दो स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के अधिकतम (न्यूनतम) के लिए वितरण क्या है?

Question

विशेष रूप से, मान लें कि और सामान्य यादृच्छिक चर हैं (स्वतंत्र लेकिन जरूरी नहीं कि समान रूप से वितरित किए गए हों)। किसी विशेष ए को देखते हुए , क्या पी (\ मैक्स (एक्स, वाई) \ लीक एक्स) या इसी तरह की अवधारणाओं के लिए एक अच्छा सूत्र है ? क्या हम जानते हैं कि सामान्य रूप से \ मैक्स (एक्स, वाई) वितरित किया जाता है, शायद मीन और एक्स और वाई के लिए मानक विचलन के लिए एक सूत्र ? मैंने सामान्य स्थानों की जाँच की (विकिपीडिया, गूगल) लेकिन कुछ भी नहीं मिला।$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

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संबंधित: दो सहसंबद्ध सामान्य चर का वितरण , IID यादृच्छिक मानदंड के अधिकतम क्रम सांख्यिकीय का विषम वितरण , और क्या एक सामान्य k नमूने के अधिकतम के वितरण के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है?

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

Answer 1

अधिकतम दो गैर-समान नॉर्मल को अज़ज़लिनी तिरछा-सामान्य वितरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बालकृष्णन द्वारा 2007 का वर्किंग पेपर / प्रेजेंटेशन देखें

Bivariate और Multivariate ऑर्डर स्टेटिस्टिक्स पर एक तिरछी नज़र
प्रो। एन। बालाकृष्णन
वर्किंग पेपर / प्रेजेंटेशन ()

हाल ही में एक पेपर ( नादराजा और कोट्ज़ - यहाँ देखने योग्य ) अधिकतम कुछ गुण देता है :$(X,Y)$

नादराजा, एस। और कोटज़, एस। (2008), "मैक्स डिसाइन ऑफ़ द मैक्स / मिन ऑफ़ टू गॉसियन रैंडम वेरिएबल्स", आईईई ट्रांजेक्शन्स ऑन वेरी लार्ज स्कैल इंटीग्रेशन (वीएलएसआई) सिस्टम: वीओएल। 16, सं। 2, फरवरी 2008

पहले के काम के लिए, देखें:

एपी बसु और जेके घोष, "प्रतिस्पर्धी जोखिम मॉडल के तहत बहुराष्ट्रीय और अन्य वितरण की पहचान," जे मल्टीवेरिएट एनल।, वॉल्यूम। 8, पीपी। 413–429, 1978

एचएन नागराजा और एनआर मोहन, "सिस्टम लाइफ डिस्ट्रीब्यूशन और असफलता के कारण की स्वतंत्रता पर," स्कैंडिनेवियाई एक्चुएरियल जे।, पीपी। 188–198, 1982।

वाईएल टोंग, द मल्टीवीरेट नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन। न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर-वर्लग, 1990।

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एक भी गणना को स्वचालित करने के लिए एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उपयोग कर सकता है। उदाहरण के लिए, दिए गए पीडीएफ के साथ , और पीडीएफ के साथ :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... की पीडीएफ है:$Z = max(X,Y)$

जहाँ मैं उपयोग कर रहा हूँ Maximumसे समारोह mathStatica के पैकेज मेथेमेटिका , और Erfत्रुटि समारोह को दर्शाता है।

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चूँकि मेरे पास इस कागज़ की पहुँच नहीं है, इसलिए उनके द्वारा निकाले गए फार्मूले को साझा करने की परवाह करें?

— रिचर्ड रास्ट

मैंने कुछ और संदर्भ जोड़े हैं ... और एक स्वचालित कैस व्युत्पत्ति प्रदान की है

— भेडियों

@RichardRast ने नादराजा और कोटज़ के लिए एक जीवंत संदर्भ पाया है - जो आपके देखने के आनंद के लिए ऊपर जोड़ा गया है

— wolfies

Answer 2

मुझे आश्चर्य है कि पिछले उत्तरों में सबसे दिलचस्प संपत्ति का उल्लेख नहीं किया गया है: अधिकतम के लिए संचयी-प्रायिकता वितरण संबंधित संचयी-संभाव्यता वितरण का उत्पाद है।

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यह तो दिलचस्प है। क्या यह केवल मानदंडों, या किसी वितरण के लिए है? क्या आपके पास एक उद्धरण है मैं इस बारे में अधिक पढ़ने के लिए देख सकता हूं?

— रिचर्ड रास्ट

@RichardRast, यह बेतरतीब ढंग से वितरित स्वतंत्र चरों इस पोस्ट को देख के किसी भी प्रकार के लिए सच है mathoverflow.net/questions/145659/...

— gciriani