मिश्रित प्रभाव मॉडल के लिए मॉडल मैट्रिसेस

Question

में lmerसमारोह के भीतर lme4में Rवहाँ यादृच्छिक प्रभाव, के एक मॉडल मैट्रिक्स के निर्माण के लिए एक फोन है , के रूप में समझाया यहाँ , पृष्ठों 7 - 9।$Z$

गणना करने से दो मैट्रिसेस, और खत्रीरओ और / या क्रोनकर उत्पादों की । जे आई एक्स $Z$$J_i$$X_i$

मैट्रिक्स $J_i$ एक कौर है: "समूह कारक कारकों का संकेतक मैट्रिक्स", लेकिन यह डमी कोडिंग के साथ एक विरल मैट्रिक्स लगता है कि किस इकाई (उदाहरण के लिए, दोहराव माप में विषय) उच्चतर पदानुक्रमित स्तर के अनुरूप हैं "पर" किसी भी अवलोकन के लिए। $X_i$ मैट्रिक्स कम श्रेणीबद्ध स्तर में माप का एक चयनकर्ता के रूप में कार्य करने के लिए, ताकि दोनों "चयनकर्ताओं" के संयोजन एक मैट्रिक्स प्राप्त होते हैं, लगता है $Z_i$ प्रपत्र निम्न उदाहरण के माध्यम से कागज में सचित्र के:

(f<-gl(3,2))

[1] 1 1 2 2 3 3
Levels: 1 2 3

(Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix")))

6 x 3 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
     1 2 3
[1,] 1 . .
[2,] 1 . .
[3,] . 1 .
[4,] . 1 .
[5,] . . 1
[6,] . . 1

(Xi<-cbind(1,rep.int(c(-1,1),3L)))
     [,1] [,2]
[1,]    1   -1
[2,]    1    1
[3,]    1   -1
[4,]    1    1
[5,]    1   -1
[6,]    1    1

इनमें से प्रत्येक मेट्रिसेस को ट्रांसपोज़ करना और खत्री-राव गुणन करना:

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 &. &. &. &.\\.&.&1&1&.&.\\.&.&.&.&1&1 \end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}\,\,\,\,1 & 1 &\,\,\,\,1 &1 &\,\,\,\,1 &1\\-1&1&-1&1&-1&1 \end{smallmatrix}\right]= \left[\begin{smallmatrix}\,\,1 & 1 &.&.&.&.\\\,\,\,\,-1 &1&.&.&.&.\\ .&.&\,\,\,\,\,1 &1&.&.\\.&.&\,\,-1&1&.&.\\.&.&.&.&\,\,\,1&1\\.&.&.&.&-1&1 \end{smallmatrix}\right]$

लेकिन इसका प्रस्ताव है:$Z_i$

(Zi<-t(KhatriRao(t(Ji),t(Xi))))

6 x 6 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

[1,] 1 -1 .  . .  .
[2,] 1  1 .  . .  .
[3,] .  . 1 -1 .  .
[4,] .  . 1  1 .  .
[5,] .  . .  . 1 -1
[6,] .  . .  . 1  1

ऐसा लगता है कि लेखकों डेटाबेस का उपयोग करने sleepstudyमें lme4, लेकिन वास्तव में डिजाइन मैट्रिक्स पर विस्तृत नहीं है के रूप में वे इस विशेष अध्ययन करने के लिए लागू होते हैं। इसलिए मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि ऊपर दिए गए पेपर में बने कोड कैसे और अधिक सार्थक sleepstudyउदाहरण में बदल जाएंगे ।

दृश्य सादगी के लिए मैंने डेटा को केवल तीन विषयों में घटाया है - "309", "330" और "371":

require(lme4)
sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ]
rownames(sleepstudy) <- NULL

प्रत्येक व्यक्ति एक बहुत ही अलग-अलग अवरोधक प्रदर्शित करेगा और ढलान को साधारण ओएलएस प्रतिगमन को व्यक्तिगत रूप से माना जाना चाहिए, जो विषयों के अनुरूप उच्च पदानुक्रम या इकाई स्तर के साथ मिश्रित-प्रभाव मॉडल की आवश्यकता का सुझाव देता है:

    par(bg = 'peachpuff')
    plot(1,type="n", xlim=c(0, 12), ylim=c(200, 360),
             xlab='Days', ylab='Reaction')
    for (i in sleepstudy$Subject){
            fit<-lm(Reaction ~ Days, sleepstudy[sleepstudy$Subject==i,])
            lines(predict(fit), col=i, lwd=3)
            text(x=11, y=predict(fit, data.frame(Days=9)), cex=0.6,labels=i)
        }

मिश्रित प्रभाव प्रतिगमन कॉल है:

fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

और फ़ंक्शन से निकाले गए मैट्रिक्स से पैदावार निम्नलिखित होती है:

parsedFormula<-lFormula(formula= Reaction~Days+(Days|Subject),data= sleepstudy)
parsedFormula$reTrms

$Ztlist
$Ztlist$`Days | Subject`
6 x 12 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

