रूपांतरित चर के घनत्व के लिए सहज व्याख्या?

मान लीजिए कि pdf साथ एक यादृच्छिक चर है । फिर यादृच्छिक चर में पीडीएफ है $X$ $f_X(x)$ $Y=X^2$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

मैं इसके पीछे कैलकुलस को समझता हूं। लेकिन मैं किसी ऐसे व्यक्ति के बारे में बताने का तरीका सोचने की कोशिश कर रहा हूं जिसे पथरी की जानकारी नहीं है। विशेष रूप से, मैं यह समझाने की कोशिश कर रहा हूं कि कारक सामने प्रकट होता है। मैं इस पर एक छुरा लूंगा: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

मान लीजिए कि का गौसियन वितरण है। इसके पीडीएफ़ का लगभग सभी भार मान और के मानों के बीच है, लेकिन यह लिए 0 से 9 तक मैप करता है । तो, लिए पीडीएफ में भारी वजन को में परिवर्तन में मूल्यों की एक विस्तृत श्रृंखला में बढ़ाया गया है । इस प्रकार, एक सच्चे पीडीएफ होने के लिए अतिरिक्त भारी वजन को गुणक कारक द्वारा घटाया जाना चाहिए। $X$ $-3$ $3.$ $Y$ $X$ $Y$ $f_Y(y)$ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

वह कैसा लगता है?

अगर कोई भी किसी दस्तावेज़ या पाठ्यपुस्तक में अपने स्वयं के या लिंक के बेहतर विवरण प्रदान कर सकता है तो मैं इसकी बहुत सराहना करूँगा। मुझे यह परिवर्तनशील उदाहरण कई इंट्रो गणितीय संभावना / सांख्यिकी पुस्तकों में मिलता है। लेकिन मुझे इसके साथ एक सहज व्याख्या नहीं मिली :(

random-variable pdf intuition

— lowndrul
स्रोत

मुझे लगता है कि आपका स्पष्टीकरण सही है।

— highBandWidth

स्पष्टीकरण सही है, लेकिन यह विशुद्ध रूप से गुणात्मक है: गुणक कारक का सटीक रूप अभी भी एक रहस्य है। -1/2 शक्ति बस जादुई रूप से प्रकट होती है। इस प्रकार, किसी स्तर पर, आपको वही काम करना होगा जो पथरी करता है: स्क्वायर रूट फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का पता लगाएं।

— whuber

जवाबों:

PDF हाइट्स हैं, लेकिन वे क्षेत्र के माध्यम से प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। इसलिए यह एक पीडीएफ को इस तरह से व्यक्त करने में मदद करता है जो हमें याद दिलाता है कि क्षेत्र ऊंचाई के आधार के बराबर है।

प्रारंभ में किसी भी मान पर ऊँचाई PDF द्वारा दी जाती है । आधार इन्फिनिटिमल सेगमेंट , जहां वितरण का वितरण होता है (यानी, वितरण फ़ंक्शन के विपरीत संभावना माप ) वास्तव में अंतर रूप है, या "संभावना तत्व," $x$ $f_X(x)$ $dx$

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

यह पीडीएफ के बजाय, वह वस्तु है जिसे आप वैचारिक और व्यावहारिक रूप से दोनों के साथ काम करना चाहते हैं, क्योंकि इसमें स्पष्ट रूप से एक संभावना को व्यक्त करने के लिए आवश्यक सभी तत्व शामिल हैं ।

जब हम को संदर्भ में फिर से व्यक्त करते हैं , तो बेस सेगमेंट (या निचोड़ा हुआ) हो जाता है: से के अंतराल के दोनों सिरों को हम देखते हैं कि एरिया का बेस होना चाहिए लंबाई का अंतराल $x$ $y = x^2$ $dx$ $x$ $x + dx$ $y$

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

क्योंकि दो इनफ़िनिटिमल्स का उत्पाद नन्हे मुन्नों की तुलना में नगण्य है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

इसे स्थापित करने के बाद, गणना तुच्छ है क्योंकि हम सिर्फ नई ऊंचाई और नई चौड़ाई में प्लग करते हैं:

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

क्योंकि आधार, संदर्भ में , , जो कुछ भी गुणा करता है वह ऊंचाई होना चाहिए, जिसे हम सीधे मध्य अवधि के रूप में पढ़ सकते हैं $y$ $dy$

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

यह समीकरण प्रभावी रूप से क्षेत्र (= प्रायिकता) कानून का संरक्षण है। $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$

दो pdfs

यह ग्राफिक सटीक रूप से ) से संबंधित दो पीडीएफ के संकीर्ण (लगभग असीम) टुकड़ों को दिखाता है । संभावनाओं को छायांकित क्षेत्रों द्वारा दर्शाया जाता है। स्क्वेरिंग के माध्यम से अंतराल के निचोड़ के कारण , लाल क्षेत्र ( , बाईं ओर) की ऊंचाई नीले क्षेत्र ( , दाईं ओर) के क्षेत्र से मेल खाने के लिए आनुपातिक रूप से विस्तारित की जाती है । $y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— व्हीबर
स्रोत

