वर्ष 1300 में जन्मे किसी व्यक्ति विशेष से मेरा अवतरण होने की कितनी संभावना है?

26

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित पर आधारित है, पी क्या है?

मानवविज्ञान या सामाजिक विज्ञान के बजाय इसे गणित की समस्या बनाने के लिए और समस्या को सरल बनाने के लिए, यह मान लें कि साथियों को आबादी में समान संभावना के साथ चुना जाता है, सिवाय इसके कि भाई-बहन और पहले चचेरे भाई कभी दोस्त नहीं होते हैं, और साथी हमेशा एक ही से चुने जाते हैं। पीढ़ी।

$n_1$ - प्रारंभिक जनसंख्या
$g$ - संख्या पीढ़ियों।
$c$ - प्रति युगल बच्चों की औसत संख्या। (यदि उत्तर के लिए आवश्यक है, तो मान लें कि हर जोड़े में बच्चों की संख्या समान है।)
$z$ - ऐसे लोगों का प्रतिशत, जिनकी कोई संतान नहीं है, और जिन्हें दंपत्ति का हिस्सा नहीं माना जाता है।
$n_2$ - अंतिम पीढ़ी में जनसंख्या। (या तो या दिया जाना चाहिए, और मुझे लगता है कि दूसरे की गणना की जा सकती है।) $n_2$ $z$
$p$ - अंतिम पीढ़ी में किसी की संभावना प्रारंभिक पीढ़ी में किसी विशेष व्यक्ति का वंशज है।

इन चरों को निश्चित रूप से बदला, छोड़ा या जोड़ा जा सकता है। मैं सरलता के लिए मान रहा हूं कि और समय के साथ नहीं बदलते हैं। मुझे लगता है कि यह बहुत मोटा अनुमान होगा, लेकिन यह एक प्रारंभिक बिंदु है। $c$ $z$

भाग 2 (आगे के शोध के लिए सुझाव):

आप कैसे विचार कर सकते हैं कि विश्व स्तर पर समान संभावना वाले साथी नहीं चुने गए हैं? वास्तव में, साथी एक ही भौगोलिक क्षेत्र, सामाजिक-आर्थिक पृष्ठभूमि, नस्ल और धार्मिक पृष्ठभूमि के होने की अधिक संभावना रखते हैं। इसके लिए वास्तविक संभावनाओं पर शोध किए बिना, इन कारकों के चर कैसे चलन में आएंगे? यह कितना महत्वपूर्ण होगा?

probability stochastic-processes genetics

— xpda
स्रोत

2

क्या यह एक होमवर्क प्रश्न है? अन्यथा, संदर्भ क्या है?

— डेविड लेबॉयर

1

@ जॉन: आपके संपादन के लिए धन्यवाद। मेरा मानना है कि मौजूदा सहमति (इस साइट और अन्य पर) यह है कि हम केवल homeworkटैग जोड़ने के लिए प्रश्नों को संपादित नहीं करते हैं । सभी के लिए बेहतर है कि ओपी को ऐसा करने दिया जाए। यदि आप पहले से ही इसे नहीं देख पाए हैं तो आपको इस मेटा थ्रेड में रुचि हो सकती है।

— कार्डिनल

मैं बस उत्सुक हूँ। मैं एक छात्र नहीं हूं और यह किसी का होमवर्क नहीं है। मैं केवल अतिरिक्त क्रेडिट के बारे में मजाक कर रहा था, हालांकि मैं देख सकता हूं कि यह कैसे होमवर्क का संकेत देगा।

