क्या यह तथ्य कि मेरा इतालवी बेटा एक प्राथमिक विद्यालय में भाग लेने जा रहा है, अपनी कक्षा में उपस्थित होने के लिए इतालवी बच्चों की अपेक्षित संख्या को बदल देगा?

37

यह एक वास्तविक जीवन की स्थिति से उपजा सवाल है, जिसके जवाब के लिए मैं वास्तव में हैरान हूं।

मेरा बेटा लंदन में प्राइमरी स्कूल शुरू करने की वजह से है। जैसा कि हम इतालवी हैं, मैं यह जानने के लिए उत्सुक था कि कितने इतालवी बच्चे पहले से ही स्कूल में भाग ले रहे हैं। मैंने आवेदन करते समय प्रवेश अधिकारी से यह पूछा, और उसने मुझे बताया कि उनके पास प्रति वर्ग (30 में से) औसतन 2 इतालवी बच्चे हैं।

मैं अब उस समय पर हूं जहां मुझे पता है कि मेरे बच्चे को स्वीकार कर लिया गया है, लेकिन मुझे अन्य बच्चों के बारे में कोई जानकारी नहीं है। प्रवेश मानदंड दूरी पर आधारित हैं, लेकिन इस प्रश्न के उद्देश्य के लिए, मेरा मानना है कि हम यह मान सकते हैं कि यह आवेदकों के एक बड़े नमूने से यादृच्छिक आवंटन पर आधारित है।

मेरे बेटे के कक्षा में कितने इतालवी बच्चे होने की उम्मीद है? क्या यह 2 या 3 के करीब होगा?

probability self-study average

— user90213
स्रोत

39

यह मुझे पुराने मजाक की याद दिलाता है, "जब मैं यात्रा करता हूं तो मैं हमेशा एक बम ले जाता हूं, क्योंकि एक ही विमान में दो लोगों के पास बम होने की क्या संभावना है ?"

— छिपकली

2

प्रवेश अधिकारी ने आपको बताया कि उनके पास प्रति वर्ग औसतन 2 इतालवी बच्चे हैं, यह डेटा मेरे लिए 'संदिग्ध' है। यदि यह वास्तविक गणना से उपजी है, तो आप एक गैर-गोल संख्या की उम्मीद करेंगे। तो यह संभव है कि सही मूल्य 1.51 या 2.49 है, कहो। इसके अलावा, चूंकि प्रवेश अधिकारी उनके उत्तर के साथ आपको 'कृपया' करने की कोशिश करने की अधिक संभावना रखते हैं, वे नीचे के बजाय गोल हो सकते हैं (यदि उन्हें लगता है कि आप अन्य इटालियंस के बीच अपने बच्चे को प्रसन्न करना चाहते हैं), तो सुझाव है कि संभावना 2 के समीप मूल्यों पर वितरण गैर-सममित होगा। नीचे दिए गए उत्तर अनुकूलित किए जा सकते हैं।

— पैट्रिक

4

@PatrickT "मोड" औसत प्रकार का एक वैध प्रकार है।

— इयान रिंगरोज ने

1

जवाब देने के लिए बहुत सारे लोगों को धन्यवाद। मैंने अब एक समान प्रश्न भी पोस्ट किया है, लेकिन एक अलग फ्रेमनिंग ( आंकड़े.stackexchange.com/questions/173969/… ) के साथ, जिसे आपके कुछ इनपुट / उत्तरों से ट्रिगर किया गया है।

— user90213

1

@PatrickT मुझे लगता है कि बहुत अधिक खराब शिक्षित लोग हैं जो 1.5 से भ्रमित होंगे ("आपके पास आधा बच्चा कैसे है?") आँकड़ों की तुलना में अत्यधिक चक्कर के बारे में नाराज होने से मुझे अधिक संभावना होती है। (अधिक सटीक संख्या वास्तव में 1.9 या 2.1 वैसे भी नहीं है।)

— डैन नीली

27

हमेशा की तरह आपको एक संभाव्य मॉडल पर विचार करने की आवश्यकता है जो बताता है कि स्कूल कक्षाओं में बच्चों को कैसे वितरित करता है। संभावनाएं:

