ग्राफिकल मॉडल में ग्राफ सिद्धांत कहां है?

Question

चित्रमय मॉडल के परिचय उन्हें "... ग्राफ सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक विवाह" के रूप में वर्णित करते हैं।

मुझे संभाव्यता सिद्धांत का हिस्सा मिलता है, लेकिन मुझे यह समझने में परेशानी होती है कि वास्तव में ग्राफ़ सिद्धांत कहाँ फिट बैठता है। ग्राफ़ सिद्धांत से कौन सी अंतर्दृष्टि ने संभावना वितरण और अनिश्चितता के तहत निर्णय लेने की हमारी समझ को गहरा करने में मदद की है?

मैं पीजीएम में ग्राफ प्रमेय शब्दावली के स्पष्ट उपयोग से परे, ठोस उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं, जैसे कि "पीजीएम" को "पेड़" या "द्विदलीय" या "अप्रत्यक्ष", आदि के रूप में वर्गीकृत करना।

Answer 1

संभाव्य चित्रमय मॉडल में बहुत कम सही गणितीय ग्राफ सिद्धांत है, जहां सच्चे गणितीय ग्राफ सिद्धांत से मेरा मतलब है कि क्लोन, वर्टेक्स ऑर्डर, अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय, और इसी तरह के बारे में प्रमाण हैं। यहां तक ​​कि मूल रूप से यूलर के प्रमेय और हैंडशेकिंग लेम्मा के रूप में कुछ भी उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि मुझे लगता है कि व्यक्ति संभावित अनुमानों को अपडेट करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कंप्यूटर कोड की कुछ संपत्ति की जांच करने के लिए उन्हें आमंत्रित कर सकता है। इसके अलावा, संभाव्य चित्रमय मॉडल शायद ही कभी रेखांकन के वर्गों के एक से अधिक का उपयोग करते हैं, जैसे कि बहु-रेखांकन। रेखांकन में प्रवाह के बारे में प्रमेय संभाव्य चित्रमय मॉडल में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

यदि छात्र A प्रायिकता में एक विशेषज्ञ था, लेकिन ग्राफ सिद्धांत के बारे में कुछ नहीं जानता था, और छात्र B ग्राफ सिद्धांत में एक विशेषज्ञ था, लेकिन संभाव्यता के बारे में कुछ भी नहीं जानता था, तो A निश्चित रूप से B की तुलना में संभाव्य ग्राफिकल मॉडल को तेजी से सीख और समझ सकता है।

Answer 2

एक सख्त अर्थ में, ग्राफ सिद्धांत पीजीएम से शिथिल रूप से जुड़ा हुआ लगता है। हालांकि, ग्राफ एल्गोरिदम काम में आते हैं। PGMs की शुरुआत संदेश-गुजरने वाले अनुमानों के साथ हुई, जो कि ग्राफ़ पर संदेश-पासिंग एल्गोरिदम के सामान्य वर्ग का एक सबसेट है (हो सकता है, कि "ग्राफिकल" शब्द का कारण हो)। कंप्यूटर विज़न में मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र की खोज के लिए ग्राफ-कट एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; वे Ford-Fulkerson प्रमेय के अधिकतम परिणाम के आधार पर आधारित हैं (अधिकतम प्रवाह न्यूनतम कटौती के बराबर है); सबसे लोकप्रिय एल्गोरिदम शायद बॉयकोव-कोलमोगोरोव और आईबीएफएस हैं।

संदर्भ। [मर्फी, 2012 , .622.6.3] एमएपी इंजेक्शन के लिए ग्राफ कटौती का उपयोग शामिल है। यह भी देखें [कोलमोगोरोम और ज़ाबीह, 2004 ; बॉयकोव एट अल।, पीएएमआई 2001] , जो मॉडलिंग के बजाय अनुकूलन को कवर करते हैं।

Comments

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि ग्राफ-कट एल्गोरिदम का उपयोग एमआरएफ में किया जाता है। क्या आप एक संदर्भ की ओर इशारा कर सकते हैं? ऊपर डेविड स्टॉर्क के जवाब के आधार पर, ऐसा लगता है कि ये एल्गोरिदम इस तथ्य के कारण उत्पन्न होते हैं कि ग्राफ़ सिद्धांत एक उपयोगी मॉडलिंग उपकरण था, बजाय ग्राफ़ सिद्धांत और पीजीएम के बीच कुछ मूलभूत कनेक्शन के।

— विमल

जैसा आपने पूछा मैंने संदर्भ जोड़ दिए हैं। आपके अंतिम कथन के अनुसार, हम कारणों को कैसे अलग कर सकते हैं, यानी बता सकते हैं कि यह मौलिक है या नहीं?

— रोमन शापोवालोव

@overrider आप पूर्ण संदर्भ प्रदान कर सकते हैं ताकि कागजात को आसानी से खोजा जा सके ..? Googling लोगों को संदर्भों तक ले जा सकती है, लेकिन अप्रासंगिक परिणामों के लिए समय बर्बाद करने के साथ समाप्त हो सकती है। इसलिए शीर्षक, प्रकाशक, पत्रिका के नाम, लिंक आदि जोड़ना अच्छी बात है।

