संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) विशिष्ट रूप से वितरण को क्यों परिभाषित करता है?

मुझे हमेशा कहा गया है कि एक सीडीएफ अद्वितीय है, लेकिन एक पीडीएफ / पीएमएफ अद्वितीय नहीं है, ऐसा क्यों है? क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं जहां एक पीडीएफ / पीएमएफ अद्वितीय नहीं है?

— DKangeyan
स्रोत

[0, 1]

$[0,1]$

(0, 1)

$(0,1)$

Pr (j 2^{- i}) = 2^{1 - 2 i}

$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$

0 < j 2^{- i} < 1

$0\lt j2^{-i}\lt 1$

i \geq 1

$i\ge 1$

j

$j$

सभी वितरणों में एक पीडीएफ भी नहीं है, या एक पीएमएफ है, जबकि सीडीएफ को देखने से चीजों को एक एकीकृत दृष्टिकोण मिलता है। निरंतर चर में चिकनी दिखने वाली सीडीएफ होती है, असतत चर में "सीढ़ी" होती है, और कुछ सीडीएफ मिश्रित होते हैं।

— सिल्वर फिश

@Silverfish: ... और कुछ उपरोक्त में से कोई नहीं हैं ! :-)

— कार्डिनल

शीर्षक (शायद कुछ हद तक) को संबोधित करने के लिए, सीडीएफ एक वितरण को परिभाषित करता है क्योंकि सीडीएफ (या समकक्ष केवल डीएफ / 'वितरण समारोह'; "सी" केवल यह स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है कि हम जिस वस्तु के बारे में बात कर रहे हैं) वह शब्द क्या है? 'वितरण' का शाब्दिक अर्थ है; "डी" उस हिस्से पर सुराग है। यह "एफ" से अद्वितीय प्रकार है - फ़ंक्शन एकल-मूल्यवान हैं, इसलिए यदि दो वितरण फ़ंक्शन समान हैं जो वे परिभाषित करते हैं वे समान हैं; अगर DFs कहीं भी अलग हैं, तो वे जिस बिंदु पर हैं, वह उन बिंदुओं पर भिन्न होगा। क्या वह तनातनी है? मुझे लगता है ऐसा है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b यह केवल प्रशिक्षित अंतर्ज्ञान के लिए तात्विक है। एक वितरण समारोह

केवल प्रपत्र की संभावनाओं देता

F

$F$

जबकि पूरेवितरणफार्म की निर्दिष्ट संभावनाओं

F (x) = Pr {ω \in Ω | X (ω) \leq x}

$F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$

मनमाने ढंग से औसत दर्जे का सेट के लिए

। आपको

दिखानाहै जो वितरण को निर्धारित करता है। जैसा कि निकोलसबी बताते हैं, कि अर्ध-रिंग (आधे-खुले अंतरालों से),

से पूर्ण-लेबेसेजतक एक पूर्व-उपाय का विस्तार करने की बात है।सिग्मा-क्षेत्र और यह दिखा अद्वितीय है।

Pr ({ω \in Ω | X (ω) \in B}

$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$

B \subset R

$\mathcal{B}\subset\mathbb R$

F

$F$

μ ((a, b]) = F (b) - F (a)

$\mu((a,b])=F(b)-F(a)$

— whuber

जवाबों:

आइए हम कुछ बातों को याद करते हैं। चलो एक हो संभावना अंतरिक्ष , हमारे नमूना सेट है, हमारे है -algebra, और एक संभावना समारोह पर परिभाषित किया गया है । एक यादृच्छिक चर एक औसत दर्जे का समारोह है यानी के लिए किसी भी Lebesgue औसत दर्जे का सबसेट में $(\Omega,A,P)$ $\Omega$ $A$ $\sigma$ $P$ $A$ $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X^{-1}(S) \in A$ $\mathbb{R}$ । यदि आप इस अवधारणा से परिचित नहीं हैं, तो मैं जो कुछ भी कहूंगा, उसका कोई मतलब नहीं होगा।

किसी भी समय हम एक यादृच्छिक चर, है , यह एक संभावना उपाय लाती पर स्पष्ट pushforward द्वारा। दूसरे शब्दों में, । यह जाँचना तुच्छ है कि पर संभाव्यता माप है । हम फोन वितरण की । $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'(S) = P(X^{-1}(S))$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'$ $X$

अब इस अवधारणा से संबंधित है जिसे फ़ंक्शन चर का वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है । एक यादृच्छिक चर को देखते हुए हम परिभाषित । वितरण कार्य में निम्नलिखित गुण हैं: $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $F(x) = P(X\leq x)$ $F:\mathbb{R} \to [0,1]$