स्कूल इस बात का ध्यान रखता है कि सभी वर्गों में विदेशी नागरिकों की संख्या समान हो।
स्कूल यह भी सुनिश्चित करने की कोशिश करता है कि प्रत्येक राष्ट्रीयता का प्रतिनिधित्व हर वर्ग में लगभग एक जैसा हो।
स्कूल राष्ट्रीयता पर बिल्कुल भी विचार नहीं करता है और सिर्फ यादृच्छिक रूप से या अन्य मानदंडों के आधार पर वितरित करता है।

ये सभी वाजिब हैं। रणनीति 2 को देखते हुए आपके प्रश्न का उत्तर नहीं है। जब वे रणनीति 3 का उपयोग करते हैं, तो उम्मीद 3 के करीब होगी, लेकिन थोड़ा छोटा। ऐसा इसलिए है क्योंकि आपका बेटा एक "स्लॉट" लेता है, और आपके पास एक यादृच्छिक इतालवी के लिए एक कम मौका है।

जब स्कूल रणनीति 1 का उपयोग करता है तो उम्मीद भी बढ़ जाती है; प्रति वर्ग विदेशी नागरिकों की संख्या पर कितना निर्भर करता है।

अपने स्कूल को जाने बिना इसका और अधिक जवाब देने का कोई तरीका नहीं है। यदि आपके पास प्रति वर्ष सिर्फ एक कक्षा है और प्रवेश मानदंड वर्णित हैं तो उत्तर 3 के लिए समान होगा।

3 के लिए विस्तार से गणना:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X कक्षा में इतालवी बच्चों की संख्या है। 1 ज्ञात बच्चे से आता है, 29 कक्षा के बाकी हैं और 2/30 एक अज्ञात बच्चे के इतालवी होने की संभावना है जिसे स्कूल कहते हैं। बी द्विपद वितरण है।

ध्यान दें कि के साथ शुरू जानते हुए भी कि एक विशिष्ट बच्चे इतालवी विनिमय योग्यता द्विपद बंटन से मान लिया उल्लंघन करता है के रूप में, उचित जवाब नहीं देता है। इसकी तुलना लड़के या लड़की के विरोधाभास से करें , जहाँ यह फर्क पड़ता है कि क्या आप जानते हैं कि एक बच्चा एक लड़की बनाम यह जानकर कि बड़ा बच्चा एक लड़की है। $E(X|X\geq1)$

— एरिक
स्रोत

2

चलो द्विपद धारणा बनाते हैं और

। ऐसा लगता है कि दोनों के बीच चुनाव

और

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$ मान्यताओं पर निर्भर कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर मुझे लगता है कि लंदन में किसी भी इतालवी पिता के रूप में @ user90213 के रूप में हैरान होने की संभावना है और फिर यहां एक प्रश्न पोस्ट करने जा रहा है, तो इस एक प्रश्न को देखने से मेरी उम्मीदों में बहुत बदलाव नहीं होता है। मैं केवल सीखा है कि एक बच्चा इतालवी है और परिकलित किया जाएगा

। क्या इसे आप "विनिमेयता" कहते हैं? अगर दूसरी तरफ user90213 मेरा करीबी दोस्त है और मैं उसके बेटे को जानता हूं, तो मैं आपके जवाब पर पहुंचूंगा।

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— अमीबा का कहना है कि

2

@amoeba यह जानते हुए कि एक विशिष्ट स्कूल और एक विशिष्ट कक्षा में user90213 का बच्चा है, उसे बाकी लोगों से अलग करने के लिए पर्याप्त है, यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि user90213 के लिए आपका रिश्ता कितना खास है। लेकिन इसमें मुश्किल यह है कि यह मायने रखता है कि आप जानकारी कैसे सीखते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ईमेल से पूछते हैं कि कक्षा में सबसे पुराना इतालवी बच्चा आपको नाम से संपर्क करता है और आपको उत्तर मिलता है, तो आप

