गाऊसी आरवी और गाऊसी मिश्रण के योग के बीच संबंध

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मुझे पता है कि गॉसियन का एक योग गॉसियन है। तो, गाऊसी का मिश्रण कैसे अलग है?

मेरा मतलब है, गाऊसी लोगों का एक मिश्रण सिर्फ गाऊसी का योग है (जहां प्रत्येक गौसियन को संबंधित मिश्रण गुणांक से गुणा किया जाता है) सही?

— njk
स्रोत

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गाऊसी का मिश्रण गाऊसी घनत्व का भारित योग होता है , न कि गाऊसी यादृच्छिक चर का भारित योग।

— probabilityislogic

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की एक भारित योग गाऊसी यादृच्छिक चर एक है गाऊसी यादृच्छिक चर : अगर तो $X_1,\ldots,X_p$

\sum_{i = 1}^{p} β_{i} X_{i}

$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$

(X_{1}, \dots, X_{p}) \sim N_{p} (μ, Σ)

$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$

β^{T} (X_{1}, \dots, X_{p}) \sim N_{1} (β^{T} μ, β^{T} Σ β)

$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$

f (\cdot; θ) = \sum_{i = 1}^{p} ω_{i} φ (\cdot; μ_{i}, σ_{i})

$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

[स्रोत: मारिन और रॉबर्ट, बायेसियन कोर , 2007]

$X\sim f(\cdot;\theta)$

X = \sum_{i = 1}^{p} I (Z = i) X_{i} = X_{Z}

$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$

X_{i} \sim N_{p} (μ_{i}, σ_{i})

$X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$

Z

$Z$

P (Z = i) = ω_{i}

$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$

Z \sim M (1; ω_{1}, \dots, ω_{p})

$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$

— शीआन
स्रोत

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और यहां @ शीआन के जवाब को पूरक करने के लिए कुछ आर कोड है:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— अल्बर्टो
स्रोत

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स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वितरण उनके वितरण का दृढ़ संकल्प है । जैसा कि आपने उल्लेख किया है, दो गॉसियों का दृढ़ विश्वास गॉसियन होता है।

$X,Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z=X$ $Z=Y$

— enthdegree
स्रोत

धन्यवाद उत्साह मुझे पता है कि निम्नलिखित उदाहरण स्वाभाविक रूप से गलत है, लेकिन यह वैसे भी दिलचस्प हो सकता है: मान लें कि हमारे पास 2 गॉसियन घनत्वों का एक विशेष प्रकार का "मिश्रण" है (यदि हम अभी भी इसे "मिश्रण" कह सकते हैं), जहां मिश्रण गुणांक है दोनों 1 से संबंधित हैं, क्या यह गौसियन आरवी के योग के समान होगा?

— njk

नहीं, हालांकि इस मामले में आपका मिश्रण आरवी गौसियन होगा, यदि आप घटक के वितरण के साथ दो आरवी जोड़ते हैं, तो आरवी मिश्रण आरवी से अधिक भिन्नता होगी।

— उत्साह

@ XVdegree मिश्रण आर.वी. गॉसियन कैसे है? यह अभी भी bimodal हो सकता है अगर साधन संयोग नहीं है, है ना?

— सीखने

@ लर्निंग, हाँ आप सही कह रहे हैं। जब मैंने प्राइम लिखा था। किसी कारण के लिए टिप्पणी मुझे लगता है कि वे एक ही मतलब था।

— अति उत्साह