हैराइट निरंतर। $F$
गैर घट रहा है $F$
और । $F(\infty) = 1$ $F(-\infty)=0$

स्पष्ट रूप से यादृच्छिक चर जो समान हैं वितरण और वितरण फ़ंक्शन समान हैं।

प्रक्रिया को उलटने के लिए और दिए गए वितरण फ़ंक्शन के साथ एक उपाय प्राप्त करना बहुत ही तकनीकी है। हमें बताएं कि आपको एक वितरण फ़ंक्शन । परिभाषित करें । आपको यह दिखाना होगा कि ए के अंतराल के अर्ध-बीजगणित पर एक उपाय है । बाद में आप काराथोडियम विस्तार प्रमेय को लागू कर सकते हैं। पर एक संभाव्यता उपाय के लिए का विस्तार करने के लिए । $F(x)$ $\mu(a,b] = F(b) - F(a)$ $\mu$ $(a,b]$ $\mu$ $\mathbb{R}$

— निकोलस बोर्बाकी
स्रोत

यह एक उत्तर के लिए एक अच्छी शुरुआत है, लेकिन अनजाने में इस मामले को थोड़ा ध्यान से देखा जा सकता है। मुख्य मुद्दा यह दिखा रहा है कि समान वितरण समारोह के साथ दो उपाय, वास्तव में, समान हैं। यह और कुछ नहीं की आवश्यकता है Dynkin की तुलना में

प्रमेय और तथ्य यह है कि प्रपत्र के सेट

फार्म एक

-System कि बोरेल उत्पन्न करता है

। -Algebra फिर एक घनत्व के nonuniqueness (यह मानते हुए वह मौजूद है) कर सकते हैं! संबोधित किया और ऊपर के साथ विरोधाभास।

π

$\pi$

λ

$\lambda$

(- \infty, b]

$(-\infty, b]$

π

$\pi$

σ

$\sigma$

— कार्डिनल

(एक अतिरिक्त लघु वक्रोक्ति: रैंडम वेरिएबल्स को आमतौर पर लेब्सेग सेट के बजाय बोरेल सेट के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है।) मुझे लगता है कि कुछ मामूली संपादन के साथ यह उत्तर काफी स्पष्ट हो जाएगा। :-)

— कार्डिनल

@ कार्डिनल मैं विश्लेषण के बारे में सोचता हूं पहला, संभावना दूसरा। इसलिए, यह समझा सकता है कि मैं लेबेसेग सेट के बारे में क्यों सोचना पसंद करता हूं। किसी भी मामले में यह प्रभावित नहीं करता है कि क्या कहा गया था।

— निकोलस बोर्बाकी

एक ही अभिन्न (यानी एक ही वितरण समारोह है) के साथ दो घनत्व के उदाहरण के लिए अनुरोध का जवाब देने के लिए वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित इन कार्यों पर विचार करें:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

और फिर;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

वे सभी एक्स के बराबर नहीं हैं, लेकिन दोनों समान वितरण के लिए घनत्व हैं, इसलिए घनत्व (संचयी) वितरण द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं हैं। जब वास्तविक डोमेन के साथ घनत्व केवल x मानों के एक गणनीय सेट पर भिन्न होते हैं, तो इंटीग्रल समान होंगे। गणितीय विश्लेषण वास्तव में दिल के बेहोश या निश्चित रूप से ठोस मन के लिए नहीं है।

— DWin
स्रोत

मैं इस कथन से असहमत हूं, "संभावना वितरण फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से संभाव्यता माप निर्धारित नहीं करता है", जिसे आप अपने शुरुआती प्रश्न में कहते हैं। यह इसे विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है।

चलो दो संभावना जन कार्यों हो। हैं, तो किसी भी औसत दर्जे का सेट के लिए तो लगभग हर जगह। यह विशिष्ट रूप से पीडीएफ को निर्धारित करता है (क्योंकि विश्लेषण में हमें परवाह नहीं है कि क्या वे माप के सेट पर असहमत हैं)। $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

\int_{E} f_{1} = \int_{E} f_{2}

$\int_E f_1 = \int_E f_2$

E

$E$

f_{1} = f_{2}

$f_1=f_2$

हम ऊपर अभिन्न में, पुनर्लेखन कर सकते हैं कहाँ एक समाकलनीय कार्य है।

\int_{E} g = 0

$\int_E g = 0$

g = f_{1} - f_{2}

$g=f_1-f_2$

$E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$ $\int_E g = 0$ $g=0$ $E$ $f_1 = f_2$ $E$ $F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$ . We will get that $f_1 = f_2$ a.e on $F$ . Thus, $f_1 = f_2$ a.e. on $E\cup F = \mathbb{R}$ .

— Nicolas Bourbaki
स्रोत