द्वारा विभाजित एक सामान्य

जाने और । $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

यदि और को स्वतंत्र रूप से वितरित किया जाता है, तो चर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ एक वितरण का अनुसरण करता है । $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

मैं इस तथ्य के प्रमाण की तलाश में हूं, एक संदर्भ काफी अच्छा है यदि आप पूरा तर्क नहीं लिखना चाहते हैं।

probability distributions references

— Monolite
स्रोत

यह आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 52906 पर औपचारिक रूप से प्रदर्शित किया जाता है : अनुपात, जब एक अभिन्न के रूप में लिखा जाता है, को गॉसियंस का मिश्रण माना जाता है, और यह दर्शाता है कि मिश्रण वितरण में है।

— whuber

कुछ पाठ्यपुस्तकों में यह एक टी-वितरण की परिभाषा है। आपको इसे साबित करने की आवश्यकता नहीं है। ऐसी परिभाषा दी गई पीडीएफ को कैसे प्राप्त करें यह एक वैध प्रश्न है।

— mpiktas

जवाबों:

चलो $Y$ के साथ एक ची-वर्ग यादृच्छिक चर हो $n$ स्वतंत्रता का दर्जा। तब का वर्गमूल $Y$ , $\sqrt Y\equiv \hat Y$ के साथ ची- वितरण के रूप में वितरित किया जाता है $n$ स्वतंत्रता की डिग्री, जिसका घनत्व है

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

परिभाषित करें $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ । फिर $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$ , और परिवर्तन के-चर सूत्र से हमारे पास ऐसा है

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

चलो $Z$ एक सामान्य सामान्य रैंडम वैरिएबल हो, जो पिछले वाले से स्वतंत्र हो, और रैंडम वैरिएबल को परिभाषित करे

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ ।

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुपात के घनत्व समारोह के लिए मानक सूत्र द्वारा,

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

परंतु $f_X(x) = 0$ अंतराल के लिए $[-\infty, 0]$ चूंकि $X$ एक गैर-नकारात्मक आरवी है इसलिए हम पूर्ण मूल्य को समाप्त कर सकते हैं, और अभिन्न को कम कर सकते हैं

f_{T} (t) = \int_{0}^{\infty} x f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} {एक्स}^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + {टी}^{2}) {एक्स}^{2}} घ एक्स \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

में अभिन्न $(3)$ अंततः एक गामा घनत्व समारोह में तब्दील होने का वादा करता है। एकीकरण की सीमाएं सही हैं, इसलिए हमें सीमाओं को बदलने के बिना एक गामा घनत्व समारोह बनने में एकीकृत करने की आवश्यकता है। चर को परिभाषित करें

म \equiv {एक्स}^{2} \Rightarrow घ म = 2 एक्स घ एक्स \Rightarrow घ एक्स = \frac{घ म}{2 एक्स}, एक्स = म^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ हमारे पास के अभिन्न अंग में प्रतिस्थापन बनाना

\begin{matrix} (4) & {मैं}_{3} = \int_{0}^{\infty} {एक्स}^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + {टी}^{2}) म} \frac{घ म}{2 एक्स} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} म^{\frac{n - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} (n + {टी}^{2}) म} घ म \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

गामा घनत्व लिखा जा सकता है

जी ए म म ए (म; क, θ) = \frac{म^{क - 1} \exp {- \frac{म}{θ}}}{θ^{क} Γ (क)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

गुणांक से मेल खाते हुए, हमारे पास होना चाहिए

क - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow क^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + {टी}^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + {टी}^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

इन मूल्यों के लिए $k^*$ तथा $\theta^*$ चर को शामिल करने वाले इंटीग्रैंड में शब्द एक गामा घनत्व के कर्नेल हैं। इसलिए यदि हम अभिन्न को विभाजित करते हैं $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$ और एक ही परिमाण द्वारा अभिन्न के बाहर गुणा, अभिन्न गामा distr होगा। कार्य और समान एकता होगी। इसलिए हम पहुंचे हैं

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{{टी}^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

उपरोक्त को eq में सम्मिलित करना। $(3)$ हमें मिला

च_{टी} (टी) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{{टी}^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{{टी}^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... जिसे कहा जाता है (छात्र का वितरण का घनत्व कार्य) $n$ स्वतंत्रता का दर्जा।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

