टी-टेस्ट की सामान्यता धारणा के बारे में प्रश्न

Question

टी-टेस्ट के लिए, अधिकांश ग्रंथों के अनुसार एक धारणा है कि जनसंख्या डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। मैं नहीं देखता कि ऐसा क्यों है। क्या केवल एक टी-टेस्ट की आवश्यकता नहीं है कि नमूना साधनों का नमूना वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, और जनसंख्या नहीं?

यदि यह मामला है कि टी-परीक्षण में केवल नमूना वितरण में सामान्यता की आवश्यकता होती है, तो जनसंख्या किसी भी वितरण की तरह दिख सकती है, है ना? जब तक एक उचित नमूना आकार है। क्या यह केंद्रीय सीमा प्रमेय नहीं है?

(मैं यहां एक-नमूने या स्वतंत्र नमूने टी-परीक्षणों की बात कर रहा हूं)

Comments

खैर, एक यादृच्छिक चर के रूप में नमूना का मतलब केवल सामान्य हो सकता है यदि एकल भाग भी सामान्य हो। लेकिन आप सही हैं: टी-टेस्ट एसिम्पोटिकली नॉनपैरेमेट्रिक (कोई सामान्य वितरण) नहीं है, लेकिन फिर भी समूह के भीतर (दो-नमूना स्थिति में) समान और मौजूदा होना चाहिए।

— माइकल एम

समूह-समूह भिन्नताओं के समान होने से, क्या आप प्रसरण की समरूपता की धारणा का उल्लेख कर रहे हैं? यदि हां, तो इसके लिए वेल्च का टी-टेस्ट सही है?

— पीटर नैश

हाँ बिल्कुल। यदि वेल्च की स्वतंत्रता की सही डिग्री अनन्तता पर जाती है, तो उसकी प्रक्रिया भी वितरण मुक्त होगी (हालांकि आवश्यक उद्धरण ...)।

— माइकल एम

Answer 1

टी-टेस्ट के लिए, अधिकांश ग्रंथों के अनुसार एक धारणा है कि जनसंख्या डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। मैं नहीं देखता कि ऐसा क्यों है। क्या केवल एक टी-टेस्ट की आवश्यकता नहीं है कि नमूना साधनों का नमूना वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, और जनसंख्या नहीं?

टी-स्टेटिस्टिक में दो मात्राओं का अनुपात होता है, दोनों यादृच्छिक चर। यह सिर्फ एक अंश से मिलकर नहीं है।

टी-स्टेटिस्टिक के लिए टी-डिस्ट्रीब्यूशन होने के लिए, आपको न केवल यह आवश्यक है कि सैंपल माध्य का सामान्य वितरण हो। तुम भी जरूरत है:

• कि हर में इस तरह के हो कि$s$$s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_d$ *

• कि अंश और हर स्वतंत्र होना चाहिए।

*(का मूल्य $d$ किस परीक्षण पर निर्भर करता है - एक-नमूने में $t$ हमारे पास है $d=n-1$)

वास्तव में सच होने के लिए उन तीन चीजों के लिए, आपको आवश्यक है कि मूल डेटा को सामान्य रूप से वितरित किया जाए।

यदि यह मामला है कि टी-परीक्षण में केवल नमूना वितरण में सामान्यता की आवश्यकता होती है, तो जनसंख्या किसी भी वितरण की तरह दिख सकती है, है ना?

आइए एक पल के लिए दिए गए आइड को अपनाएं। सीएलटी के लिए जनसंख्या को धारण करने के लिए शर्तों को पूरा करना होगा ... - जनसंख्या को एक वितरण करना होगा जिसके लिए सीएलटी लागू होता है। तो नहीं, चूंकि जनसंख्या वितरण हैं जिसके लिए सीएलटी लागू नहीं होता है।

जब तक एक उचित नमूना आकार है। क्या यह केंद्रीय सीमा प्रमेय नहीं है?

