ब्राउनियन पुल के वर्चस्व का कोलमोगोरोव-स्मिरनोव वितरण क्यों है?

Question

Kolmogorov-Smirnov वितरण Kolmogorov-Smirnov परीक्षण से जाना जाता है । हालांकि, यह ब्राउनियन पुल के वर्चस्व का वितरण भी है।

चूंकि यह स्पष्ट (मुझसे) दूर है, इसलिए मैं आपसे इस संयोग की सहज व्याख्या के लिए पूछना चाहूंगा। संदर्भ भी स्वागत योग्य हैं।

Comments

@GBBorgulya: आपने क्या बदला?

— रासमस

यहाँ और यहाँ देखें ।

— कार्डिनल

Answer 1

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

जहां $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

CLT द्वारा आपके पास $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

यह अंतर्ज्ञान है ...

ब्राउनियन पुल विचरण है टी ( 1 - टी ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge की जगह टी द्वारा एफ ( एक्स ) । यह एक एक्स के लिए है ...$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

आपको सहसंयोजक की जांच करने की भी आवश्यकता है और इसलिए अभी भी (CLT) दिखाना आसान है ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1) , ... , बी कश्मीर ) जहां ( बी 1 , ... , बी कश्मीर ) है एन ( 0 , Σ ) $x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ के साथ , σ मैं j = मिनट ( एफ ( एक्स मैं ) , एफ ( एक्स जे ) ) - एफ ( एक्स मैं ) एफ ( एक्स जे$\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$ ।

मुश्किल हिस्सा पता चलता है कि सीमा के suppremum के वितरण सीमा के वितरण के supremum है ... समझना कि ऐसा क्यों होता है, कुछ अनुभवजन्य प्रक्रिया सिद्धांत की आवश्यकता है इस तरह के Waart और Welner (आसान नहीं) der वैन के रूप में किताबें पढ़ने । प्रमेय का नाम डॉन्सर प्रमेय http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem है ...

Comments

क्या हमें सभी परिमित-आयामी सीमांत वितरणों के लिए CLT लागू नहीं करना चाहिए?

— रासुस

आपने सहज उत्तर देने के लिए कहा :) मैं आपको मुश्किल गणितीय भाग से परेशान नहीं करना चाहता हूं जो यह दिखाना है कि सभी टी के लिए अभिसरण का अर्थ है (कानून का) वर्चस्व का ... क्या आप चाहते हैं कि मैं इसे पूरा करूं। उत्तर?

— रॉबिन जिरार्ड

प्रिय रॉबिन जिरार्ड, मुझे लगता है कि आपका उत्तर ठीक है क्योंकि यह खड़ा है। धन्यवाद!

— रासुस

मुश्किल हिस्सा वास्तव में कमजोर अभिसरण दिखाने के लिए है। वर्चस्व का वर्चस्व तब निरंतर मानचित्रण प्रमेय से सीधे चलता है। यह परिणाम बिलिंग्सली के "कनवर्जेन्स ऑफ़ प्रोबेबिलिटी माप" में पाया जा सकता है। वान डेर वार्ट और वेलनर अधिक सामान्य परिणाम देते हैं और उनकी पुस्तक वास्तव में, वास्तव में कठिन है :)

— mpiktas

@robingirard मैं व्यक्तिगत रूप से सभी "मुश्किल गणितीय भाग [s]" के साथ एक "पूर्ण उत्तर" देखना पसंद

— करूंगा

Answer 2

कोलमोगोरोव-स्मिरनोव के लिए, शून्य परिकल्पना पर विचार करें। यह कहता है कि एक विशेष वितरण से एक नमूना तैयार किया गया है। इसलिए यदि आप लिए अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करते हैं$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$ , अनंत डेटा की सीमा में है, यह अंतर्निहित वितरण के लिए अभिसरण होगा।

$q$$x=q$ पर अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन एक कदम बढ़ाता है। हम इसे एक रैंडम वॉक के रूप में देख सकते हैं जो सच्चे वितरण समारोह को शुरू करने और समाप्त करने के लिए विवश है। एक बार जब आप यह जान लेते हैं कि, आप रैंडम वॉक के बारे में जाने जाने वाली जानकारी की भारी मात्रा के लिए साहित्य को छोड़ देते हैं, तो पता चलता है कि इस तरह के वॉक का सबसे बड़ा अपेक्षित विचलन क्या है।

$p$$p=2$$p$