— टिम

ग्राफ कट एल्गोरिदम कंप्यूटर दृष्टि में उपयोगी होते हैं लेकिन संभाव्य चित्रमय मॉडल नहीं। स्टीरियो विज़न में एक समस्या पत्राचार की समस्या है: छवि में कौन से बिंदु मिलते हैं, छवि में अंक के अनुरूप। B. एक ऐसा ग्राफ़ स्थापित किया जा सकता है जहाँ कोने दो छवियों में बिंदुओं के अनुरूप होते हैं और एक ग्राफ़ सभी संभावित पत्राचारों का प्रतिनिधित्व करता है। फिर "उचित" पत्राचार खोजने की समस्या को ग्राफ-कट समस्या के रूप में डाला जा सकता है। जेनेरिक ग्राफिकल मॉडल में ऐसा कोई उपयोग नहीं है, हालांकि मुझे लगता है कि ग्राफिकल मॉडल पर इस कंप्यूटर विज़न समस्या को मैप करने की कोशिश की जा सकती है।

— डेविड जी। स्टॉर्क

@ डेविड जी.टॉर्क अन्य कंप्यूटर विज़न समस्याएं हैं जो ग्राफ़ में कटौती को एक समान तरीके से लागू करती हैं: छवि विभाजन, कोलाज बनाना, आदि, इसलिए दृष्टिकोण काफी सामान्य है। उन समस्याओं को स्वाभाविक रूप से अप्रत्यक्ष चित्रमय मॉडल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (हालांकि कागजात हमेशा ऐसा नहीं करते हैं)। यह विभिन्न एमआरएफ इंजेक्शन एल्गोरिदम, साथ ही मॉडल फिटिंग का उपयोग करने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, ग्राफ में कटौती एमआरएफ के एक सबसे बड़े उपसमूह को अनुकूलित कर सकती है, इस प्रकार इसे दृष्टि से परे लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए सोशल नेटवर्क विश्लेषण के लिए (हालांकि मैं अब विशिष्ट पत्रों को याद नहीं कर सकता)।

— रोमन शापोवालोव

Answer 3

लो डेंसिटी पैरिटी चेक कोड को डिकोड करने में आसानी के बीच लिंक की जांच करने के लिए कुछ काम किया गया है (जो उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त करता है जब आप इसे एक संभावित ग्राफ मानते हैं और लूपि बिलीफ प्रोपगेशन लागू करते हैं), और पैरिटी चेक मैट्रिक्स द्वारा गठित ग्राफ का घेरा । गर्थ के लिए यह लिंक ठीक उसी तरह से वापस जाता है जब LDPCs का आविष्कार किया गया था [1] लेकिन पिछले एक दशक में आगे काम हुआ है [2] [3] जब मैकके एट अल [४] द्वारा अलग-अलग रिडिस्कवरी की गई और उनके गुणों पर ध्यान दिया गया। ।

मैं अक्सर विश्वास प्रचार प्रसार के अभिसरण समय पर मोती की टिप्पणी देखता हूं जो कि ग्राफ के व्यास के आधार पर उद्धृत किया गया है। लेकिन मुझे किसी भी काम का पता नहीं है, जो गैर-वृक्षों के ग्राफ में ग्राफ डायमीटर देख रहा है और उसका क्या प्रभाव है।

1. आरजी गलगर। कम घनत्व समता जाँच कोड। एमआईटी प्रेस, 1963
2. आईई बोचरोवा, एफ। हग, आर। जोहानसन, बीडी कुदरीशोव और आरवी सत्युकोव। हाइपरग्राफ के आधार पर बड़े परिधि के साथ नए कम-घनत्व समता-जांच कोड। सूचना थ्योरी प्रोसीडिंग्स (ISIT), 2010 IEEE इंटरनेशनल सिम्पोजियम ऑन पेज 819-823, 2010।
3. एससी टाटीकोंडा। योग-उत्पाद एल्गोरिथ्म का अभिसरण। सूचना सिद्धांत कार्यशाला, 2003 में। कार्यवाही। 2003 IEEE, पृष्ठ 222 - 225, 2003
4. डेविड जेसी मैकके और आरएम नील। कम घनत्व समता चेक कोड के शैनन सीमा प्रदर्शन के पास। इलेक्ट्रॉनिक्स पत्र, ३३ (६): ४५–-४५ 1997, १ ९९ (।

Answer 4

संभाव्य चित्रमय मॉडल के लिए ग्राफ एल्गोरिदम का एक सफल अनुप्रयोग चाउ-लियू एल्गोरिथ्म है । यह इष्टतम (ट्री) ग्राफ संरचना खोजने की समस्या को हल करता है और यह अधिकतम फैले पेड़ों (एमएसटी) एल्गोरिथ्म पर आधारित है।

$$\begin{equation} p(x|T) = \prod_{t\in V} p(x_t) \prod_{(s,t) \in E} \frac{p(x_s, x_t)}{p(x_s)p(x_t)} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{1}{N}\log P(D|\theta, T) = \sum_{t\in V}\sum_k p_{ML}(x_t=k) \log p_{ML}(x_t=k) + \sum_{(s,t)\in E} I(x_s; x_t|\theta_{st}) \end{equation}$$ $I(x_s;x_t|\theta_{st})$$x_s$$x_t$$x$$k$$T$

$I(x_s;x_t|\theta_{st})$

Comments

हाय वादिम। आपके प्रतिक्रिया के लिए धन्येवाद। ग्राफ प्रमेय शब्दों में एक सूत्रीकरण के रूप में, यह समझ में आता है। लेकिन कोई इसे अनुकूलन समस्या के रूप में भी देख सकता है। प्रश्न की भावना एक अधिक मौलिक संबंध की पूछताछ करना था। उदाहरण के लिए, कोई ग्राफ़ पर एक टोपोलॉजिकल सॉर्ट के रूप में सॉर्टिंग समस्या बना सकता है, जहाँ नोड्स नंबर हैं, और तीर <= संबंध दर्शाते हैं। लेकिन यह छँटाई और ग्राफ एल्गोरिदम के बीच एक मौलिक संबंध नहीं बनाता है, है ना?

— विमल