नहीं, CLT वास्तव में "उचित नमूना आकार" के बारे में एक शब्द नहीं कहता है।

यह वास्तव में किसी भी परिमित नमूने के आकार के बारे में कुछ नहीं कहता है।

मैं अभी एक विशिष्ट वितरण के बारे में सोच रहा हूं। यह एक है जिसमें सीएलटी निश्चित रूप से लागू होता है। लेकिन पर$n=10^{15}$नमूना माध्य का वितरण स्पष्ट रूप से गैर-सामान्य है। फिर भी मुझे संदेह है कि मानवता के इतिहास में किसी भी नमूने में कभी भी कई मूल्य हैं। इसलिए - तनातनी के बाहर - क्या उचित है$n$'मतलब?

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तो आपको जुड़वां समस्याएं हैं:

A. वह प्रभाव जो लोग आम तौर पर CLT को मानते हैं - नमूना के वितरण की सामान्यता के लिए तेजी से नज़दीकी दृष्टिकोण छोटे / मध्यम नमूना आकार पर - वास्तव में CLT ** में नहीं बताया गया है।

B. "अंक में सामान्य से कुछ दूर नहीं" एक टी-वितरण होने वाले आंकड़े प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं है

** (बेरी-एसेन प्रमेय जैसा कुछ आपको और अधिक पसंद आता है, जब लोग नमूना साधनों के वितरण पर बढ़ते नमूना आकार के प्रभाव को देखते हैं कि लोग क्या देख रहे हैं।)

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सीएलटी और स्लटस्की के प्रमेय मिलकर आपको (जब तक उनकी सभी धारणाएं हैं) प्रदान करते हैं $n\to\infty$टी-स्टेटिस्टिक दृष्टिकोण का वितरण सामान्य मानक। यह नहीं कहा गया है कि किसी भी परिमित दिया गया है$n$ किसी उद्देश्य के लिए पर्याप्त हो सकता है।

Comments

उन तीन चीजों के लिए [नमूना माध्य की सामान्यता, नमूना विचरण की ची-स्क्वरनेस, और दो की स्वतंत्रता] वास्तव में सच होने के लिए, आपको यह आवश्यक है कि मूल डेटा को सामान्य रूप से वितरित किया जाए। क्या आप कह रहे हैं कि केवल नॉर्मल में ही वे तीन गुण हैं? मैं इस कथन का खंडन नहीं कर रहा हूं कि यदि आप कह रहे हैं तो यह गलत है।

— एंड्रयू एम

@AndrewM निश्चित रूप से केवल सामान्य तीनों एक साथ हैं। पहले या तीसरे के अलावा अकेले सामान्य को पर्याप्त करने के लिए पर्याप्त हैं - तीसरा सामान्य ( लुकाक्स, 1942 ) की विशेषता है, और स्वतंत्र यादृच्छिक चर की परिमित संख्या के लिए, केवल सामान्य में पहला ( Cramér का दशांश प्रमेय ) है। यह बोधगम्य है कि दूसरा पाने का कोई और तरीका है, लेकिन मुझे एक के बारे में पता नहीं है।

— Glen_b -Reinstate Monica

@AndrewM दूसरे के संबंध में, अहसानुल्लाह (1987,1989) का काम प्रासंगिक हो सकता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

उन संदर्भों के लिए धन्यवाद @Glen_b! मुझे लुकास परिणाम के बारे में पता नहीं था, और क्रैमर के अपघटन प्रमेय के रूप में कहा गया था कि मेरे सिर के शीर्ष पर मेरे पास संस्करण की तुलना में अधिक मजबूत है ($X \sim$ सामान्य iff $AX \sim$ सामान्य, सभी मैट्रिसेस के लिए $A$)।

— एंड्रयू एम

@AndrewM अंतर यह है कि आपके द्वारा बोली गई परिणाम स्वतंत्रता पर भरोसा नहीं करता है, जबकि Cramer का परिणाम है। वे दोनों अपनी जगह पर उपयोगी हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका