दो यादृच्छिक गैर-मानदंडों का रैखिक संयोजन जो अभी भी एक ही परिवार का सदस्य है

Question

यह सर्वविदित है कि 2 यादृच्छिक सामान्य चर का एक रैखिक संयोजन भी एक यादृच्छिक सामान्य चर है। क्या कोई सामान्य गैर-सामान्य वितरण परिवार हैं (उदाहरण के लिए, वेइबुल) जो इस संपत्ति को भी साझा करते हैं? कई प्रतिपक्ष लगते हैं। उदाहरण के लिए, वर्दी का एक रैखिक संयोजन आमतौर पर एक समान नहीं होता है। विशेष रूप से, क्या कोई गैर-सामान्य वितरण परिवार हैं जहां निम्नलिखित दोनों सत्य हैं:

1. उस परिवार से दो यादृच्छिक चर का एक रैखिक संयोजन उस परिवार में कुछ वितरण के बराबर है।
2. परिणामी पैरामीटर (ओं) को मूल मापदंडों के एक समारोह और रैखिक संयोजन में स्थिरांक के रूप में पहचाना जा सकता है।

मुझे इस रैखिक संयोजन में विशेष रूप से दिलचस्पी है:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

जहाँ और को कुछ गैर-सामान्य परिवार से लिया गया है, जिनमें पैरामीटर और , और एक ही गैर-सामान्य परिवार से आता है, जिसमें पैरामीटर ।$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

मैं एक वितरण परिवार को सादगी के लिए 1 पैरामीटर के साथ वर्णन कर रहा हूं, लेकिन मैं कई मापदंडों वाले परिवारों को खोलने के लिए तैयार हूं।

इसके अलावा, मैं उदाहरण (ओं) की तलाश कर रहा हूं, जहां सिमुलेशन उद्देश्यों के लिए काम करने के लिए और पर बहुत सारे पैरामीटर स्थान हैं। यदि आप केवल एक उदाहरण पा सकते हैं जो कुछ बहुत विशिष्ट और लिए काम करता है , तो यह कम मददगार होगा।$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Comments

धन्यवाद। मैं वास्तव में सामान्य गैर-सामान्य परिवारों (जैसे, वीबुल) की तलाश कर रहा हूं। मैं यह भी स्पष्ट करने की कोशिश करूंगा कि परिणामी पैरामीटर (ओं) को मूल मापदंडों की एक विस्तृत विविधता के लिए मूल पैरामीटर के कार्य होने चाहिए। यही है, सिमुलेशन उद्देश्यों के लिए काम करने के लिए बहुत सारे पैरामीटर स्थान होने चाहिए।

— एंथनी

यह मानते हुए कि हम स्वतंत्र यादृच्छिक चर के मनमाने रैखिक संयोजनों के बारे में बात कर रहे हैं , वहाँ (लेवी) स्थिर वितरण हैं । इस तरह के वितरणों का पूरा वर्ग पूरी तरह से उनके विशिष्ट कार्य द्वारा एक निश्चित रूप लेता है। केवल कुछ चुनिंदा बंद-प्रपत्र अभिव्यक्तियों के साथ घनत्व हैं।

— कार्डिनल

@Cardinal द्वारा उल्लिखित अल्फा-स्टैबल्स एक उत्तर हैं, और यदि मैं सही ढंग से समझता हूं, तो एकमात्र उत्तर यदि पैरामीटर को स्थान और स्केल की आवश्यकता है, लेकिन क्या अन्य उत्तर हैं यदि पैरामीटर को स्थान + स्केल होने की आवश्यकता नहीं है? (हालांकि यह शायद अभी तक ओपी क्या चाहता था कि यह एक अलग सवाल होना चाहिए)।

— जुहो कोक्कल

यदि पैरामीटर स्थान और पैमाने पर नहीं हैं तो भी मुझे उत्तरों में दिलचस्पी है।

— एंथनी

@ जूहू मुझे विश्वास है कि सामान्य रूप से उत्तर हां है। वितरण के योगों (बिंदुवार) सह-निर्माण कार्यों के बिंदुओं के अनुरूप हैं (विशेषता फ़ंक्शन के लघुगणक के रूप में परिभाषित), इसलिए संक्षेप के तहत वितरण के एक सेट का समापन स्वाभाविक रूप से सभी वितरणों के सेट के भीतर निहित है जो (वास्तविक) रैखिक संयोजन हैं उन cgf के।

— whuber

Answer 1

यह सर्वविदित है कि 2 यादृच्छिक सामान्य चर का एक रैखिक संयोजन भी एक यादृच्छिक सामान्य चर है। क्या कोई सामान्य गैर-सामान्य वितरण परिवार (जैसे, वेइबुल) हैं जो इस संपत्ति को भी साझा करते हैं?