— xpda

3

जवाब में से एक प्रारंभिक समझने के लिए, अंश पर विचार आबादी है कि है नहीं वंश के द्वारा दिए गए पूर्वज से संबंधित। आबादी के लिए प्रारंभ में । यादृच्छिक मिश्रण के साथ, है चुकता हर पीढ़ी के बाद। का कोई आरंभिक आबादी में , कहते हैं, यह संकेत मिलता है लगभग निश्चित रूप से है के बाद (के बारे में पीढ़ियों - वर्ष)।

f

$f$

f = (n - 1) / n

$f = (n-1)/n$

n

$n$

f

$f$

n = 10^{8}

$n=10^8$

f

$f$

0

$0$

32

$32$

600

$600$

800

$800$

— whuber

1

मेरा मानना है कि विलक्षण उपनाम के विलुप्त होने की संभावना पर कुछ अकादमिक शोध हैं। हालांकि समस्या के समान नहीं, यह कुछ दिलचस्प जानकारी प्रदान कर सकता है (लेकिन दुर्भाग्य से मुझे याद नहीं है कि यह कहाँ से है)। अजीब तरह से, मेरा मानना है कि उन अध्ययनों से संक्रामक रोग के प्रसार के पीछे गणित में कुछ अंतर्दृष्टि पैदा हुई ...

— माइकल मैकगोवन

13

क्योंकि यह प्रश्न उत्तर प्राप्त कर रहा है जो खगोलीय रूप से छोटे से लगभग 100% तक भिन्न होता है, मैं बेहतर समाधान के लिए संदर्भ और प्रेरणा के रूप में सेवा करने के लिए एक सिमुलेशन की पेशकश करना चाहूंगा।

मैं इन "लौ भूखंडों" को बुलाता हूं। प्रत्येक एक आबादी के भीतर आनुवंशिक सामग्री के फैलाव का दस्तावेज करता है क्योंकि यह असतत पीढ़ियों में प्रजनन करता है। प्लॉट पतले ऊर्ध्वाधर खंडों के एरे हैं जो लोगों को दर्शाते हैं। प्रत्येक पंक्ति एक पीढ़ी का प्रतिनिधित्व करती है, शीर्ष पर एक शुरुआत के साथ। प्रत्येक पीढ़ी के वंशज इसके ठीक नीचे की पंक्ति में हैं।

शुरुआत में, आकार की आबादी में सिर्फ एक व्यक्ति को चिह्नित किया गया है और लाल रंग के रूप में भूखंड हैं। (यह देखना मुश्किल है, लेकिन उन्हें हमेशा शीर्ष पंक्ति के दाईं ओर प्लॉट किया जाता है।) उनके प्रत्यक्ष वंशज इसी तरह लाल रंग में खींचे जाते हैं; वे पूरी तरह से यादृच्छिक स्थिति में दिखाई देंगे। अन्य वंशजों को सफेद के रूप में प्लॉट किया जाता है। क्योंकि जनसंख्या का आकार एक पीढ़ी से दूसरी पीढ़ी तक भिन्न हो सकता है, दाईं ओर एक ग्रे बॉर्डर का उपयोग खाली स्थान को भरने के लिए किया जाता है। $n$

यहाँ 20 स्वतंत्र सिमुलेशन परिणामों की एक सरणी है।

लौ भूखंडों

लाल अनुवांशिक पदार्थ अंतत: इनमें से नौ सिमुलेशन में मर गए, शेष 11 (55%) में बचे। (एक परिदृश्य में, नीचे छोड़ दिया, ऐसा लगता है कि पूरी आबादी अंततः मर गई।) जहां भी बचे थे, हालांकि, लगभग सभी आबादी में लाल आनुवंशिक सामग्री थी। यह इस बात का प्रमाण प्रदान करता है कि लाल जीन वाली अंतिम पीढ़ी से एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति का मौका लगभग 50% है।

सिमुलेशन बेतरतीब ढंग से प्रत्येक पीढ़ी की शुरुआत में एक उत्तरजीविता और एक औसत जन्म दर निर्धारित करके काम करता है। उत्तरजीविता को बीटा (6,2) वितरण से लिया गया है: यह औसतन 75% है। यह संख्या वयस्कता से पहले मृत्यु दर को दर्शाती है और उन लोगों को कोई संतान नहीं है। जन्म दर एक गामा (2.8, 1) वितरण से तैयार की गई है, इसलिए यह औसत 2.8 है। परिणाम आमतौर पर उच्च मृत्यु दर की भरपाई के लिए अपर्याप्त प्रजनन क्षमता की एक क्रूर कहानी है। यह एक अत्यंत निराशावादी, सबसे खराब स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है - लेकिन (जैसा कि मैंने टिप्पणियों में सुझाव दिया है) जनसंख्या बढ़ने की क्षमता आवश्यक नहीं है। प्रत्येक पीढ़ी में सभी मायने रखता है जनसंख्या के भीतर लाल रंग का अनुपात ।