लिए जाएंगे, भले ही आप बाद में बच्चे को अलग कर सकें। लड़की-लड़के विरोधाभास के लिए गुगली करने की कोशिश करें या यहां तक कि उसके लिए एक अधिक सामान्य प्रश्न करें। इस पर खूब चर्चा हो रही है।

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— एरिक

यह सही है, धन्यवाद एरिक। पिछली टिप्पणी में मेरा क्या मतलब था, यह आपके ई-मेल उदाहरण के समान है। अगर मुझे लगता है कि एक कक्षा में सभी इतालवी माता-पिता यहां एक प्रश्न पोस्ट करेंगे, तो यह प्रश्न देखना सबसे पुराने इतालवी बच्चे से संपर्क करने जैसा है। ऐसा लगता है कि हम आम तौर पर समझौते में हैं, +1। विकी लिंक वास्तव में दिलचस्प है।

— अमीबा का कहना है कि

(+1) लेकिन आप कहते हैं कि "यदि आपके पास प्रति वर्ष केवल एक वर्ग है [...]"।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

@ स्कोर्टची यदि स्कूल में प्रति वर्ष सिर्फ एक कक्षा है, तो वह 1 और 2 की दो रणनीतियों का उपयोग कर सकता है, क्योंकि इस वर्ष स्कूल में स्वीकार किए जाने वाले प्रत्येक बच्चे का उसी कक्षा में अंत होता है।

— एरिक

13

इसे देखने का एक और तरीका व्यक्तिगत बच्चों के स्तर पर है। यह मानते हुए कि 30 बच्चों की आबादी से बेतरतीब ढंग से तैयार की गई है, हम एक इतालवी बच्चे की किसी न किसी संभावना को पिछड़े काम कर सकते हैं (जो आप हम कर सकते हैं इंगित किया है) इस आबादी से तैयार किया जा रहा: = । $2/30$ $1/15$

यह देखते हुए कि हम जानते हैं कि 30 में से एक इतालवी है, हमें केवल शेष बच्चों के लिए संभावना की गणना करनी है:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

इसलिए, यह जानते हुए कि आपका बच्चा इतालवी है, कक्षा में इतालवी बच्चों की अपेक्षित संख्या लगभग 2.933 में बदल जाती है, जो कि 2 के मुकाबले 3 के करीब है।

— थॉमस क्लीबर्ग
स्रोत

5

इस बारे में मेरे विचार यहाँ हैं:

बता दें कि रैंडम वैरिएबल एक वर्ग में इतालवी बच्चों की संख्या को दर्शाता है जो वर्तमान में आकार । बता दें कि एक नए बच्चे के इतालवी होने का सूचक है। मान लीजिए कि हम इस वर्ग में चाइल्ड को जोड़ते हैं । फिर आकार के इस संवर्धित कक्षा में इतालवी बच्चों की अपेक्षित संख्या है $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ । ध्यान दें कि आज़ादी यहां मायने नहीं रखती है क्योंकि हम केवल अपेक्षा की रैखिकता का उपयोग कर रहे हैं। यदि बच्चे को इटैलियन माना जाता है तो को प्रायिकता 1 के साथ इसलिए हमने 1 से अपेक्षित मान को बढ़ाया है। $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— जेएलडी
स्रोत

1

तो इटालियन बच्चे के जुड़ने के बाद इस कक्षा में

बच्चे होंगे?

n + 1

$n+1$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

हाँ। क्या कुछ ऐसा है जो मुझे याद आ रहा है?

— बड़ी

1

निर्भर करता है कि आपने प्रश्न कैसे पढ़ा। मान लीजिए कि कक्षाएं बिल्कुल 30 बच्चों की हैं।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

1

शायद मैं इस सवाल को गलत समझ गया। मैंने सोचा कि यह इस बारे में पूछ रहा था कि एक ज्ञात इतालवी बच्चे के जुड़ने से उम्मीद कैसे बदल जाती है।

— बड़ी

1

वर्ग आकार के बारे में यह बहुत अच्छी बात है कि संभवतः

— छायांकित किया

1

$\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

ए [एक्स | एक्स \geq 1] = Σ_{मैं = 0}^{30} मैं पी (एक्स = मैं | एक्स \geq 1) = Σ_{0}^{30} मैं \cdot \frac{पी (एक्स = मैं, एक्स \geq 1)}{पी (एक्स \geq 1)} = Σ_{1}^{30} मैं \cdot \frac{पी (मैं)}{1 - पी (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(अंतिम चरण में संक्षेप में परिवर्तन पर ध्यान दें)

— jf328
स्रोत

1

क्या आप सशर्त अपेक्षा पर विस्तार से बता सकते हैं?

— एंटोनी परेलाडा

3

आपका उत्तर गलत है। इसकी गणना करने का उचित तरीका 1 (ज्ञात बच्चा) + E (B (29, 2/30)) होगा जो 2.9333 के रूप में निकला है। और द्विपद वितरण की धारणा संदिग्ध है।

— एरिक

एक और बात जो मैं बताना चाहूंगा: क) सशर्त अपेक्षा की आपकी गणना गलत है। लेकिन ख) अधिक महत्वपूर्ण बात, आपकी सशर्त अपेक्षा के साथ शुरू करना गलत है। यह जानते हुए कि एक विशिष्ट बच्चा इटालियंस है, जो असामान्य वितरण द्वारा ग्रहण की गई विनिमेयता को तोड़ता है। यह लड़का-लड़की के विरोधाभास ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) से बहुत मिलता-जुलता है, जहां यह फर्क पड़ता है कि क्या आप जानते हैं कि बड़ा बच्चा एक लड़की है या यह जानता है कि दो बच्चों में से एक लड़की है।

— एरिक

स्क्रैच टिप्पणी क) ऊपर से। लेकिन b) वैसे भी अधिक गंभीर है;)

— Eric

मैं सहमत हूँ। ओपी के लिए, वितरण अब द्विपद (30, 2/30) नहीं है, लेकिन वास्तव में 1 + द्विपद (29, 2/30)

— 15:32 पर jf328

-3

नहीं, आसन्न घटनाओं के बारे में आपका ज्ञान स्कूल के विशिष्ट अनुभव के बारे में कुछ नहीं बदलता है।

— बाजार
स्रोत

2

-1। यह गलत है, जैसा कि अन्य उत्तरों और टिप्पणियों में यहां विस्तार से बताया गया है।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका से

उन्नत गणित की मेरी कमी को माफ कर दो, लेकिन इस बच्चे के बच्चे को 'आम तौर पर 2' बच्चों में से एक नहीं होना चाहिए? .. जैसे कि हम 3. के करीब समाप्त होते हैं

— मार्ट

आँकड़े

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

मार्ट: कल्पना कीजिए कि मैं दस बार एक सिक्का उछालता हूं और सिर गिनता हूं; सिक्के के बारे में कुछ भी अजीब नहीं है या जिस तरह से मैं इसे उछालता हूं। मैं उस प्रयोग को कई बार दोहराता हूं, और औसतन मैं दस टोस में लगभग 5 सिर देखता हूं; जो परिणाम आप देखते हैं (सभी में 1000 tosses, जिनमें से 50.3% प्रमुख थे, अच्छी तरह से एक उचित सिक्का-टॉसिंग प्रक्रिया के लिए अपेक्षित भिन्नता के भीतर; हम तय करते हैं कि प्रक्रिया कम से कम व्यावहारिक रूप से उचित लगती है)। अब मैं आपके साथ एक अतिरिक्त समय का प्रयोग करता हूं, और आप देखते हैं कि पहले 4 टोस सभी प्रमुख हैं। दस टोस के पूर्ण सेट में प्रमुखों की अपेक्षित संख्या क्या है? 5? अधिक?

— Glen_b

ध्यान दें कि आपके पहले के तर्क से, पहले चार "अपेक्षित पाँच में से चार हो सकते थे"। लेकिन तब आप कह रहे होंगे कि अगले छह टॉस पर 50% से कम संभावना है (वास्तव में आप कह रहे हैं कि औसतन केवल 1/6 मौका है)। सिक्का कम बार सिर ऊपर आने का पता कैसे चलेगा?

— Glen_b