोज के क्षणों की अवधारणा का पता लगाया जा सकता है। पहली ज्ञात घटना में से एक लैटिन शब्द "संवेग" है जो वर्तमान स्वीकृत अर्थ (रोटेशन के केंद्र के बारे में क्षण) के साथ है। 1565 में, फेडेरिको कमांडो ने आर्किमिडीज के काम का अनुवाद किया (लिबर डे सेंट्रो ग्रेविटिस सॉलिडोरम) इस प्रकार है:

प्रत्येक ठोस आकृति के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उसके भीतर वह बिंदु है, जिसके बारे में सभी तरफ समान क्षण के हिस्से खड़े होते हैं।

या

सेंट्रम ग्रेविटेट्स यूनीस्क्यूयस सोलिडे अंजीर इस्ट पंचनम इलूड इंट्रा पॉज़िटम, सरमा क्वॉड अनडिक्ट पार्टस एसेपेलियम मोमेंटोरम

तो जाहिर है, भौतिकी के साथ सादृश्य काफी मजबूत है: एक जटिल असतत भौतिक आकृति से, मात्राओं को ढूंढें जो इसे पर्याप्त रूप से, संपीड़न या पार्सिमनी का एक रूप देते हैं।

Answer 3

अत्यधिक सरलीकृत होने के कारण, सांख्यिकीय क्षण किसी वक्र / वितरण के अतिरिक्त विवरणक होते हैं। हम पहले दो क्षणों से परिचित हैं और ये आम तौर पर निरंतर सामान्य वितरण या समान वक्रों के लिए उपयोगी होते हैं। हालाँकि ये पहले दो क्षण अन्य वितरणों के लिए अपने सूचनात्मक मूल्य को खो देते हैं। इस प्रकार अन्य क्षण वितरण के आकार / रूप पर अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं।

Comments

मुझे नहीं लगता है कि पहले दो क्षणों का अर्थ सभी गैर-सामान्य वितरणों के लिए अर्थ खो देता है, उदाहरण के लिए, औसत निवास का समय आम तौर पर एक समय श्रृंखला में पहले पल या अभिन्न औसत होता है।

— कार्ल

Answer 4

प्रश्न: तो इस मामले में "पल" शब्द का क्या अर्थ है? शब्द का यह विकल्प क्यों? यह मेरे लिए सहज ज्ञान युक्त नहीं है (या मैंने इसे कॉलेज में कभी इस तरह से नहीं सुना था :) यह सोचने के लिए आओ कि मैं "जड़ता के क्षण" में इसके उपयोग के साथ समान रूप से उत्सुक हूं;) लेकिन आइए अब इसके लिए उस पर ध्यान केंद्रित न करें।

उत्तर: वास्तव में, एक ऐतिहासिक अर्थ में, जड़ता का क्षण संभवतः वह है जहां शब्द के क्षण का बोध होता है। वास्तव में, एक (नीचे के रूप में) दिखा सकता है कि जड़ता का क्षण किस प्रकार विचरण से संबंधित है। इससे उच्च क्षणों की भौतिक व्याख्या भी होती है।

भौतिक विज्ञान में, एक क्षण एक दूरी और एक भौतिक मात्रा के उत्पाद को शामिल करने वाला एक अभिव्यक्ति है, और इस तरह यह इस बात का हिसाब रखता है कि भौतिक मात्रा कैसे स्थित या व्यवस्थित है। क्षणों को आमतौर पर एक निश्चित संदर्भ बिंदु के संबंध में परिभाषित किया जाता है; वे भौतिक मात्रा के साथ उस संदर्भ बिंदु से कुछ दूरी पर मापा जाता है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु पर बल लगाने का क्षण, जिसे अक्सर टोक़ कहा जाता है, बल का उत्पाद है और संदर्भ बिंदु से दूरी, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में है।

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

क्या होगा अगर हम पीछे की गणना करना चाहते हैं, अर्थात, एक 3 डी ठोस ऑब्जेक्ट लें और इसे एक प्रायिकता फ़ंक्शन में बदल दें? चीजें तब थोड़ी पेचीदा हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, हम एक टोरस लेते हैं ।

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$

Comments

क्षण और व्युत्पत्ति के बीच संबंध अस्पष्ट है। (यह निश्चित रूप से मौजूद है, लेकिन संबंध आमतौर पर फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से पता चलता है।) क्या आप स्पष्ट रूप से दिखा सकते हैं कि कैसे और क्यों क्षणों को डेरिवेटिव के रूप में व्याख्या की जा सकती है? यह कैसे काम करता है?

— whuber

@ जब बाद में, इस क्षण के ऊपर लिंक को देखो, यह दिखाता है ||

— कार्ल

धन्यवाद। मुझे वह पृष्ठ दिखाई दे रहा है और मुझे इस बात की झलक मिलती है कि आप क्या कर रहे हैं, लेकिन वितरण के क्षणों के साथ संबंध स्पष्ट नहीं है। मैं अंतर्विरोधी हूं और इस विचार के आपके आगे विस्तार के लिए तत्पर हूं।

— whuber

@whuber इसे देखें और देखें कि क्या आप सहमत हैं।

— कार्ल

$x$$x=e^{iq}$$q$