"नकारात्मक द्विपद" यादृच्छिक चर क्यों कहा जाता है?

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मुझे समझ नहीं आता कि "नकारात्मक द्विपद" यादृच्छिक चर का नाम क्यों है। इसके बारे में नकारात्मक क्या है? इसके बारे में द्विपद क्या है? इसके बारे में नकारात्मक-द्विपद क्या है?

— हत्शेपसट
स्रोत

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इस अधिक सामान्य प्रश्न के तहत टिप्पणियों को भी देखें - जो वास्तव में एक उचित उत्तर के लिए योग्य है, मया दोषी ।

— Glen_b -Reinstate Monica

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यह इस तथ्य का संदर्भ है कि एक निश्चित द्विपद गुणांक जो उस वितरण के सूत्र में प्रकट होता है, उसे केवल नकारात्मक संख्याओं के साथ अधिक लिखा जा सकता है।

जब आप सफलता की संभावना साथ प्रयोग की एक श्रृंखला का संचालन करते हैं , तो संभावना है कि आप परीक्षणों के बाद विफलताओं को देखेंगे। $p$ $r$ $k$

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ ।

यह भी लिखा जा सकता है

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

और शब्द "नकारात्मक" को संदर्भित करता है $−r$ कि द्विपद गुणांक में। इस सूत्र के सिवाय सामान्य द्विपद वितरण के लिए यह सूत्र कैसा दिखता है, इस सूत्र को देखें।

नकारात्मक द्विपद वितरण के लिए एक और नाम पास्कल का वितरण है इसलिए वह भी है।

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विकिपीडिया के अनुसार अधिक विस्तृत उत्तर:

ऋणात्मक द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन होता है

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

यहाँ कोष्ठक में मात्रा द्विपद गुणांक है, और इसके बराबर है

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ ।

इस मात्रा को वैकल्पिक रूप से "नकारात्मक द्विपद" नाम बताते हुए लिखा जा सकता है:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ ।

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मैं आपके कथन को नहीं समझता "जब आप सफलता की संभावना पी के साथ प्रयोग की एक श्रृंखला का संचालन करते हैं, तो संभावना है कि आप के के परीक्षणों के बाद r विफलताओं को देखेंगे ..."। ऐसा लगता है कि सूत्र को । आपके द्वारा सूचीबद्ध फ़ॉर्मूला कहाँ से मिला? मुझे संदेह है कि शायद आप यादृच्छिक प्रक्रिया का सही वर्णन नहीं कर रहे हैं। क्या आप का मतलब है कि परीक्षणों के आयोजन के बाद बिल्कुल विफलताओं की संभावना है । यदि ऐसा है, तो को नहीं होना चाहिए ? यहाँ क्या चल रहा है? क्या आप उस घटना को परिभाषित कर सकते हैं जिसका आप अधिक ध्यान से उल्लेख कर रहे हैं?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— डीडब्ल्यू

@DW यह एक दुर्भाग्यपूर्ण सूत्रीकरण था। क्या मतलब है, असफलताओं को देखने के लिए एक संभावना नहीं है कि परीक्षणों का आयोजन किया गया है, लेकिन विफलताओं का निरीक्षण करने के लिए परीक्षणों की आवश्यकता होने की संभावना है ।

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

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StatsExchange के डेनिज़ेन, सबसे पहले, अच्छी खबर, यह लेखक विकिपीडिया के फॉर्मूले की नकल करता है इसलिए सब ठीक है। इस लेखक ने जो वर्णन किया वह गलत था। उसे k + r ट्रेल्स के बाद r विफलताओं की संभावना लिखनी चाहिए थी।
ध्यान दें कि पहले k + r-1 परीक्षणों में बिल्कुल r-1 विफलताएं और k सफलताएं हैं। इसलिए सूत्र में सही तरीके से (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1) शामिल है।
फिर, परिभाषा के अनुसार, अंतिम परीक्षण, अर्थात् k + r th परीक्षण, r th विफलता होना चाहिए। यह घटना स्वतंत्र है इसलिए हम केवल संभावित संभावना को खोजने के लिए इसे 1-p गुणा करते हैं।

— शॉन बेरी
स्रोत

Stats.SE में आपका स्वागत है। यदि आपने पहले ही ऐसा नहीं किया है, तो टूर ( सांख्यिकी.स्टैकएक्सचेंज.com/tour ) लेने का अवसर लें । फ़ॉर्मेटिंग मदद पर कुछ सुझाव भी देखें और LaTeX / MathJax का उपयोग करके समीकरणों को लिखें ।

— एर्टिसेम -