प्रजनन करने के लिए, वर्तमान आबादी को वांछित आकार का एक सरल यादृच्छिक नमूना लेने से बचे हुए लोगों के लिए पतला कर दिया जाता है। इन बचे हुए लोगों को बेतरतीब ढंग से जोड़ा जाता है (किसी भी अजीब उत्तरजीवी को जोड़े के बाद छोड़ दिया जाता है जो पुन: उत्पन्न करने के लिए नहीं मिलता है)। प्रत्येक जोड़ी एक पोइसन वितरण से तैयार किए गए बच्चों की संख्या पैदा करती है, जिसका अर्थ है पीढ़ी की जन्म दर। तो या तो माता-पिता के लाल मार्कर होता है, सभी या तो माता पिता के माध्यम से इस मॉडल प्रत्यक्ष वंश के विचार: बच्चों को इसके वारिस।

यह उदाहरण 512 की आबादी से शुरू होता है और 11 पीढ़ियों के लिए सिमुलेशन चलाता है (शुरुआत सहित 12 पंक्तियाँ)। इस अनुकार की भिन्नताएँ और लोग जीवित और विभिन्न जन्म दर का उपयोग करते हुए, सभी समान विशेषताएँ प्रदर्शित करते हैं: पीढ़ियों के अंत तक इस मामले में नौ), लगभग 1/3 मौका है कि सभी लाल बाहर मर गए हैं, लेकिन अगर ऐसा नहीं है, तो अधिकांश आबादी लाल है। दो या तीन और पीढ़ियों के भीतर, लगभग सभी आबादी लाल है और लाल रहेगी (या फिर आबादी पूरी तरह से मर जाएगी)। $n=8$ $2^{14} = 16,384$ $\log_2(n)$

एक पीढ़ी में 75% या उससे कम की उत्तरजीविता वैसे भी काल्पनिक नहीं है। 1347 के अंत में बुबोनिक प्लेग से पीड़ित चूहों ने पहले एशिया से यूरोप तक अपना रास्ता बनाया; अगले तीन वर्षों के दौरान, यूरोपीय आबादी के 10% और 50% लोगों के बीच कहीं न कहीं मौत हुई। प्लेग सैकड़ों वर्षों के बाद लगभग एक पीढ़ी तक (लेकिन आमतौर पर समान मृत्यु दर के साथ नहीं)।

कोड

सिमुलेशन गणितज्ञ 8 के साथ बनाया गया था :

randomPairs[s_List] := Partition[s[[Ordering[RandomReal[{0, 1}, Length[s]]]]], 2];

next[s_List, survive_, nKids_] := Flatten[ConstantArray[Max[#], 
   RandomVariate[PoissonDistribution[nKids]]] & /@ 
   randomPairs[RandomSample[s, Ceiling[survive Length[s]]]]] 

Partition[Table[
   With[{n = 6}, ArrayPlot[NestList[next[#, RandomVariate[BetaDistribution[6, 2]], 
        RandomVariate[GammaDistribution[3.2, 1]]] &, 
        Join[ConstantArray[0, 2^n - 1], ConstantArray[1, 1]], n + 2], 
     AspectRatio -> 2^(n/3)/(2 n), 
     ColorRules -> {1 -> RGBColor[.6, .1, .1]},  
     Background -> RGBColor[.9, .9, .9]]
    ], {i, 1, 20}
   ], 4] // TableForm

— व्हीबर
स्रोत

1

मुझे लगता है कि इस तरह से मॉडलिंग करना सबसे अच्छा तरीका हो सकता है। यह गणित की तुलना में कहीं अधिक सरल और अधिक मजेदार (मेरे लिए) है, और इसे मेट चयन को प्रतिबंधित करने वाले कारकों को पेश करना बहुत आसान बनाना चाहिए। इससे पहले कि मैं इस पर डुबकी लगाऊं क्या आपके पास कोई सिफारिशें, चेतावनी या अन्य सलाह हैं?