मैं शिशुओं से प्यार करता हूँ। यह एक अद्भुत व्याख्या है। संदर्भ में सोचना , जिसे स्पष्ट रूप से परिवर्तन के व्युत्पन्न से उभरने के लिए देखा जा सकता है, संदर्भ में सोचने की तुलना में बहुत अधिक सहज है । मुझे लगता है कि जहां मेरा स्टिकिंग पॉइंट था।

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

— लोप्रेंडल

@ देखें, मेरा मानना है कि पहली पंक्ति होनी चाहिए ? क्या इसका मतलब है कि आप मतलब रखते हैं ? पुनश्च: मेरे उत्तर (नीचे) पर आपके विचारों के बारे में भी उत्सुक।

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

— कार्लोस Cinelli

@Carlos इस विचार को व्यक्त करने के लिए थोड़ा अधिक कठोर है जिस तरह से मैंने शुरुआत में किया था: पीडीएफ वह है जो आप दिए गए प्रायिकता उपाय को प्राप्त करने के लिए Lebesgue के माप को गुणा करते हैं।

d x

$\mathrm{d}x$

— whuber

@ देखें लेकिन यदि पीडीएफ आप जो गुणा करते हैं तो यह शब्द है , उत्पाद जैसा आपने लिखा है, है ना? यह स्पष्ट नहीं है कि आप उत्पाद को a pdf क्यों कहते हैं ।

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

— कार्लोस सिनेली

@ सार: शुक्रिया; अब मैं आपकी बात देखता हूं। मैंने इसे संबोधित करने के लिए कुछ संपादन किए।

— whuber

कैसे के बारे में, अगर मैं उन वस्तुओं का निर्माण करता हूं जो हमेशा चौकोर होते हैं और मुझे पता है कि वर्गों की लंबाई कितनी है ; मैं वर्गों के क्षेत्रों के वितरण के बारे में क्या कह सकता हूं?

विशेष रूप से, अगर मुझे एक यादृच्छिक चर का वितरण पता है, तो मैं बारे में क्या कह सकता हूं ? एक बात जो आप कह सकते हैं $X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

तो एक संबंध सीडीएफ और के सीडीएफ के बीच स्थापित है ; उनके PDF में क्या संबंध है? हमें इसके लिए पथरी चाहिए। दोनों पक्षों के व्युत्पन्न लेने से आपको वांछित परिणाम मिलते हैं। $Y$ $X$

— Schenectady
स्रोत

(+1) हालांकि यह पूर्ण उत्तर नहीं है, यह खोजने के बारे में जाने का एक अच्छा तरीका प्रस्तुत करता है और स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह दो टुकड़ों का योग क्यों है, प्रत्येक वर्गमूल के लिए एक।

f_{Y}

$f_Y$

— whuber

मुझे पीडीएफ (x) = f (x) dx क्यों नहीं मिलता है पीडीएफ़ (x) dx = f (x) के बारे में, density = prob mass/interval... क्या मैं गलत हो रहा हूँ?

— फर्नांडो

कल्पना कीजिए कि हमारी आबादी है और उस जनसंख्या का सारांश है। फिर उन व्यक्तियों के अनुपात को गिन रहा है, जिनकी रेंज में है । आप इसे आकार " " के "बिन" के रूप में मान सकते हैं और हम गिन रहे हैं कि कितने व्यक्ति उस बिन के अंदर हैं। $Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

अब हम उन व्यक्तियों को दूसरे चर के संदर्भ में फिर से व्यक्त करते हैं, । यह देखते हुए कि हम जानते हैं कि और से संबंधित हैं , ईवेंट ईवेंट जो कि घटना । इस प्रकार, जो व्यक्ति बिन उन्हें भी डिब्बे में होना चाहिए और । दूसरे शब्दों में, उन डिब्बे में व्यक्तियों का अनुपात समान होना चाहिए, $X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

ठीक है, अब घनत्व पर आते हैं। सबसे पहले, हमें यह परिभाषित करने की आवश्यकता है कि संभाव्यता घनत्व क्या है। जैसा कि नाम से पता चलता है, यह प्रति क्षेत्र व्यक्तियों का अनुपात है । यही है, हम उस बिन पर व्यक्तियों के हिस्से को गिनते हैं और बिन के आकार से विभाजित करते हैं । चूंकि हमने स्थापित किया है कि लोगों के अनुपात यहां समान हैं, लेकिन डिब्बे का आकार बदल गया है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि घनत्व अलग होगा। लेकिन कितना अलग है?

जैसा कि हमने कहा, संभाव्यता घनत्व, बिन के आकार से विभाजित लोगों के अनुपात में है, इस प्रकार का घनत्व द्वारा दिया गया है । तुलनात्मक रूप से, की प्रायिकता घनत्व द्वारा दिया जाता है । $Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

हमारे पिछले परिणाम से कि प्रत्येक बिन में जनसंख्या वही है जो हमारे पास है,

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

अर्थात्, घनत्व कारक द्वारा बदलता है , जो खींच के सापेक्ष आकार है या बिन आकार निचोड़। हमारे मामले में, बाद से हमारे पास । यदि काफी छोटा है, तो हम को अनदेखा कर सकते हैं , जिसका अर्थ है कि और , और यही कारण है कि कारक परिवर्तन में दिखाई देता है। $f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— कार्लोस सिनेली
स्रोत