एन सामान्य आईआईडी के उत्पाद का अनुमानित वितरण? विशेष मामला μ≈0

यह देखते हुए आईआईडी , और , की तलाश में: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

सटीक बंद फ़ॉर्म वितरण सन्निकटन $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
असममित ( घातांक ?) एक ही उत्पाद का सन्निकटन

यह अधिक सामान्य प्रश्न का एक विशेष केस है । $\mu_X \approx 0$

1. क्या आपके पास और बारे में कोई जानकारी है ? (यह अच्छा होगा यदि सभी , उदाहरण के लिए।) (2) एक एसिम्प्टोटिक सामान्य सन्निकटन भयानक होगा , क्योंकि एसिम्पोटली दूरस्थ रूप से सामान्य नहीं लगेगा।

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

मैंने बस इसके साथ एक त्वरित नाटक किया था। यदि आप रुचि रखते हैं, तो यादृच्छिक चर के उत्पाद के लिए एक सटीक बंद फॉर्म समाधान प्राप्त करना संभव है जो कि iid । गैर-शून्य मामला चीजों को और अधिक जटिल बनाता है।

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— वुल्फिज

@whuber (1) कुछ अलग-अलग और साथ कुछ मोंटे कार्लो करने के बाद , मैंने पाया कि वितरण लिए अच्छा व्यवहार करता है और | अब मैं और लिए एक अच्छी अभिव्यक्ति खोजना कि कैसे में कुछ अच्छे सन्निकटन हैं। मैंने टेलर विस्तार के माध्यम से कुछ सन्निकटन बनाए, लेकिन उन्होंने बुरी तरह से दुर्व्यवहार किया। (2) अच्छी तरह से, निश्चित रूप से "दिखता है" ची स्क्वायर के साथ सामान्य की राशि की तरह, इसलिए को सामान्य तक कम किया जा सकता है, अगर सन्निकटन "साबित" होता है।

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— आंद्रेई पॉज़ोलोटिन 18

जब , को डिस्ट्रीब्यूशन ( बैरी-एसेन प्रमेय के एक एप्लीकेशन के रूप में to शो) द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जाएगा ।

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

बैरी-एस्सेन के सीधे प्रत्यक्ष आवेदन से , जो वास्तव में अच्छा है, लेकिन यह कुछ संरचना खो देता है: को नकारात्मक होना चाहिए, पर निर्भर होना चाहिए , आदि शायद, इसे लागू करने के बेहतर तरीके हैं?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— आंद्रेई पॉज़ोलोटिन

शून्य-मीन मामले (भाग बी) में एक सटीक समाधान प्राप्त करना संभव है।

समस्या

Let को iid चर, प्रत्येक को सामान्य पीडीएफ साथ : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

हम की पीडीएफ की तलाश , के लिए $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

उपाय

दो ऐसे नॉर्म्स के उत्पाद की पीडीएफ बस है:

... जहाँ मैं उपयोग कर रहा हूँ TransformProductसे समारोह mathStatica के लिए पैकेज मेथेमेटिका । समर्थन का डोमेन है:

3, 4, 5 और 6 नॉर्म्स का उत्पाद पुनरावृत्तीय रूप से समान फ़ंक्शन (यहां चार बार) लागू करके प्राप्त किया जाता है:

... जहां मीजेर जी फ़ंक्शनMeijerG को दर्शाता है

प्रेरण द्वारा, iid के उत्पाद का pdf यादृच्छिक चर है: $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

त्वरित मोंटे कार्लो की जाँच करें

यहाँ एक त्वरित जाँच है:

सैद्धांतिक पीडीएफ सिर्फ प्राप्त (जब और ): लाल रंग का वक्र $n = 6$ $\sigma=3$
अनुभवजन्य मोंटे कार्लो पीडीएफ के लिए: squiggly BLUE वक्र

ठीक लग रहा है! [ब्लू स्क्विग्ली मोंटे वक्र सटीक लाल-धराशायी वक्र अस्पष्ट है]

— wolfies
स्रोत

उत्कृष्ट, धन्यवाद, कॉलिन। अब मैं देखता हूं कि मुझे आपकी पुस्तक क्यों खरीदनी चाहिए :-) मुझे यह भी आश्चर्य होता है कि क्या किसी भी सरल दिखता है। मेरे वुल्फराम कौशल को धूल चटाने का समय।

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— आंद्रेई पॉज़ोलोटिन