— xpda

3

@xpda गणितीय समाधान इस बात की जानकारी प्रदान करेगा कि क्या मायने रखता है और क्या नहीं। उदाहरण के लिए, वे दिखाएंगे कि जरूरी नहीं कि आपको बहुत बड़ी आबादी को मॉडल बनाना पड़े। वे परिवर्तनशीलता द्वारा निभाई गई भूमिका को भी इंगित करेंगे, जो विश्लेषणात्मक रूप से संभालना कठिन है और एक सिमुलेशन में सामने आता है।

— whuber

1

@whuber क्या आपने Mathematica में सिमुलेशन चलाया है? क्या आप कोड पोस्टिंग को बुरा मानेंगे?

— 21

1

@ मोम कोड अब ऊपर है। मैं टिप्पणियों की कमी के लिए माफी मांगता हूं। यदि आप प्रत्येक randomPairsऔर nextपरीक्षण डेटा पर चलाते हैं , तो उनके कार्य स्पष्ट होने चाहिए। कई पीढ़ियों का उत्पादन करने के NestListलिए पुनरावृति के उपयोग पर ध्यान दें next।

— whuber

3

जब आप पूर्वजों को गिनने की कोशिश करते हैं तो क्या होता है?

आपके 2 माता-पिता, 4 दादा-दादी, 8 महान दादा-दादी हैं, ... इसलिए यदि आप पीढ़ियों से जाते हैं तो आपके पास पूर्वज हैं। मान लेते हैं कि औसतन वर्ष की लंबाई है । 1300 के बाद से लगभग पीढ़ियाँ हैं, जो हमें उस समय लगभग 268 मिलियन पूर्वजों से मिलती हैं। $n$ $2^n$ $25$ $28$

यह सही बॉलपार्क है, लेकिन इस गणना में कुछ गड़बड़ है, क्योंकि 1300 में पृथ्वी की आबादी समान रूप से मिश्रित नहीं हुई थी, और हम आपके पूर्वजों "पेड़" के भीतर अंतर्जातीय विवाह की अनदेखी कर रहे हैं, यानी हम कुछ पूर्वजों की दोहरी गिनती कर रहे हैं।

फिर भी, मुझे लगता है, यह इस संभावना पर एक सही ऊपरी सीमा तक ले जा सकता है कि 1300 में बेतरतीब ढंग से चुने गए व्यक्ति आपके पूर्वज हैं जो 1300 में आबादी के लिए का अनुपात लेते हैं। $2^{28}$

— vqv
स्रोत

2

बहुत अधिक जनसंख्या को पीछे देखते हुए बहुत महत्वपूर्ण थे, बल्कि एक-दूसरे से अलग-थलग थे, इसलिए अंतर्जातीय विवाह से बचने का अवसर बहुत कम था।

— DCL

2

तो चलो मान लेते हैं कि ओपी अंग्रेजी वंश से है और 1300 के आसपास, इंग्लैंड की आबादी दस लाख से अधिक थी। (महान अकाल से पहले कहते हैं)। यह आपके विश्लेषण को कैसे बदलेगा?