हालांकि ईएस पियर्सन को यह पसंद नहीं आया, फिशर का मूल तर्क ज्यामितीय, सरल, दृढ़ और कठोर था। यह सहज और आसानी से स्थापित तथ्यों की एक छोटी संख्या पर निर्भर करता है। जब वे आसानी से कल्पना कर रहे हैं $s=1$ या $s=2$ , जहां ज्यामिति की कल्पना दो या तीन आयामों में की जा सकती है। वास्तव में, इसमें बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करने की मात्रा होती है $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ विश्लेषण करना $s+1$ iid सामान्य चर।

$s+1$ स्वतंत्र और सामान्य रूप से वितरित सामान्य चर $X_1, \ldots, X_{s+1}$ गोलाकार रूप से सममित हैं। इसका मतलब है कि बिंदु का रेडियल प्रक्षेपण $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ इकाई क्षेत्र पर $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ पर एक समान वितरण है $S^s$ ।
ए $\chi^2(s)$ वितरण वर्गों के योग का है $s$ स्वतंत्र मानक सामान्य चर।
इस प्रकार, सेटिंग $Z=X_{s+1}$ तथा $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ , अनुपात $Z/\sqrt{W}$ अक्षांश का स्पर्शरेखा है $\theta$ बिंदु का $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ में $\mathbb{R}^{s+1}$ ।
$\tan\theta$ पर रेडियल प्रक्षेपण द्वारा अपरिवर्तित है $S^s$ ।
अक्षांश के सभी बिंदुओं द्वारा निर्धारित सेट $\theta$ पर $S^s$ है एक $s-1$ त्रिज्या का आयामी क्षेत्र $\cos \theta$ । आईटी इस $s-1$ आयामी माप इसलिए आनुपातिक है
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
विभेदक तत्व है $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$ ।
लिख रहे हैं $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ देता है $\tan\theta = t/\sqrt{s}$ , जहां
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ तथा $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ साथ में ये समीकरण नापसंद होते हैं $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ का कारक शामिल है $1/\sqrt{s}$ एक सामान्य स्थिति में $C(s)$ के घनत्व को दर्शाता है के लिए आनुपातिक है

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

यह छात्र t घनत्व है।

आकृति

चित्र में ऊपरी गोलार्ध (के साथ) को दर्शाया गया है $Z \ge 0$ ) का $S^s$ में $\mathbb{R}^{s+1}$ । पार की गई कुल्हाड़ी $W$ -hyperplane। काले बिंदु एक के यादृच्छिक नमूने का हिस्सा हैं $s+1$ मानक मानक सामान्य वितरण: वे एक निरंतर अक्षांश के लिए प्रोजेक्ट करने वाले मान हैं $\theta$ , पीले बैंड के रूप में दिखाया गया है। इन डॉट्स का घनत्व आनुपातिक है $s-1$ -उस बैंड का डायमेंशनल वॉल्यूम, जो खुद एक है $S^{s-1}$ त्रिज्या का $\theta$ । उस बैंड के ऊपर शंकु को ऊंचाई पर समाप्त करने के लिए तैयार किया गया है $\tan \theta$ । के एक कारक तक $\sqrt{s}$ , छात्र टी वितरण के साथ $s$ स्वतंत्रता की डिग्री इस ऊंचाई का वितरण है जैसा कि इकाई क्षेत्र के क्षेत्र को सामान्य करने पर पीले बैंड के माप से भारित किया जाता है $S^s$ एकता के लिए।

संयोग से, सामान्य स्थिति स्थिर होनी चाहिए $1/\sqrt{s}$ (जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है) क्षेत्रों के सापेक्ष मात्रा का समय ,

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

अंतिम अभिव्यक्ति, हालांकि पारंपरिक, थोड़ा सरल रूप से सरल प्रारंभिक अभिव्यक्ति को उजागर करती है, जो स्पष्ट रूप से इसका अर्थ बताती है $C(s)$ ।

