गति के साथ यादृच्छिक चलना

निम्नलिखित स्थितियों के साथ 0 से शुरू होने वाले पूर्णांक रैंडम वॉक पर विचार करें:

पहला कदम समान संभावना के साथ प्लस या माइनस 1 है।
प्रत्येक भविष्य का कदम है: 60% पिछले चरण के समान दिशा में होने की संभावना है, 40% विपरीत दिशा में होने की संभावना है

यह किस प्रकार का वितरण करता है?

मुझे पता है कि एक गैर-गति यादृच्छिक चलने से एक सामान्य वितरण होता है। क्या गति केवल परिवर्तन को बदलती है, या वितरण की प्रकृति को पूरी तरह से बदल देती है?

मैं एक सामान्य उत्तर की तलाश में हूं, इसलिए 60% और 40% ऊपर, मेरा वास्तव में मतलब है पी और 1-पी

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
स्रोत

वास्तव में, @Dilip, आपको राज्यों के अनुक्रमित जोड़े

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ और

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ , अनुक्रमित राज्यों के साथ एक मार्कोव श्रृंखला की आवश्यकता है । संक्रमण हैं और प्रायिकता और और प्रायिकता ।

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

ध्यान दें कि चरण आकार एक पर एक मार्कोव श्रृंखला बनाते हैं और आप इसे एक स्थिर वितरण पर शुरू करने के लिए (!) करते हैं।

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— कार्डिनल

क्या आप लिए एक सीमित (सीमांत) वितरण चाहते हैं, जहां चलना के चरण हैं?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— कार्डिनल

एक अन्य दृष्टिकोण ज्यामितीय यादृच्छिक चर के वैकल्पिक योगों को देखने के लिए हो सकता है, फिर कुछ मार्टिंगेल सिद्धांत लागू करें। समस्या यह है कि आपको किसी प्रकार के रोक समय को परिभाषित करना होगा, जो मुश्किल हो सकता है।

— shabbychef

जवाबों:

तुरंत निष्कर्ष पर कूदने के लिए, "गति" इस तथ्य को नहीं बदलता है कि सामान्य वितरण यादृच्छिक चलने के वितरण का एक , लेकिन विचरण से बदलता है । यह इस विशेष मामले में अपेक्षाकृत प्रारंभिक विचारों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। यह कहना मुश्किल नहीं है कि परिमित राज्य अंतरिक्ष मार्कोव श्रृंखला के लिए सीएलटी के नीचे दिए गए तर्कों को सामान्य बनाना मुश्किल है, लेकिन वास्तव में सबसे बड़ी समस्या विचरण की गणना है। विशेष समस्या के लिए इसकी गणना की जा सकती है, और उम्मीद है कि नीचे दिए गए तर्क पाठक को समझा सकते हैं कि यह सही विचरण है। $4np(1-p)$ $np/(1-p)$

कार्डिनल एक टिप्पणी में प्रदान करता है कि अंतर्दृष्टि का उपयोग करते हुए, यादृच्छिक चलना जहां और के साथ एक Markov श्रृंखला बनाते हैं संक्रमण संभावना मैट्रिक्स जब विषमता के लिए के प्रारंभिक वितरण है तो कोई भूमिका नहीं निभाता है, इसलिए निम्न तर्क के लिए को ठीक करने देता है, और यह भी मान लें कि । एक चालाक तकनीक मार्कोव श्रृंखला को स्वतंत्र चक्रों में विघटित करना है। Let

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$ 1 के बाद पहली बार निरूपित करें, कि मार्कोव श्रृंखला 1 पर लौटती है। अर्थात्, यदि तत्कालीन , और यदि और तो । सामान्य तौर पर, let की वें वापसी समय को 1 पर निरूपित करते हैं और को अंतर-रिटर्न बार ( साथ निरूपित करते हैं । इन परिभाषाओं के साथ, हमारे पास है

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

साथ तो $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
चूंकि मूल्य लेता के लिए और यह मानती है कि $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
वापसी के समय, मार्कोव श्रृंखला के लिए , औपचारिक रूप से (मजबूत मार्कोव संपत्ति के कारण) iid हैं और इस मामले में माध्य और भिन्नता । यह इंगित किया गया है कि नीचे माध्य और विचरण की गणना कैसे की जाए। $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
चर के लिए साधारण CLT पैदावार करता है कि $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
ध्यान देने वाली अंतिम बात, जिसके लिए विश्वास की एक छोटी छलांग की आवश्यकता होती है, क्योंकि मैं विवरण छोड़ देता हूं, वह है , जो पैदावार देता है। $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

के क्षणों की गणना करने के लिए, कोई ध्यान दे सकता है कि और , । फिर उन तकनीकों के समान उपयोग किया जाता है जब ज्यामितीय वितरण के लिए कंप्यूटिंग क्षणों को लागू किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यदि सफलता की संभावना और साथ ज्यामितीय है , तो में के समान वितरण है , और इसके लिए माध्य और विचरण की गणना करना आसान है यह बाद का प्रतिनिधित्व है। $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
स्रोत

+1 अच्छा। मैंने केवल लिए एसिम्प्टोटिक वितरण लिखा होगा , यह स्पष्ट रूप से दिखाने के लिए कि CLT सामान्य तरीके से लागू होता है। लेकिन वह केवल स्वाद की बात है।

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— mpiktas

वैन बेले के 'रूल ऑफ थम्ब' 8.7 (अपनी पुस्तक के दूसरे संस्करण से ) में माध्य की मानक त्रुटि के लिए एक सन्निकटन शामिल है जब नवाचारों में स्वतःसंबंध । इस का उपयोग कर अनुवाद कर रहा है देता है जहां चरणों के बाद यादृच्छिक चलने की स्थिति है , और नमूना मानक विचलन है (जो कि, asymptotically , । यह उतावलापन है कि मैं उम्मीद करता हूं, एक मोटे अंदाजे के तौर पर, कि का मानक विचलन चारों ओर होना चाहिए $\rho$ $\rho = 2p - 1$

की सच्ची मानक त्रुटि \bar{एक्स} \approx \sqrt{\frac{पी}{1 - पी}} \frac{रों}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ ।

संपादित करें : मेरा गलत ऑटोकैरेलेशन था (या इसके बजाय को अलग तरीके से व्याख्या की जानी चाहिए थी); अब सुसंगत है (मुझे उम्मीद है!) $p$

— shabbychef
स्रोत

दिलचस्प। मुझे यकीन नहीं है कि सबकेस के लिए कुछ भी बहुत समझदार है ; हालाँकि, यह उस मामले से जुड़ी विकृति के कारण हो सकता है।

p = 0

$p=0$

— कार्डिनल

@कार्डिनल अच्छा कैच, ऑटोकैरेलेशन होना चाहिए न कि । इसे ठीक कर रहा है ...

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$

— शबबिफेफ