— dassouki

मिलियन, बिलियन नहीं। यह सही बॉलपार्क है।

2^{28} \approx 268

$2^{28}\approx 268$

— whuber

डी 'ओह! उत्तर संपादित किया। गणना अभी भी अंतर्जातीय विवाह पर ध्यान नहीं देता, लेकिन यह एक सही ऊपरी संभावना पर बाध्य कि 1300 में एक अनियमित रूप से चुने व्यक्ति अंश लेकर अपनी पूर्वज है दे सकता है:

या

सौ करोड़।

2^{28} / 3

$2^{28} / 3$

4

$4$

— vqv

2

जितना अधिक आप वापस जाते हैं, उतनी अधिक संभावना है कि आप उस व्यक्ति से संबंधित हैं जो सफलतापूर्वक उस समय में रहने वाले उनके जीन के साथ गुजरता है। 1/4 बिलियन पूर्वजों में से जो आप 1300 में रह चुके हैं, उनमें से कई आपके पारिवारिक पेड़ में सैकड़ों (यदि हजारों नहीं, लाखों) हैं। जेनेटिक बहाव और जितनी बार हम सीधे किसी से संबंधित होते हैं, संभवतः हमारे आनुवंशिक कोड में अंतर से अधिक प्रासंगिक होते हैं, जो हमारे पूर्वज थे।

— टिम
स्रोत

0

प्रायिकता = 1-z है, इस समस्या का प्रत्येक वंश ऊपर के पूर्वजों से संबंधित है। प्रजनन की प्रारंभिक दर जो भी हो (1-z) प्रारंभिक आबादी में किसी के वंशज होने की आपकी संभावना है। केवल अनिश्चित संभावना है कि अंतिम आबादी में जीवित रहने की संभावना क्या है।

मैं एराड के जवाब से सहमत हूं, हालांकि अब मुझे लगता है कि यह एक ऐसे सवाल का जवाब देता है, जो नहीं पूछा गया था - अर्थात् क्या संभावना है कि आप जीवित हैं कुछ ज्ञात प्रजनन और जनसंख्या बाधाओं को आपके अग्र-दाताओं पर दिया गया है।

— डब्ल्यूआईपीए
स्रोत

n_{1}

$n_1$

z

$z$

z

$z$

g

$g$

इसके अलावा, स्पष्ट करने के लिए, सवाल यह है कि अंतिम पीढ़ी में किसी व्यक्ति विशेष की संभावना को शुरुआती पीढ़ी में किसी विशेष व्यक्ति से उतारा जाए।

— xpda

1

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

@Wipa डेसकार्टेस Cogito, Ergo राशि जोरदार संभावना मैं ज़िंदा हूँ दिया पता चलता है किसी भी मेरे पूर्वजों पर बाधाओं 100% :-) है

— whuber

@ शुभंकर, आप सही हैं। मेरा मानना है कि हम उसी समस्या के बारे में बात कर रहे हैं। मैं जिस बात को स्पष्ट करना चाहता था वह यह है कि मैं पहली पीढ़ी में किसी की संभावना की तलाश नहीं कर रहा हूं, जो पिछली पीढ़ी में जीवित है। मुझे डर था कि विपा जवाब के लिए (1-जेड) के साथ आया था।

— xpda

0

p > (1 - z) \times \frac{\frac{1}{n_{1} (1 - z)}}{2} = \frac{2}{n_{1}}

$p > {(1-z)} \times {{{1} \over {n_1(1-z)}} \over {2}} = {2 \over n_1}$

उत्तर समझाया गया:
आज किसी विशेष व्यक्ति को देखते हुए, यह निश्चित है कि वे 1300 में कम से कम 2 लोगों के वंशज हैं ।

किसी विशेष व्यक्ति को 1300 में उठाते समय, (1-z) मौका होता है कि वह व्यक्ति कभी भी पुन: पेश नहीं हुआ है, और दूसरा शब्द 'माता-पिता जोड़ों' की संख्या के लिए है, और व्यक्ति के लिए इस जोड़े से संबंधित होने की संभावना (1 /) जोड़ों की संख्या)।

(1-z) समाप्त होता है, हमें साथ छोड़ देता है

p > \frac{2}{n_{1}}

$p > {2 \over n_1}$

n_{k + 1} = \frac{n_{k} (1 - z) \times c}{2} = \frac{n_{1} (1 - z)^{k} c^{k}}{2^{k}}

$n_{k+1} = {{n_k(1-z)\times c} \over 2} = {n_1(1-z)^kc^k \over 2^k}$

p > 2 / 360, 000, 000 = 5.56 \times 10^{- 9}

$p > 2 / 360,000,000 = 5.56 \times 10^{-9}$

पढ़ने के लिए धन्यवाद, Erad

— Erad
स्रोत

c

$c$

z

$z$

ऊपर दिए गए मूल प्रश्न के आधार पर: c = प्रति जोड़े बच्चों की औसत संख्या, और z = ऐसे लोगों का प्रतिशत जिनके कोई बच्चे नहीं हैं

— Erad

2

1 / n

$1/n$

1 / 360 M \approx 10^{- 9}

$1/360M\approx 10^{-9}$

3

360, 000, 000 / (2.66 \times 10^{249}) ≪ 1

$360,000,000 / (2.66 \times 10^{249}) \ll 1$

1

10^{- 8}

$10^{-8}$

0

यह एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है क्योंकि यह हमें गणितीय रूप से एक भग्न को हल करने के लिए कह रहा है। जैसे कि जीवन का प्रसिद्ध खेल ।

जनसंख्या का%, जो प्रत्येक पीढ़ी से संबंधित है, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर बढ़ेगा, से शुरू होगा $p_1={2 \over n_1}$ $\lim_{k \to \infty } p_k = (1-z)$

$p_k$ $k$

{पी}_{1} = \frac{2}{n_{1}}

$p_1 = {2 \over n_1}$

{पी}_{2} = आर ई एल ए टी मैं v ई रों \times \frac{2}{n_{2}} + n ओ n । आर ई एल ए टी मैं v ई रों \times \frac{4}{n_{2}}

$p_2 = relatives \times {2 \over n_2} + non.relatives \times {4 \over n_2}$

आर ई एल ए टी मैं v ई रों = \frac{(\binom{सी}{2}) \times \frac{n}{सी}}{(\binom{n}{2})} = \frac{सी - 1}{n - 1}

$relatives = {\binom{c}{2} \times {n \over c} \over \binom{n}{2}} = {c-1 \over n-1}$

{पी}_{3} = मैं मीटर मीटर ई घ मैं ए टी ई । आर ई एल ए टी मैं v ई रों \times \frac{4}{n_{3}} + सी ओ यू रों मैं n रों \times \frac{6}{n_{3}} + n ओ n । आर ई एल ए टी मैं v ई रों \times \frac{8}{n_{3}}

$p_3 = immediate.relatives \times {4 \over n_3} + cousins \times {6 \over n_3} + non.relatives \times {8 \over n_3}$

प्रत्येक पीढ़ी के साथ, प्रारंभिक जनसंख्या पर किसी से संबंधित होने की संभावना निस्संदेह बढ़ेगी, लेकिन कम गति से। ऐसा इसलिए है क्योंकि "रिश्तेदारों" को आकर्षित करने की संभावना जो उसी या उसी तरह के पेड़ से आ रही है, बढ़ेगी।

एक उदाहरण के रूप में जातीयता का उपयोग करें। कहते हैं कि हम एक तथ्य के लिए जानते हैं कि कोई 100% कोकेशियान है। पीढ़ी 28 में वह 1300 में कोकेशियान आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से से संबंधित है (जैसा कि @whuber सिमुलेशन द्वारा दिखाया गया है)। कहते हैं कि वह किसी ऐसे व्यक्ति से शादी कर रहा है जो अलग जातीयता का 100% है। उनकी संतानों को 1300 से जुड़े लोगों की संख्या से लगभग दोगुना जोड़ा जाएगा।

एक और दिलचस्प विचार यह है कि अफ्रीका में मानव (होमोसैपियन) की दौड़ ~ 600 लोगों से शुरू हुई है, तो हम उन सभी के आनुवंशिक अनुवीक्षण की सबसे अधिक संभावना है जो सफलतापूर्वक संभोग करते हैं।

— दर्शाता है
स्रोत