क्या आपके द्वारा औसतन प्रतिस्थापन किए बिना एक कलंक की संभाव्यता वितरण बदल जाता है?

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मान लीजिए कि मेरे पास एक अलग-अलग रंग की गेंदों वाला एक कलश है और हर अलग रंग कई बार दिखाई दे सकता है (अगर 10 लाल गेंदें हैं तो 10 नीली गेंदों की भी जरूरत नहीं है)। यदि हम ड्राइंग से पहले कलश की सटीक सामग्री जानते हैं तो हम एक असतत संभावना वितरण का निर्माण कर सकते हैं जो हमें गेंद के प्रत्येक रंग को खींचने की संभावना बताता है। मैं सोच रहा था कि कलश से औसतन प्रतिस्थापन के बिना k गेंदों को खींचने के बाद वितरण कैसे बदलता है। मैं समझता हूं कि जैसा कि हम कलश से आकर्षित होते हैं, हम वितरण को अपडेट कर सकते हैं कि जो कुछ भी निकाला गया है, उसके ज्ञान के साथ, लेकिन मैं जो जानना चाहता हूं वह यह है कि हम के गेंदों को हटाने के बाद वितरण के आकार की उम्मीद करेंगे। क्या वितरण औसत रूप से बदलता है या क्या यह समान रहता है? अगर ऐसा नहीं रहता है तो क्या हम कश्मीर ड्रा निकालने के बाद नए वितरण की उम्मीद कर सकते हैं कि हम नए वितरण की उम्मीद करें?

probability discrete-data distributions

— mjnichol
स्रोत

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मैं गलत हो सकता हूं - लेकिन ऐसा लगता है कि कोई पूर्व वितरण जानता है, लेकिन इसकी संभावना के बारे में कोई सूचना नहीं है (इसके अलावा के गेंदों को हटा दिया जाता है)। उस स्थिति में - मैं मान लूंगा कि पोस्टीरियर पूर्व के बराबर है। निष्पक्ष होना - इस बात की संभावना है कि गेंदों की संख्या में कमी आई है, और यह कि (एक गेंद के लिए) वितरण इसलिए उदाहरण है कि 9 लाल और 10 काले रंग के 50% कब्जे और 10 लाल और 9 काले रंग की 50% possilbiity के बीच bimodal । मैं यहाँ गलत हो सकता हूँ

— Wouter

मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि यह बाद के मामले जैसा है जिसे आपने वर्णित किया है। मैं किसी को भी इस तरह की प्रक्रिया के बारे में बोलते हुए नहीं पा सकता हूँ।

— mjnichol

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"प्रत्यक्ष गणना": वहाँ रहने दो $n$ की गेंदों $m$ कलश में रंग आइए हम एक विशेष रंग को आकर्षित करने की संभावना पर ध्यान केंद्रित करते हैं, सफेद कहते हैं , दूसरे ड्रा पर। सफेद गेंदों की संख्या होने दें $n_w$ । चलो $X_i$ गेंद का रंग होना $i$ -तीन ड्रा

$\begin{array}{rcl} P (X_{2} = W) & = & P (X_{2} = W | X_{1} = W) P (X_{1} = W) + P (X_{2} = W | X_{1} = \bar{W}) P (X_{1} = \bar{W}) \\ = & \frac{n_{w} - 1}{n - 1} \frac{n_{w}}{n} + \frac{n_{w}}{n - 1} \frac{n - n_{w}}{n} \\ = & \frac{n_{w} (n - n_{w} + n_{w} - 1)}{n (n - 1)} \\ = & \frac{n_{w}}{n} \\ = & पी ({एक्स}_{1} = डब्ल्यू) \end{array}$ $\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$
बेशक यह वही तर्क दूसरे ड्रा पर किसी भी रंग के लिए लागू होता है। बाद में ड्रा होने पर हम उसी तरह के तर्क को पुन: लागू कर सकते हैं।

[एक निश्चित रूप से एक और भी अधिक सीधी गणना कर सकता है। पहले विचार करें $k$ से मिलकर बनता है $i$ सफेद गेंदों और $k-i$ गैर-श्वेत गोले (अतिवृद्धि वितरण द्वारा दी गई संभावना के साथ), और इसके बाद के संस्करण की गणना सरलता से करें, लेकिन स्टेप पर ड्रा के लिए $k+1$ ; एक समान सरलीकरण और रद्दीकरण हो जाता है, लेकिन इसे पूरा करने के लिए विशेष रूप से ज्ञानवर्धक नहीं है।]
एक छोटा तर्क: संख्याओं के साथ गेंदों को बेतरतीब ढंग से लेबल करने पर विचार करें $1,2,...,n$ , और फिर उन्हें लेबल किए गए क्रम में चित्रित किया। अब सवाल यह है कि "क्या संभावना है कि एक दिया गया लेबल, $k$ , एक सफेद गेंद पर संभावना लेबल के समान है $1$ एक सफेद गेंद पर रखा जाता है?

