संभाव्यता में अभिसरण के संबंध में

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चलो यादृच्छिक परिवर्तनीय सेंट का एक अनुक्रम होना संभावना है, जहां में एक निश्चित स्थिर है। मैं निम्नलिखित दिखाने की कोशिश कर रहा हूँ: और दोनों को प्रायिकता में। मैं यह देखने के लिए यहाँ हूँ कि क्या मेरा तर्क ध्वनि था। यहाँ मेरा काम है $\{X_n\}_{n\geq 1}$ $X_n \to a$ $a>0$

\sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a}

$\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}$

\frac{a}{X_{n}} \to 1

$\frac{a}{X_n}\to 1$

प्रयास

पहले भाग के लिए, हमारे पास ध्यान दें कि इसके बाद यह होता है कि
$| \sqrt{{एक्स}_{n}} - \sqrt{ए} | < ε ⟸ | {एक्स}_{n} - ए | < ε | \sqrt{{एक्स}_{n}} + \sqrt{ए} | = ε | (\sqrt{{एक्स}_{n}} - रों क्ष आर टी ए) + 2 \sqrt{ए} |$ $|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}|$ $\leq ε | \sqrt{{एक्स}_{n}} - \sqrt{ए} | + 2 ε \sqrt{ए} < ε^{2} + 2 ε \sqrt{ए}$ $\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}$ $ε^{2} + 2 ε \sqrt{ए} > ε \sqrt{ए}$ $\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}$ $P (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \leq ϵ) \geq P (| X_{n} - a | \leq ϵ \sqrt{a}) \to 1 a s n \to \infty$ $P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty$ $⟹ \sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a} i n p r o b a b i l i t y$ $\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability$
दूसरे भाग के लिए, हमारे पास अब, रूप में , हमारे पास है कि एक बाउंड अनुक्रम है। दूसरे शब्दों में, एक वास्तविक संख्या st । इस प्रकार इसे प्रायिकता में देखते हुए, हमारे पास
$| \frac{a}{X_{n}} - 1 | = | \frac{X_{n} - a}{X_{n}} | < ϵ ⟸ | X_{n} - a | < ϵ | X_{n} |$ $|\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|$ $X_n \to a$ $n \to \infty$ $X_n$ $M<\infty$ $|X_n|\leq M$ $| X_{n} - a | < ϵ | X_{n} | ⟸ | X_{n} - a | < ϵ म$ $|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon M$ $P (| \frac{a}{X_{n}} - 1 | > ϵ) = P (| X_{n} - ए | > ε | {एक्स}_{n} |) \leq पी (| {एक्स}_{n} - ए | > ε म) \to 0 ए रों n \to \infty$ $P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to 0 \;\;as\;n\to\infty$

मैं पहले एक में बहुत आश्वस्त हूं, लेकिन दूसरे पर बहुत ज्यादा खुश हूं। क्या मेरा तर्क ध्वनि था?

— सैवेज हेनरी
स्रोत

6

अनुक्रम पर विचार करें जहां और । मुझे ऐसा लगता है कि जब से converges इस क्रम को संभावना है, लेकिन स्पष्ट रूप से यह असीम है, क्योंकि ।

X_{n}

$X_n$

Pr (X_{n} = a) = 1 - 1 / n

$\Pr(X_n=a)=1-1/n$

Pr (X_{n} = n) = 1 / n

$\Pr(X_n=n)=1/n$

1 - 1 / n \to 1

$1-1/n\to 1$

a

$a$

sup (X_{n}) = max (a, n) \to \infty

$\sup(X_n)=\max(a,n)\to\infty$

— whuber

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निरंतर मानचित्रण प्रमेय?

— क्रिस्टोफ़ हनक

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प्रमाणों का विवरण उपयुक्त अंतर्ज्ञान और तकनीकों को विकसित करने से कम मायने रखता है। यह उत्तर ऐसा करने के लिए डिज़ाइन किए गए दृष्टिकोण पर केंद्रित है। इसमें तीन चरण होते हैं: एक "सेटअप" जिसमें धारणा और परिभाषाएं पेश की जाती हैं; "निकाय" (या "महत्वपूर्ण कदम") जिसमें मान्यताओं को किसी तरह से सिद्ध किया जाना है, और "संप्रदाय" जिसमें प्रमाण पूरा हो गया है। जैसा कि प्रायिकता प्रमाणों के साथ कई मामलों में होता है, यहां महत्वपूर्ण कदम स्वयं अधिक जटिल यादृच्छिक चर से निपटने के बजाय संख्याओं (यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों) के साथ काम करने का मामला है ।