फिशर ने डब्ल्यूएस गोसेट (मूल "छात्र") को एक पत्र में इस व्युत्पत्ति को समझाया। गॉसेट ने फिशर को पूरा श्रेय देते हुए इसे प्रकाशित करने का प्रयास किया, लेकिन पियर्सन ने कागज को अस्वीकार कर दिया। फिशर विधि, जैसा कि एक नमूना सहसंबंध गुणांक के वितरण को खोजने के समान लेकिन अधिक कठिन समस्या पर लागू किया गया था, अंततः प्रकाशित हुई।

संदर्भ

आरए फिशर, एक अनिश्चितकालीन बड़ी आबादी से नमूने में सहसंबंध गुणांक के मूल्यों की आवृत्ति वितरण। बायोमेट्रिक वॉल्यूम। 10, नंबर 4 (मई, 1915), पीपी। 507-521। वेब पर https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf पर उपलब्ध है (और कई अन्य स्थानों पर खोज के माध्यम से, एक बार यह लिंक गायब हो जाता है)।

जोन फिशर बॉक्स, गॉसेट, फिशर और टी डिस्ट्रीब्यूशन। अमेरिकी सांख्यिकीविद् , वॉल्यूम। 35, नंबर 2 (मई, 1981), पीपी। 61-66। वेब पर http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf पर उपलब्ध है ।

ईएल लेहमैन, फिशर, नेमन और क्लासिकल स्टैटिस्टिक्स का निर्माण। स्प्रिंगर (2011), अध्याय 2।

— व्हीबर
स्रोत

यह एक शानदार सबूत है! मुझे पूरी उम्मीद है कि आपको यह संदेश मिल जाएगा, हालाँकि अब कई साल हो चुके हैं। इस प्रमाण के छठे चरण में, मेरा मानना है कि एक त्रुटि है। Cos ^ -2 (थीटा) = (1 + तन ^ 2 (थीटा)), इसका विलोम नहीं। प्रार्थना करना एक आसान तय है?

— गणित उत्साही

@ मैथ आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। मुझे चरण 6 पर कोई त्रुटि नहीं मिली। शायद आप पढ़ने की कोशिश कर रहे हैं "

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$ ”(जिसका अर्थ है

- 2

$-2$ की शक्ति

\cos (θ)

$\cos(\theta)$ ) मानो इसका मतलब "

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$ "?

— whuber

मैंने साधारण पहचान का उपयोग किया

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$ उस को कम करने के लिए

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$ 5 लाइन में। लेकिन लाइन 6 में इसी तर्क से,

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$ । यह दावा करता है कि अंतर तत्व के बराबर है

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— गणित उत्साही

@ मैथ धन्यवाद - तुम सही हो, बिल्कुल। मैंने बीजगणित को ठीक करने के लिए अंक (6) और (7) संपादित किए हैं।

— whuber

वाह, क्या राहत मिली! आपको खुश छुट्टियाँ

— गणित उत्साही

मैं चर को बदलने की कोशिश करूंगा। सेट $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ तथा $X=Z$ उदाहरण के लिए। इसलिए $Z=X$ , $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ । फिर $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ । कहाँ पे $J$ के बहुभिन्नरूपी समारोह के लिए याकूबियन मैट्रिक्स है $Z$ तथा $W$ का $X$ तथा $Y$ । तब आप एकीकृत कर सकते हैं $x$ संयुक्त घनत्व से बाहर। $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ , $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ , $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ , तथा $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ ।

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

इसलिए $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ । मैं सिर्फ थॉमस ए। सेर्विनी द्वारा डिस्ट्रीब्यूशन थ्योरी के तत्वों पर एक नज़र डालती हूं, वे लेते हैं $X=W$ । गामा वितरण के गुणों का उपयोग करके चीजों को एकीकृत करना आसान हो जाता है। अगर मैं उपयोग करता हूं $X=Z$ , मुझे संभवतः वर्गों को पूरा करने की आवश्यकता होगी।

लेकिन मैं गणना नहीं करना चाहता।

— ztyh
स्रोत

मैंने आपको नीचा नहीं दिखाया, वास्तव में मैंने सिर्फ आपको उकसाया। लेकिन मुझे लगता है कि हो सकता है कि डाउनवोट आपके संपादन से पहले पहुंचे।

— मोनोलिट

इसके बारे में क्षमा करें, मैं अभी से सावधान हो जाऊंगा।

— ztyh