कैदी विरोधाभास

Question

मुझे एक अभ्यास दिया जाता है, और मैं इसका पता नहीं लगा सकता।

कैदी विरोधाभास

एकान्त कारावास, ए, बी और सी में तीन कैदियों को एक ही दिन मौत की सजा सुनाई गई है, लेकिन, क्योंकि राष्ट्रीय अवकाश है, राज्यपाल फैसला करता है कि एक को क्षमादान दिया जाएगा। कैदियों को इसके बारे में सूचित किया जाता है, लेकिन उन्हें बताया जाता है कि वे नहीं जानते होंगे कि उनमें से किस को फांसी तक का दिन निर्धारित किया गया है।

कैदी ए जेलर से कहता है, "मुझे पहले से ही पता है कि कम से कम एक अन्य दो कैदियों को मार दिया जाएगा, इसलिए यदि आप मुझे किसी एक का नाम बताएंगे, जिसे निष्पादित किया जाएगा, तो आपने मुझे मेरे स्वयं के निष्पादन के बारे में कोई जानकारी नहीं दी होगी" ।

जेलर इसे स्वीकार करता है और उसे बताता है कि सी निश्चित रूप से मर जाएगा।

इसके बाद एक कारण '' इससे पहले कि मैं जानता था कि सी को निष्पादित किया जाना था मुझे क्षमा प्राप्त करने का 3 में से 1 मौका था। अब मुझे पता है कि या तो बी या खुद को माफ कर दिया जाएगा बाधाओं को 1 में 2 में सुधार हुआ है। ”

लेकिन जेलर बताते हैं, "आप एक समान निष्कर्ष पर पहुंच सकते थे अगर मैंने कहा था कि बी मर जाएगा, और मैं बी या सी का जवाब देने के लिए बाध्य था, तो आपको पूछने की आवश्यकता क्यों थी?"।

क्षमा प्राप्त करने की A की क्या संभावना है और क्यों? एक स्पष्टीकरण का निर्माण करें जो दूसरों को समझाए कि आप सही हैं।

आप बेयस प्रमेय द्वारा, एक विश्वास नेटवर्क आरेखण द्वारा, या सामान्य ज्ञान द्वारा इससे निपट सकते हैं। जो भी आप चुनते हैं, उन्हें सशर्त संभावना की भ्रामक सरल अवधारणा की अपनी समझ को गहरा करना चाहिए।

यहाँ मेरा विश्लेषण है:

यह मोंटी हॉल समस्या की तरह दिखता है , लेकिन काफी नहीं। अगर A का कहना I change my place with Bहै कि C के मरने के बाद, उसके 2/3 मौके बचेंगे। यदि वह नहीं करता है, तो मैं कहूंगा कि उसके मौके 1/3 हैं, जब आप मोंटी हॉल समस्या में अपनी पसंद नहीं बदलते हैं। लेकिन एक ही समय में, वह 2 लोगों के समूह में है, और एक को मर जाना चाहिए, इसलिए यह कहना मोहक है कि उसकी संभावना 1/2 है।

तो विरोधाभास अभी भी यहाँ है, आप इसे कैसे देखेंगे। इसके अलावा, मुझे नहीं पता कि मैं इस बारे में एक विश्वास नेटवर्क कैसे बना सकता हूं, इसलिए मुझे यह देखने में दिलचस्पी है।

Comments

"वह 2 लोगों के एक समूह में है" इसका मतलब यह नहीं है "उसके मौके 1/2 हैं"

— हेनरी

Answer 1

प्रारंभ में समान संभावना वाली तीन संभावनाएँ हैं:

• एक मुक्त हो जाएगा (समस्या )$1/3$
• बी मुक्त हो जाएगा (समस्या )$1/3$
• सी मुक्त हो जाएगा (समस्या )$1/3$

संदेश के वादे के साथ, विभिन्न संभावनाओं के साथ चार संभावनाएं हैं:

• एक मुक्त हो जाएगा और एक बताया जाता है बी निष्पादित किया जाएगा (समस्या )$1/6$
• एक मुक्त हो जाएगा और एक सी कहा है निष्पादित किया जाएगा (समस्या )$1/6$
• बी मुक्त हो जाएगा और एक बताया जाता है सी निष्पादित किया जाएगा (समस्या )$1/3$
• सी मुक्त हो जाएगा और एक (समस्या बताया जाता है बी निष्पादित किया जाएगा )$1/3$

"ए बताया जाता है कि सी को निष्पादित किया जाएगा" पर सशर्त यह हो जाता है

• एक मुक्त हो जाएगा और एक सी कहा है निष्पादित किया जाएगा (समस्या )$1/3$
• बी मुक्त हो जाएगा और एक बताया जाता है सी निष्पादित किया जाएगा (समस्या )$2/3$

तो संदेश के बाद एक बी (मोंटी हॉल समस्या) के साथ अदला-बदली करना चाहते हैं लेकिन नहीं कर सकते हैं और इतने मूल रहता है निष्पादित किया जा रहा की संभावना।$2/3$

Comments

A, B के साथ स्वैप करना चाहता है। एक मोंटी हॉल स्पष्टीकरण लेने के लिए: कल्पना करें कि 1000 कैदी हैं: ए जेलर से पूछता है जो उसे 998 नाम देता है। स्पष्ट रूप से हमने सिर्फ एक आदमी के बारे में बहुत कुछ सीखा है जो A नहीं है और जिसका नाम नहीं है । लेकिन हमने ए के बारे में कुछ नहीं सीखा ।

— बेन जैक्सन

मुझे लगता है कि ए की स्थिति में गार्ड से यह पूछने के लिए उसकी एक बहुत अच्छी रणनीति है। फिर बाद में, बी से बात करें और पूछें कि क्या वह स्विच करना चाहता है। यदि वह सहमत है, तो आप जल्लाद से पूछ सकते हैं कि, यदि उनमें से किसी को मुक्त किया जाना है, तो दूसरे को मुक्त कर दें। B के दृष्टिकोण से, उसकी बाधाओं में बदलाव नहीं होता है, इसलिए उसके पास न कहने का कोई कारण नहीं है (या हां कहने के लिए, इसलिए उस बिंदु पर दबाव की बात है)

— क्रंचर

Answer 2

मुझे लगता है कि आप समस्या पर विचार कर रहे हैं - यह एक मोंटी हॉल समस्या है और यही तर्क लागू होता है।

Comments

क्या आप विकास कर सकते हैं? मुझे तर्क से दिलचस्पी है, जवाब नहीं

— बेंजामिन क्राउज़ियर

@pinouchon: जेलर मोंटी हॉल है और प्रिजनर A खिलाड़ी है। मरना बकरी पाने के लिए समान है; माफ़ किया जा रहा है एक पुरस्कार प्राप्त करने के लिए अनुरूप है। अब आप सीधे मोंटी हॉल समस्या के किसी भी स्पष्टीकरण का अनुवाद कर सकते हैं जो आपको पसंद है: जिसमें बहुत सारे तर्क शामिल हैं। यह इंगित करने के लिए बेबीब्रीप्रिडर को +1।

— व्हिबर

आप इस कथन के खिलाफ कैसे तर्क देंगे But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.:। और विश्वास नेटवर्क के बारे में क्या?

— बेंजामिन क्राउज़ियर

@Pinouchon विश्वास नेटवर्क पहलू पर ध्यान केंद्रित करने के लिए अपने प्रश्न को संपादित करना रचनात्मक होगा। मोंटी हॉल की समस्या स्वयं कई, कई स्थानों पर मृत्यु के लिए चर्चा की गई है, इसलिए मुझे यहां उस सामग्री को फिर से देखने का कोई मतलब नहीं है।

— व्हिबर

मैं सहमत हूं कि मोंटी हॉल की समस्या पर चर्चा की गई है लेकिन बबलप्रूफ और व्ह्यूबर के कथनों के बावजूद, मैं नहीं देखता कि प्रिजनर ए को स्थानों को स्विच करने के लिए कहां मिलता है। यदि जेलर के पास तीन सीलबंद लिफाफे होते हैं, जिसमें एक क्षमा और दो मौत की सजा वाले होते हैं, तो एक लिफाफा उठाया जाता है, और जेलर ने एक और खोला (ठीक उसी तरह के नियम, जैसा कि मैंने एक अलग उत्तर में दिया था) और दिखाया कि इसमें मौत की सजा है, और फिर ए से पूछा "क्या आप अपने द्वारा चुने गए लिफाफे को रखना पसंद करेंगे या आप स्विच करेंगे?" मैं सादृश्य देख सकता हूं

— दिलीप सरवटे

Answer 3

$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$

• $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

$B$

$1$$3$ इस बात की परवाह किए बिना कि मोंटी एक बकरी को प्रकट करने के लिए एक अनचाहे दरवाजे को खोलता है या नहीं, या जेलर ए को बताता है कि सी को निष्पादित किया जा रहा है, या नहीं, बिल्कुल वैसा ही जैसा हेनरी ने विस्तार से गणना की।

Comments

मुझे लगता है कि हम यह मान सकते हैं कि जेलर के पास वह जानकारी है, अन्यथा समस्या के बारे में तर्क करने लायक नहीं है (यदि जेलर के पास झूठ बोलने की कोई अज्ञात संभावना है, तो उन्होंने शायद कुछ भी नहीं कहा होगा)। आपके पहले बिंदु के रूप में: निश्चित रूप से, परिणाम मोंटी हॉल समस्या की तुलना में अलग है क्योंकि स्विच करने का कोई विकल्प नहीं है। लेकिन तर्क एक ही है: एक विकल्प जो एक विजेता नहीं है, का खुलासा करके, एक अन्य विकल्प के बारे में जानकारी प्रदान की जाती है जिसे जेलर / मोंटी उठा सकते थे।

— रुबेन वैन बर्गन

Answer 4

इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि जेलर किस कैदी का नाम चुनता है जब वह जानता है कि ए को क्षमा करना है। दो नियमों पर विचार करें:

1) जेलर यादृच्छिक रूप से बी और सी के बीच चयन करता है, और इस मामले में सी कहने के लिए बस हुआ। तब ए के माफ किए जाने का मौका 1/3 है।

2) जेलर हमेशा सी कहता है। फिर क्षमा करने का मौका 1/2 है।

हम सभी को बताया जाता है कि जेलर ने सी कहा, इसलिए हमें नहीं पता कि उसने इनमें से कौन से नियमों का पालन किया। वास्तव में, अन्य नियम भी हो सकते हैं - शायद जेलर एक मरता है और केवल सी को रोल 6 होने पर कहता है।

Answer 5

जैसा कि दूसरों ने बताया, तीनों कैदियों की समस्या मोंटी हॉल का एक रीफ़्रेशिंग है। अधिक जानकारी के लिए, इस पेपर के खंड 1.7 पर एक नज़र डालें। http://facademy.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

Answer 6

कल्पना कीजिए कि जेलर A को बताता है कि C निश्चित रूप से मर जाएगा। और फिर वह बी से कहता है कि सी निश्चित रूप से मर जाएगी। इस मामले में यह स्पष्ट है कि ए और बी में 50% माफी है। लेकिन दोनों संस्करणों के बीच अंतर क्या है?

Answer 7

$1/2$$2/3$

$A$$B$$C$$J$$J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. जेलर B या C: बताने से पहले एक सिक्का निकालता है$P(J|A) = \frac{1}{2}$

$$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$

2. $P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

$$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

$$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$$

Comments

"हमेशा जब संभव हो तो कार्ल को नाम दें" जितना संभव हो उतना "हमेशा नाम बॉब" के रूप में प्रशंसनीय होगा?

— जुहो कोक्कल

हां, यदि हम संभवत: जे को फिर से परिभाषित करते हैं, तो एस = = "हमेशा कार्ल का नाम संभव हो तो" पूरी तरह से समकक्ष होना चाहिए। यदि हम J को छोड़ देते हैं और जेलर को S का अनुसरण करने के लिए मजबूर करते हैं, तो यह सब कुछ पूर्व-निर्धारित कर देगा: जब भी J (जेलर बॉब कहता है), हम जानते हैं कि "कार्ल" कहना संभव नहीं था, इस प्रकार कार्ल को क्षमा कर दिया गया था ।

— मिखाइल वोल्खोव

Answer 8

जानकारी प्राप्त करने के बाद, कि कैदी C की मृत्यु हो जाएगी, उसकी संभावना 1/2 में बदल जाएगी, लेकिन केवल इसलिए, क्योंकि उसे जो जानकारी मिलती है, वह पहले से ही 2/3 है (कैदी C को क्षमा मिलने की 1/3 संभावना समाप्त हो गई है )

और 2/3 * 1/2 मुक्त होने की मूल संभावना है।

अधिक ठोस विपक्षी दृष्टिकोण है:

मान लें कि उसे कहा जाता है कि कैदी सी को क्षमादान मिलेगा।
मारे जाने की उसकी संभावना क्या है?
हर कोई स्वीकार करेगा कि उसकी संभावना शून्य है, यह मानते हुए कि जेलर झूठ नहीं बोलता है और केवल एक ही क्षमा है।

इस बार, उसके पास 1/1 का मौका है, क्योंकि उस जानकारी का मौका पहले से ही 1/3 था।

Comments

यह सही नहीं है; हेनरी के उत्तर में गणना देखें जो दर्शाता है कि जेलर की जानकारी सुनने के बाद, कैदी ए को मरने का 2/3 मौका है (1/2 नहीं)। यह वही संभावना है जो उसके पास पहले थी, इसलिए जेलर सही है: उसने जो बताया वह ए ने जीने के लिए कुछ भी नहीं बदला। यदि B यद्यपि में सुन रहे थे, तो उन्हें अब पता चलेगा कि उनके मरने की संभावना 1/3 हो गई है।

— रूबेन वैन बर्गन