कन्वर्जेंस संभावना में यादृच्छिक चर का एक दृश्य के एक निरंतर करने के लिए का मतलब है कि कोई फर्क नहीं पड़ता है कि किस पड़ोस आप चुनते हैं, अंत में प्रत्येक इस पड़ोस में एक संभावना है कि मनमाने ढंग से बंद करने के साथ झूठ । (मैं यह नहीं बताऊंगा कि औपचारिक गणित में "अंततः" और "मनमाने ढंग से बंद" का अनुवाद कैसे किया जाए - इस पोस्ट में दिलचस्पी रखने वाला कोई भी व्यक्ति पहले से ही जानता है।) $Y_n$ $a$ $0$ $Y_n-a$ $1$

याद रखें कि का एक पड़ोस वास्तविक संख्याओं का एक सेट है जिसमें एक खुला सेट है जिसमें एक सदस्य है। $0$ $0$

सेटअप नियमित है। अनुक्रम पर विचार करें और let का कोई भी पड़ोस हो । उद्देश्य को दिखाने के लिए है कि अंततः है में झूठ बोल के एक मनमाने ढंग से उच्च मौका होगा । चूंकि एक पड़ोस है, इसलिए एक होना चाहिए जिसके लिए खुला अंतराल । हम हटना सकता है आवश्यक हो तो सुनिश्चित करने के लिए , भी। यह आश्वस्त करेगा कि बाद के जोड़तोड़ वैध और उपयोगी हैं। $Y_n = a/X_n$ $\mathcal{O}$ $0$ $Y_n-1$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{O}$ $\epsilon \gt 0$ $(-\epsilon, \epsilon)\subset \mathcal{O}$ $\epsilon$ $\epsilon \lt 1$

महत्वपूर्ण कदम कनेक्ट करने के लिए किया जाएगा साथ । इसके लिए रैंडम वैरिएबल का ज्ञान नहीं होना चाहिए। संख्यात्मक असमानताओं का बीजगणित (धारणा शोषण ) हमें बताता है कि संख्याओं का समूह , के लिए किसी भी , है सभी के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में जिसके लिए $Y_n$ $X_n$ $a\gt 0$ $\{Y_n(\omega)\,|\, Y_n(\omega) - 1 \in (-\epsilon, \epsilon)\}$ $\epsilon \gt 0$ $X_n(\omega)$

\frac{ए}{1 + ε} < {एक्स}_{n} (ω) < \frac{ए}{1 - ε} ।

$\frac{a}{1+\epsilon} \lt X_n(\omega) \lt \frac{a}{1-\epsilon}.$

तुल्य,

{एक्स}_{n} (ω) - ए \in (- \frac{ए ε}{1 + ε}, \frac{ए ε}{1 - ε}) = यू ।

$X_n(\omega)-a \in \left(-\frac{a\epsilon}{1+\epsilon}, \frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right) = \mathcal{U}.$

बाद से , दाहिने हाथ की ओर वास्तव में पड़ोस है । (यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि क्या टूट जाता है जब ) $a\ne 0$ $\mathcal{U}$ $0$ $a=0$

हम संप्रदाय के लिए तैयार हैं।

चूँकि प्रायिकता में, हम जानते हैं कि अंततः प्रत्येक मनमाने ढंग से उच्च संभाव्यता के साथ होगा । समान रूप से, अंततः साथ मनमाने ढंग से उच्च प्रायिकता, QED में निहित होगा । $X_n \to a$ $X_n-a$ $\mathcal{U}$ $Y_n-1$ $(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathcal{O}$

— व्हीबर
स्रोत

मैं इस तरह के सबसे अच्छे उत्तर के लिए माफी मांगता हूं। यह एक व्यस्त सप्ताह रहा। इसके लिए बहुत बहुत धन्यवाद !!!