309 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . .
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

यह सही लगता है, लेकिन अगर यह है, तो इसके पीछे रैखिक बीजगणित क्या है? मुझे लगता है कि 1जैसे व्यक्तियों के चयन की पंक्तियाँ समझ में आती हैं। उदाहरण के लिए, 309बेसलाइन + नौ टिप्पणियों के लिए विषय चालू है, इसलिए यह चार 1और आगे निकल जाता है। दूसरा भाग स्पष्ट रूप से वास्तविक माप है: 0आधारभूत के लिए, 1नींद की कमी के पहले दिन के लिए, आदि।

$J_i$ जेड मैं = ( जे टी मैं * एक्स टी मैं ) ⊤ जेड मैं = ( जे टी मैं ⊗ एक्स टी मैं ) $X_i$ $Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$ $Z_i= (J_i^{T}\otimes X_i^{T})^⊤$

यहाँ एक संभावना है,

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&. &. &. &. &.& . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &. &.\\ .&.&.&.&. & . &. &. &. &. &1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&.& . &. &. &. &. &. &.&.&.\\&. & . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &.&.&.&.&.&1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1\end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1&1&1 & 1 & 1 & 1\\0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]=$

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 &1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\0 & 1 & 2 &3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&&.&.&.&.&.&1 &1&1&1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\ &.&.&.&.&.&.&.&.&.&0 &1&2&3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]$

lmer$X_i$

Comments

$Z$

आपके संकेत के लिए धन्यवाद। मैं इस फ़ंक्शन के रैखिक बीजगणित कंकाल में सभी उप-इंद्रियों की भावना बनाने पर काम करता रहूंगा। यदि यह जगह पर क्लिक करता है, तो मैं आगे जाऊंगा और अपने स्वयं के प्रश्न का उत्तर दूंगा, लेकिन हालांकि मुझे पता है कि गहरी-डाउन सरल है, गणित मचान नामकरण और किसी भी उदाहरण के लिए आवेदन के बीच पत्राचार भ्रामक है।

— एंटनी परेलाडा

आपके लिए एक और अच्छा संसाधन उनका lme4pureR कार्यान्वयन हो सकता है , जो उपरोक्त विगनेट के साथ आता है और पूरी तरह से आर। में लिखा जाता है। हो सकता है mkZt()( यहाँ इसके लिए खोज ) एक अच्छी शुरुआत है?

— एलेक्सफ्रेन्स

Answer 1

1. $J_i$309330371nrow(sleepstudy[sleepstudy$Subject==309,]) [1] 10

f <- gl(3,10) Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix"))

2. $X_i$getME

   library(lme4) sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ] rownames(sleepstudy) <- NULL fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

Xi <- getME(fm1,"mmList")

चूंकि हमें ट्रांसपोज़ की आवश्यकता होगी, और ऑब्जेक्ट Xiएक मैट्रिक्स नहीं है, इसे इस t(Xi)प्रकार बनाया जा सकता है:

t_Xi <- rbind(c(rep(1,30)),c(rep(0:9,3)))

3. $Z_i$$Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$

Zi<-t(KhatriRao(t_Ji,t_Xi)):

यह मूल पेपर में समीकरण (6) से मेल खाती है :

$$Z_i = (J_i^T*X_i^T)^T=\begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T\\J_{i2}^T\otimes X_{i2}^T\\\vdots\\J_{in}^T\otimes X_{in}^T\end{bmatrix}$$

$J_i^T$$X_i^T$

$J_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\end{smallmatrix}\right]$$X_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1\\0&1&0&1&0&1\end{smallmatrix}\right]$

तथा

$J_i^T*X_i^T=\left[ \begin{smallmatrix} \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right) \end{smallmatrix} \right]$

$\small= \begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T && J_{i2}^T \otimes X_{i2}^T && J_{i3}^T\otimes X_{i3}^T && J_{i4}^T\otimes X_{i4}^T && J_{i5}^T\otimes X_{i5}^T && J_{i6}^T\otimes X_{i6}^T\end{bmatrix}$

$=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right]$$Z_i=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0\\\vdots\\\\0&0&1&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&1&2&0&0\\\vdots\\\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1&2\\\\\vdots\end{smallmatrix}\right]$

4. $b$

b <- getME(fm1,"b")

[1,] -44.1573839
[2,]  -2.4118590
[3,]  32.8633489
[4,]  -0.3998801
[5,]  11.2940350
[6,]   2.8117392

यदि हम इन मानों को कॉल के निश्चित-प्रभावों से जोड़ते हैं, तो हमें fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)इंटरसेप्ट्स मिलते हैं:

205.3016 for 309; 282.3223 for 330; and 260.7530 for 371

और ढलान:

2.407141 for 309; 4.419120 for 330; and 7.630739 for 371

मूल्यों के अनुरूप:

library(lattice)
xyplot(Reaction ~ Days | Subject, groups = Subject, data = sleepstudy, 
       pch=19, lwd=2, type=c('p','r'))

5. $Zb$as.matrix(Zi)%*%b