अब हम देखते हैं कि उत्तर लेबल के समरूपता द्वारा "हां" होना चाहिए। इसी तरह, बॉल-रंगों के समरूपता से, यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमने "सफेद" कहा है, इसलिए वह तर्क लेबल है $k$ और लेबल $1$ किसी भी रंग पर समान संभावना लागू होती है। इसलिए पर वितरण $k$ -थ ड्रॉ पहले ड्रॉ की तरह ही है, जब तक हमें पहले के ड्रॉ से कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं मिल जाती है (यानी जब तक पहले ड्रॉ हुए बॉल नहीं दिखते हैं)।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

बारीकी से आपके 2 रास्ते से संबंधित है, एक और संक्षिप्त तर्क है: सभी संभावित अनुक्रमों के सेट की कल्पना करें जिसमें गेंदों को हटाया जा सकता है (जैसे नीला पहले, फिर सफेद, फिर सफेद, ... ऐसा एक अनुक्रम हो सकता है)। यदि इस सेट में प्रत्येक अनुक्रम के लिए हम स्वैप करते हैं

1^{s t}

$1^{st}$ तथा

k^{t h}

$k^{th}$ तत्वों, हम बस सेट की अनुमति है। तो स्थिति में एक सफेद (या जो भी) गेंद के साथ हर अनुक्रम के लिए

k

$k$ वहाँ स्थिति में एक सफेद गेंद के साथ एक इसी क्रम है

1

$1$ । इसलिए स्थिति में एक सफेद गेंद की संभावना

k

$k$ या स्थिति

1

$1$ समान होना चाहिए। मुझे लगता है कि यह अनिवार्य रूप से नील का तर्क है।

— सिल्वरफिश जूल

@ सिल्वरफ़िश हां, इसे देखते हुए, मेरा दूसरा तर्क अनिवार्य रूप से नील के क्रमबद्ध तर्क के समान है।

— Glen_b -Reinstate Monica

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। यह वही था जो मुझे देखने की जरूरत थी!

— 22 सितंबर को mnnichol

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एकमात्र कारण यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि वितरण अपरिवर्तित रहता है (बशर्ते कम से कम एक गेंद बनी रहे) यह है कि बहुत अधिक जानकारी है। चलो ध्यान भंग करने वाली सामग्री को बाहर निकालते हैं।

नजरअंदाज करें, एक पल के लिए, प्रत्येक गेंद का रंग। एक गेंद पर ध्यान दें। मान लीजिये $k$ गेंदों को बेतरतीब ढंग से हटाया जा रहा है (और मनाया नहीं जाता है), और फिर ए $k+1$ सेंट बॉल को खींचा और मनाया जाएगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि चयन किस क्रम में होता है, इसलिए आप बहुत पहले तैयार की गई गेंद को देख सकते हैं (और फिर दूसरे को निकाल सकते हैं $k$ गेंद अगर आप जोर देते हैं)। वितरण स्पष्ट रूप से नहीं बदला है, क्योंकि यह दूसरे को हटाने से प्रभावित नहीं होगा $k$ गेंदों।

यह तर्क - हालांकि पूरी तरह से वैध है - कुछ लोगों को असहज महसूस कर सकता है। निम्नलिखित विश्लेषण को अधिक कठोर के रूप में स्वीकार किया जा सकता है, क्योंकि यह हमें चयन आदेश की अनदेखी करने के लिए नहीं कहता है।

अपनी गेंद पर ध्यान केंद्रित रखें। इसकी कुछ संभावना होगी $p_k$ के रूप में चुना जा रहा है $k+1$ सेंट बॉल। हालांकि $p_k$ गणना करना आसान है, हमें इसके मूल्य को जानने की आवश्यकता नहीं है: यह सब मायने रखता है कि यह प्रत्येक गेंद के लिए समान मूल्य होना चाहिए (क्योंकि सभी गेंद बराबर हैं) और यह गैर-शून्य है। लेकिन अगर यह शून्य होता, तो किसी भी गेंद के चुने जाने की कोई संभावना नहीं होती: इसलिए जब तक कम से कम एक गेंद शेष रहे, $p_{k}\ne 0$ ।

रंगों पर फिर से ध्यान दें। परिभाषा के अनुसार, मौका है कि एक विशेष रंग $C$ चुना जाएगा (बाद में $k$ गेंदों को यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है) सभी मूल के अवसरों का योग है $C$ सभी मूल गेंदों की संभावनाओं के योग से विभाजित गेंदों को विभाजित किया। जब मूल रूप से होते हैं $k_C$ रंग की गेंद $C$ तथा $n$ कुल गेंदें, वह मूल्य है

{Pr}_{k} (C) = \frac{k_{c} p_{k}}{n p_{k}} = \frac{k_{c}}{n} .