— सैवेज हेनरी

5

हमें वह दिया जाता है

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (| {एक्स}_{n} - α | > ε) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P(|X_n-\alpha| > \epsilon) = 0$

और हम यह दिखाना चाहते हैं

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (| \frac{α}{{एक्स}_{n}} - 1 | > ε) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| > \epsilon\right) = 0$

हमारे पास वह है

| \frac{α}{{एक्स}_{n}} - 1 | = | \frac{1}{{एक्स}_{n}} (α - {एक्स}_{n}) | = | \frac{1}{{एक्स}_{n}} | | {एक्स}_{n} - α |

$\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| = \left|\frac {1}{X_n}(\alpha-X_n)\right| = \left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right|$

तो समकक्षता, हम संभावना सीमा की जांच कर रहे हैं

lim_{n \to \infty} P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = ? 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) = \;?\;0$

हम संभावना को दो परस्पर अनन्य संयुक्त संभावनाओं में तोड़ सकते हैं

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) + P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) =\\ P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) + P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right)$

पहले तत्व के लिए हमारे पास असमानताओं की श्रृंखला है

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) \leq P [| X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1] \leq P [| X_{n} - α | > ϵ]

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \big] \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon \big]$

पहली असमानता इस तथ्य से आती है कि हम उस क्षेत्र पर विचार कर रहे हैं जहाँएकता से अधिक है और इसलिए इसका पारस्परिक एकता से छोटा है। दूसरी असमानता क्योंकि घटनाओं के एक समूह की संयुक्त संभावना इन घटनाओं के सबसेट की संभावना से अधिक नहीं हो सकती है। सबसे दाहिने शब्द की सीमा शून्य है (यह आधार है), इसलिए बाईं ओर के शब्द की सीमा भी शून्य है। तो संभावना का पहला तत्व जो हमारे हितों को शून्य करता है। $|X_n|$

दूसरे तत्व के लिए हमारे पास है

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1) = P (| X_{n} - α | > ϵ | X_{n} |, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right) = P\left(\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon|X_n|,|X_n| < 1 \right)$

परिभाषित करें:। यहाँ सेबाध्य है, यह निम्नानुसार है कि को छोटे या बड़े रूप से बनाया जा सकता है, और इसलिए यह epsonon के बराबर है । इसलिए हमारे पास असमानता है $\delta \equiv \epsilon\cdot \max |X_n|$ $|X_n|$ $\delta$ $\epsilon$

P [| X_{n} - α | > δ, | X_{n} | < 1] \leq P [| X_{n} - α | > δ]

फिर, दाईं ओर की सीमा हमारे आधार से शून्य है, इसलिए बाईं ओर की सीमा भी शून्य है। इसलिए संभावना का दूसरा तत्व जो हमें रुचता है वह भी शून्य है। QED।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

5

पहले भाग के लिए, , और ध्यान दें कि इसलिए, किसी भी , को परिभाषित करते हुए , हमारे पास जब , जो उस । $x,a,\epsilon>0$

\begin{aligned} | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ & \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq \frac{ϵ \sqrt{a}}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \\ \Rightarrow | (\sqrt{x} - \sqrt{a}) (\sqrt{x} + \sqrt{a}) | \geq ϵ \sqrt{a} \Rightarrow | x - a | \geq ϵ \sqrt{a} . \end{aligned}

$\begin{align} |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon &\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\frac{\epsilon\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \\ &\Rightarrow |(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})|\geq\epsilon\sqrt{a}\Rightarrow |x-a|\geq\epsilon\sqrt{a}. \end{align}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

δ = ϵ \sqrt{a}

$\delta=\epsilon\sqrt{a}$

Pr (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \geq ε) \leq पीआर (| {एक्स}_{n} - ए | \geq δ) \to 0,

$\Pr(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\geq\epsilon)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\sqrt{X_{n}} \overset{Pr}{\to} \sqrt{a}

$\sqrt{X_n}\stackrel{\Pr}\to\sqrt{a}$

दूसरे भाग के लिए, फिर से , और Hubber के उत्तर से धोखा दें (यह महत्वपूर्ण कदम है;;) को परिभाषित करने के लिए अब, यिद इस बयान के है $x,a,\epsilon>0$

δ = मिनट {\frac{ए ε}{1 + ε}, \frac{ए ε}{1 - ε}} ।

$\delta = \min\left\{ \frac{a\epsilon}{1+\epsilon},\frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right\}.$

\begin{aligned} | एक्स - ए | < δ & \Rightarrow ए - δ < एक्स < ए + δ \Rightarrow ए - \frac{ए ε}{1 + ε} < एक्स < ए + \frac{ए ε}{1 - ε} \\ \Rightarrow \frac{ए}{1 + ε} < एक्स < \frac{ए}{1 - ε} \Rightarrow 1 - ε < \frac{ए}{एक्स} < 1 + ε \Rightarrow | \frac{ए}{एक्स} - 1 | < ε । \end{aligned}

