क्या इस असतत वितरण का कोई नाम है?

Question

क्या इस असतत वितरण का कोई नाम है? के लिए $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

मैं निम्नलिखित से इस वितरण में आया था: मेरे पास कुछ उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा रैंक किए गए आइटमों की एक सूची है । मैं सूची के प्रारंभ की ओर पूर्वाग्रह करते हुए बेतरतीब ढंग से एक आइटम का चयन करना चाहता हूं। इसलिए, मैं पहली बार 1 और N के बीच समान रूप से एक इंडेक्स जे का चयन करता हूं । मैं तब इंडेक्स 1 और जे के बीच एक आइटम का चयन करता हूं । मेरा मानना ​​है कि इस प्रक्रिया का परिणाम उपरोक्त वितरण में है।$N$$j$$N$$j$

Comments

यह एक वितरण नहीं है: यह सामान्यीकृत नहीं है।

— whuber

पहले जब मैंने ऐसा सोचा था (और टिप्पणी करने से पहले मैंने महसूस किया कि मुझे गलत समझा गया था और टिप्पणी को हटा दिया गया था), लेकिन यह निकला कि मैंने परिभाषा को गलत समझा है। जब तक मेरे पास एक और गलतफहमी नहीं है, यह एक सामान्यीकृत संभावना सामूहिक कार्य है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह सामान्यीकृत है। 1/1 योग में एक बार दिखाई देगा (यह f (1) में होगा)। 1/2 बिल्कुल दो बार दिखाई देगा (यह f (1) और f (2) में होगा)। आदि तो उन सभी राशियों का योग N होगा और सामान्य को स्थिर 1 / N के रूप में दिखाया गया है। चेक आउट।

— rcorty

इस बिंदु पर अधिक, हालांकि, मुझे नहीं पता कि इस डिस्ट्रो को क्या कहा जाता है। मुझे यह भी पता नहीं है कि आपने जिस प्रक्रिया का वर्णन किया है वह इस डिस्ट्रो की ओर कैसे जाता है। एक विचार यह था कि यह एक छड़ी-तोड़ने की प्रक्रिया के असतत संस्करण की तरह लगता है, जो कि बहुत ही घृणित है।

— rcorty

@Glen_b धन्यवाद। मैं अपने फोन पर इसे पढ़ रहा था, जो स्पष्ट रूप से पर्याप्त रूप से प्रस्तुत नहीं करता था । $f$

— whuber

Answer 1

आपके पास नकारात्मक लॉग वितरण का एक विच्छेदित संस्करण है, अर्थात, वह वितरण जिसका समर्थन और जिसका pdf f ( t ) = - log t है ।$[0, 1]$$f(t) = - \log t$

यह देखने के लिए, मैं अपने यादृच्छिक चर फिर से परिभाषित करने समूह में मान लेने के लिए जा रहा हूँ के बजाय { 0 , 1 , 2 , ... , एन } और कॉल परिणामस्वरूप वितरण टी । फिर, मेरा दावा है कि$\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

के रूप में जबकि $N, t \rightarrow \infty$ को (लगभग) स्थिर रखा जाता है। $\frac{t}{N}$

सबसे पहले, इस अभिसरण को प्रदर्शित करने वाला एक छोटा सिमुलेशन प्रयोग। यहाँ आपके वितरण से एक नमूना का एक छोटा सा कार्यान्वयन है:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

यहाँ आपके वितरण से लिए गए एक बड़े नमूने का एक हिस्टोग्राम है:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

और यहाँ पर लघुगणक पीडीएफ़ ओवरलेड है:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

यह देखने के लिए कि यह अभिसरण क्यों होता है, अपनी अभिव्यक्ति से शुरू करें

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

और एन द्वारा गुणा और भाग करें$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

अब फ़ंक्शन लिए योग एक रीमैन योग है$g(x) = \frac{1}{x}$$\frac{t}{N}$$1$$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

वह अभिव्यक्ति है जिस पर मैं पहुंचना चाहता था।

Comments

आपका बहुत स्वागत है। यह एक बेहतरीन सवाल था और मुझे इसे पूरा करने में बहुत मज़ा आया।

— मैथ्यू डॉरी

Answer 2

यह व्हिटवर्थ वितरण से संबंधित प्रतीत होता है। (मुझे विश्वास नहीं है कि यह व्हिटवर्थ वितरण है, क्योंकि अगर मुझे सही याद है, तो यह ऑर्डर किए गए मानों के एक सेट का वितरण है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह जुड़ा हुआ है, और उसी योग-योजना पर निर्भर है।)

व्हिटवर्थ (और कई संदर्भों) की कुछ चर्चा है

एंथोनी लॉरेंस और रॉबर्ट मार्क्स, (2008)
"विवश संसाधनों के साथ एक उद्योग में फर्म आकार का वितरण,"
एप्लाइड अर्थशास्त्र , वॉल्यूम। 40, अंक 12, पृष्ठ 1595-1607

(यहां वर्किंग पेपर वर्जन लगता है )

और देखें

नैन्सी एल गेलर, (1979)
व्हिटवर्थ वितरण के लिए महत्व की एक परीक्षा,
जर्नल ऑफ द अमेरिकन सोसाइटी फॉर इंफॉर्मेशन साइंस , Vol.30 (4), पीपी.229-231

Comments

इस उत्तर को स्व-निहित बनाने के लिए, क्या आप व्हिटवर्थ वितरण की परिभाषा प्रदान कर सकते हैं और शायद आपके द्वारा देखे गए कनेक्शन के संबंध में स्पष्टीकरण के कुछ शब्द प्रदान करते हैं?

— whuber

@ शुभंकर हाँ, यह एक टिप्पणी होनी चाहिए क्योंकि यह खड़ा है। मैं कुछ विवरणों को संपादित करूंगा, लेकिन यह एक अच्छा सौदा समाप्त करने वाला है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

बस किसी तरह की परिभाषा ठीक होगी।

— व्हीबर

धन्यवाद, यह समझा गया था, लेकिन फिर भी यह परिणाम होगा।

— Glen_b -Reinstate मोनिका