सामान्य वितरण एक अच्छी पहचान पहचान को संतुष्ट करता है: $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$। यदि आप केंद्रीय सीमा प्रमेय की बात कर रहे हैं, तो उदाहरण के लिए, एक ही आकार के गुणांक वाले गामा वितरण उस संपत्ति को साझा करेंगे और गामा वितरण होने का विश्वास करेंगे। कृपया केंद्रीय सीमा प्रमेय के आह्वान के संबंध में एक सावधानी नोट करें । सामान्य तौर पर, हालांकि, असमान आकार के गुणांक के साथ, गामा वितरण एक दृढ़ विश्वास द्वारा "जोड़" देगा जो एक गामा वितरण नहीं होगा, बल्कि एक गामा फ़ंक्शन है जो ईक में पाए जाने वाले पहले प्रकार के एक हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन को गुणा करता है। (२) दो गामा वितरण का दृढ़ विश्वास । जोड़ने की दूसरी परिभाषा, जो असंबंधित प्रक्रियाओं के मिश्रण वितरण का निर्माण कर रही है, जरूरी नहीं कि कोई केंद्रीय सीमा प्रदर्शित हो, उदाहरण के लिए, यदि साधन अलग हैं।

शायद अन्य उदाहरण हैं, मैंने एक संपूर्ण खोज नहीं की है। दृढ़ संकल्प के लिए बंद होना दूर की कौड़ी नहीं लगती। रैखिक संयोजन के लिए, पियर्सन VII के साथ Pearson VII का उत्पाद एक और Pearson VII है ।

Comments

आप एक ही पैमाने के पैरामीटर के साथ अयोग्य निर्भर गामा यादृच्छिक चर जोड़ सकते हैं और उसी स्केल पैरामीटर के साथ एक और गामा प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन आप मनमाने ढंग से रैखिक संयोजन नहीं ले सकते। कई प्रसिद्ध वितरण हैं जिनके लिए आप रकम ले सकते हैं लेकिन मनमाने ढंग से रैखिक संयोजन नहीं कर सकते और उस परिवार के भीतर ही रह सकते हैं। (यहाँ पहले से ही हटाए गए उत्तर हैं जो समान त्रुटि करते हैं)

— Glen_b -Reinstate Monica

यह सच है कि दो गामा वितरण का दृढ़ विश्वास , Eq देखें। 2, एक गामा वितरण के अलावा कुछ और पैदावार देता है, अगर ऐसा है तो आपका मतलब क्या है।

— कार्ल

लेख में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि गामा का एक रैखिक संयोजन गामा नहीं है (एक ही अपवाद से अलग है जो मैंने पहले ही उल्लेख किया है) और जो कुछ भी कहा गया है उसके साथ पूरी तरह से सुसंगत है। मुझे यकीन नहीं है कि आप मुझसे क्या पूछ रहे हैं, लेकिन लेख मेरे दावे का समर्थन करता है कि आपका उत्तर कुछ ऐसा करने का दावा करता है जो ऐसा नहीं है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह नहीं पूछना, यह कहना कि योग क्या है। मैंने "कुछ" कहने का उत्तर संशोधित किया। यदि यह पर्याप्त नहीं है, तो मैं मदद करने के अपने विनम्र प्रयास को हटा दूंगा। और मैं पूछ रहा हूं, "बहुत अच्छा है, या नहीं?"

— कार्ल

यह अब उत्तर के लिए प्रकाश पक्ष पर एक सा है। आप अपनी टिप्पणी में से कुछ जानकारी को उत्तर में ले जाना चाहते हैं (कागजों में जो जानकारी थी और उससे जुड़ी जानकारी थी, कम से कम, हालांकि मैं एक उचित संदर्भ शामिल

— करूंगा

Answer 2

यह सर्वविदित है कि 2 यादृच्छिक सामान्य चर का एक रैखिक संयोजन भी एक यादृच्छिक सामान्य चर है। क्या कोई सामान्य गैर-सामान्य वितरण परिवार (जैसे, वेइबुल) हैं जो इस संपत्ति को भी साझा करते हैं?

मुझे लगता है कि आप लेवी-स्थिर वितरण के वर्ग की तलाश कर रहे हैं । यह वर्ग है$\mathscr{P}$ सभी वितरण के $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ कि स्थिरता संपत्ति को संतुष्ट:

$$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$$

दूसरे शब्दों में, इस वर्ग में हर वितरण के लिए, यदि आप उस वितरण के साथ दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक रेखीय कार्य करते हैं, तो इस वितरण के साथ एक ही यादृच्छिक चर के एक समारोह के रूप में समान वितरण होता है। (ध्यान दें कि सेटिंग द्वारा इस स्थिरता की आवश्यकता को कड़ा किया जा सकता है$d=0$, जो कड़ाई से स्थिर वितरण का उपवर्ग देता है ।)

लेवी-स्थिर वितरण को अपने आप में वितरण का एक परिवार माना जा सकता है, और इस अर्थ में यह इस स्थिरता संपत्ति के साथ वितरण का एकमात्र परिवार है, क्योंकि (परिभाषा के अनुसार) इस संपत्ति के साथ सभी वितरण शामिल हैं। सामान्य वितरण लेवी-स्थिर वितरण के वर्ग के भीतर आता है, जैसा कि कौची वितरण , लैंडौ वितरण और होलमार्क वितरण है ।