$\begin{align} |x-a|<\delta &\Rightarrow a-\delta<x<a+\delta \Rightarrow a - \frac{a\epsilon}{1+\epsilon} < x < a + \frac{a\epsilon}{1-\epsilon} \\ &\Rightarrow \frac{a}{1+\epsilon} < x < \frac{a}{1-\epsilon} \Rightarrow 1-\epsilon<\frac{a}{x}<1+\epsilon \Rightarrow \left| \frac{a}{x}-1\right|<\epsilon. \end{align}$

| \frac{ए}{एक्स} - 1 | \geq ε \Rightarrow | एक्स - ए | \geq δ ।

$\left| \frac{a}{x}-1\right|\geq\epsilon \Rightarrow |x-a|\geq\delta.$

इसलिए, जब , उस ।

पीआर (| \frac{ए}{{एक्स}_{n}} - 1 | \geq ε) \leq पीआर (| {एक्स}_{n} - ए | \geq δ) \to 0,

$\Pr\!\left(\left|\frac{a}{X_n}-1\right|\geq\epsilon\right)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\frac{a}{X_{n}} \overset{Pr}{\to} 1

$\frac{a}{X_n}\stackrel{\Pr}\to 1$

नोट: दोनों आइटम एक अधिक सामान्य परिणाम के परिणाम हैं। सबसे पहले इस Lemma को याद रखें: यदि और केवल यदि किसी भी है, तो इसके बाद का ऐसा कि लगभग निश्चित रूप से जब । इसके अलावा, रियल विश्लेषण से याद है कि पर एक सीमा बिंदु निरंतर है के अगर और सिर्फ़ अगर हर दृश्य के लिए में यह मानती है कि का तात्पर्य । इसलिए, यदि $X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$ $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$ $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ $X_{n_{i_j}}\to X$ $j\to\infty$ $g:A\to\mathbb{R}$ $x$ $A$ $\{x_n\}$ $A$ $x_n\to x$ $g(x_n)\to g(x)$ $g$ निरंतर है और लगभग निश्चित रूप से है, तो और यह उस लगभग निश्चित रूप से अनुसरण करता है । इसके अलावा, और , अगर हम कोई चुनते हैं, तो का उपयोग करते हुए, एक ऐसा है कि लगभग निश्चित रूप से जब । लेकिन फिर, जैसा कि हमने देखा है, यह उस लगभग निश्चित रूप से आता है जब $X_n\to X$

पीआर (\underset{n \to \infty}{लिम} जी ({एक्स}_{n}) = जी (एक्स)) \geq पीआर (\underset{एक्स \to \infty}{लिम} {एक्स}_{n} = एक्स) = 1,

$\Pr\!\left(\lim_{n\to\infty}g(X_n)=g(X)\right)\geq\Pr\!\left(\lim_{x\to\infty}X_n=X\right)=1,$

g (X_{n}) \to g (X)

$g(X_n)\to g(X)$

g

$g$

X_{n} \overset{Pr}{\to} X

$X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

{n_{i_{j}}} \subset {n_{i}}

$\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$

X_{n_{i_{j}}} \to X

$X_{n_{i_j}}\to X$

j \to \infty

$j\to\infty$

g (X_{n_{i_{j}}}) \to g (X)

$g(X_{n_{i_j}})\to g(X)$

j \to \infty

$j\to\infty$ । चूँकि यह तर्क प्रत्येक उत्तरवर्ती , दूसरी दिशा में लेम्मा का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि । इसलिए, अपने प्रश्न का उत्तर देने के लिए आप निरंतर कार्यों और , लिए परिभाषित कर सकते हैं और इस परिणाम को लागू कर सकते हैं।

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

g (X_{n}) \overset{Pr}{\to} g (X)

$g(X_n)\stackrel{\Pr}{\to}g(X)$

g (x) = \sqrt{x}

$g(x)=\sqrt{x}$

h (x) = a / x

$h(x)=a/x$

x > 0

$x>0$

— जेन
स्रोत

ज़ेन आपको जवाब देने के लिए धन्यवाद। यह बहुत स्पष्ट था!

— सैवेज हेनरी