अगर

यहाँ एक समस्या है जो कुछ साल पहले हमारे विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर परीक्षा में आई थी जिसे हल करने के लिए मैं संघर्ष कर रहा हूं।

अगर $X_1,X_2$ स्वतंत्र हैं $\beta$ घनत्व के साथ यादृच्छिक चर $\beta(n_1,n_2)$ तथा $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ फिर क्रमशः वह दिखाएं $\sqrt{X_1X_2}$ इस प्रकार $\beta(2n_1,2n_2)$ ।

मैंने उस घनत्व को प्राप्त करने के लिए जैकबियन पद्धति का उपयोग किया $Y=\sqrt{X_1X_2}$ इस प्रकार है:

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

मैं वास्तव में इस बिंदु पर खो गया हूं। अब, मुख्य पत्र में, मैंने पाया कि एक संकेत की आपूर्ति की गई थी। मैंने संकेत का उपयोग करने की कोशिश की, लेकिन वांछित भाव नहीं प्राप्त कर सका। संकेत इस प्रकार है:

संकेत: के घनत्व के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न $Y=\sqrt{X_1X_2}$ दिए गए घनत्व के संदर्भ में $X_1$ तथा $X_2$ और परिवर्तनशील परिवर्तन का उपयोग करने का प्रयास करें $z=\dfrac{y^2}{x}$ ।

तो इस बिंदु पर, मैं परिवर्तन के इस बदलाव पर विचार करके इस संकेत का उपयोग करने का प्रयास करता हूं। इसलिए मैं मिलता हूं,

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$ जो सरलीकरण के बाद निकला (लेखन)

x

$x$ के लिये

z

$z$ )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

मैं वास्तव में नहीं जानता कि आगे कैसे बढ़ना है। मुझे भी यकीन नहीं है कि मैं ठीक से संकेत की व्याख्या कर रहा हूं। वैसे भी, यहाँ संकेत के बाकी है:

चर के परिवर्तन का उपयोग करके देखें $z=\dfrac{y^2}{x}$ औसत घनत्व को औसत से प्राप्त करने के लिए दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ अब एकीकरण की श्रेणी को विभाजित करें $(y^2,y)$ तथा $(y,1)$ और लिखा $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ और आगे बढ़ें $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ ।

खैर, ईमानदारी से, मैं नहीं समझ सकता कि कोई इन संकेतों का उपयोग कैसे कर सकता है: ऐसा लगता है कि मैं कहीं नहीं हूं। मदद की सराहना की है। अग्रिम में धन्यवाद।

— Landon Carter
स्रोत

मैंने एक ऐसी ही समस्या देखी है जिसके पहले मैंने कुछ संदर्भ संकलित किए थे। देखें arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/...

— सिड

@Sid क्षमा करें, लेकिन मुझे यह समस्या उन संदर्भों या कुछ समान में नहीं मिली। क्या आप कृपया स्थानों को इंगित कर सकते हैं? धन्यवाद!!

— लैंडन कार्टर

क्या आप वाकई जैकबियन पद्धति को सही तरीके से लागू करते हैं? अगर मैं यह करूँ, मुझे मिलता है:

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$ I think you are also going to need the doubling formula

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$ , see en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

— StijnDeVuyst

Apparently it seems that the formulae are the same. Maybe you have to use the change of variable

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$ in your formula to obtain mine. I am talking about the Jacobian.

— Landon Carter

I don't think they are the same. Doing the change of variable that you mention into my formula, I get something slightly simpler than what you have in the first integral of your OP.

— StijnDeVuyst

I would prove this in a different manner, using moment-generating functions. Or equivalently, by showing that the $q$ th moment of $\sqrt{X_1X_2}$ is equal to the $q$ th moment of a random variable $B$ with $\beta(2n_1,2n_2)$ distribution. If this is so for all $q=1,2,\ldots$ , then by the strength of the moment problem, the exercise is proven.

For the last part, we obtain from http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments that the $q$ th moment of $B$ is

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$ Now for the first part:

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Now all that remains is to apply the definition

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ and then the doubling formula

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$ . It then turns out that the first part and the second part are exactly the same.

— StijnDeVuyst
स्रोत

I do not think you can say that equality of moments implies equality of distribution. There are examples where this may not hold.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, sorry this is not an acceptable answer. I do have an example where the moments are equal but the distributions are not the same. The example is a bit complicated though. Regrettably I do not have the example with me now; it also came in one semester exam. But soon I will post the example in this thread if you are interested. Anyway I have worked the problem out myself. Thanks for your help.

— Landon Carter

@yedaynara and Stijn: A (the?) classical example is due to Heyde: Consider the pdfs

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$ where

f_{0}

$f_0$ is the pdf of the standard lognormal and

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$ . All members of this family of distributions have the same moments (of all orders). Note that the standard lognormal is a member of this family and its moments have a nice closed form.

— cardinal

There are, however, additional conditions (e.g., Carleman's) on the moments that will guarantee uniqueness of the distribution. This is known as the Hamburger moment problem.

— cardinal

Quote from web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "...It is elementary linear algebra to verify that a positive measure with finite support is uniquely determined by its moments..." That settles the Carleman condition for M-determinacy for the Beta distributions in the OP. @cardinal and yedaynara are both correct that I was too quick to assume this. But apparently the finite support is what saves the day.

— StijnDeVuyst