${\Pr}_k(C) = \frac{k_c p_k}{n p_k} = \frac{k_c}{n}.$

कब $k\lt n$ यह निर्भर नहीं करता है $k$ , QED ।

— व्हीबर
स्रोत

टिप्पणी के लिये आपका धन्यवाद। इसने मुझे अंतर्निहित प्रक्रियाओं को और अधिक समझने में मदद की!

— mnnichol

2

पहले से ही तैयार होने के बाद - एक ही गेंद को खींचने दें $k$ प्रतिस्थापन के बिना गेंदों - स्पष्ट वितरण है $E(D_k)$ इस तरह के स्पष्ट वितरण पर वितरण दिया $D_k$ ।

मुझे लगता है कि आप पूछ रहे हैं कि क्या $E(D_k)$ स्थिर है।

मुझे लगता है ऐसा है। मान लीजिए कि आप अंततः सभी गेंदों को आकर्षित करते हैं। गेंदों के सभी क्रमपरिवर्तन समान रूप से होने की संभावना है। शुरू में ड्राइंग की संभावना है $E(D_0)$ । आप अपनी पसंद को समान रूप से संभावित क्रम में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिससे आपकी पहली चुनी हुई गेंद को अंतिम रूप से चुना गया था, और आपका दूसरा चुना गया पहला चुना गया था। उस गेंद से उम्मीद है $E(D_1)$ , जो बराबर होना चाहिए $E(D_0)$ समरूपता के कारण। प्रेरण द्वारा $E(D_i)$ सभी समान हैं।

— नील जी
स्रोत

आपका मतलब है कि मैं पूछ रहा हूं कि क्या

E (D_{k})

$E(D_k)$ हर कश्मीर के लिए स्थिर है, है ना?

— mnnichol 23

@mjnichol सही

— नील जी

0

"अपेक्षित वितरण" नहीं बदलता है। एक मार्टिंगेल तर्क का उपयोग कर सकता है! मैं बाद में इस तरह के जवाब में जोड़ दूंगा (मैं अब यात्रा कर रहा हूं)।

वितरण, पूर्ववर्ती ड्रॉ पर सशर्त (बाद के ड्रॉ के लिए) केवल तभी परिवर्तन होता है जब आप वास्तव में ड्रॉ का अवलोकन करते हैं। यदि आप कलश से गेंद को कसकर बंद हाथ से खींचते हैं, और फिर उसके रंग को देखे बिना उसे दूर फेंक देते हैं (मैंने इस तरह के थिएटर को प्रभावी ढंग से कक्षा प्रदर्शन के रूप में इस्तेमाल किया है), वितरण नहीं बदलता है। इस तथ्य का एक अन्वेषण है: संभावना जानकारी के बारे में है, संभाव्यता एक सूचना अवधारणा है।

इसलिए संभावनाएँ तभी बदलती हैं जब आपको नई जानकारी मिलती है (सशर्त संभावनाएँ, जो कि है)। गेंद को खींचना और उसे बिना देखे फेंक देना, आपको कोई नई जानकारी नहीं देता है, इसलिए शर्त पर कोई नई बात नहीं है। इसलिए जब आप वास्तविक सूचना सेट पर शर्त लगाते हैं, तो वह नहीं बदला है, इसलिए सशर्त वितरण नहीं बदल सकता है।

 EDIT

मैं अब इस उत्तर के बारे में अधिक जानकारी नहीं दूंगा, केवल एक संदर्भ जोड़ें: होसाम एम। महमूद: "पोल्या उरन मॉडल" (चैपमैन एंड हॉल), जो इस प्रश्न में एक जैसे कलश मॉडल का इलाज करता है, और बहुत अधिक परिष्कृत कलश भी। सीमा परिणाम प्राप्त करने के लिए मार्टिंगेल विधियों का उपयोग करके भी योजनाएं। लेकिन इस पोस्ट में प्रश्न के लिए मार्टिंगेल विधियों की आवश्यकता नहीं है।

— kjetil b halvorsen
स्रोत

वितरण (बाद के ड्रा के लिए) तब भी नहीं बदलता है जब आप वास्तव में ड्रॉ का निरीक्षण करते हैं। किसी भी चीज को देखने के लिए कुछ भी क्यों बदलना चाहिए?

— नील जी

1

@ मुझे लगता है कि kjetil मनाया आरेखों पर वितरण सशर्त का उल्लेख है ।

— सिल्वरफिश

@ सिल्वरफ़िश: आह मैं देख रहा हूँ। आप सही हैं, मेरी क्षमायाचना।

— नील जी

I कुछ दो हफ्तों में घर पर साफ करने के लिए संपादित करेगा। अब वेनेज़िया में छुट्टी के लिए ...

— kjetil b halvorsen