दो स्वतंत्र वर्दी यादृच्छिक चर के एक उत्पाद का पीडीएफ

Question

चलो ~ और ~ दी वितरण के साथ दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हो। का वितरण क्या है ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

मैंने यह जानकर, समझाने की कोशिश की है

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

हम यह भी जानते हैं कि , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

कुछ मुझे बताता है, यहाँ कुछ अजीब है क्योंकि यह 0. पर बंद है कृपया मदद करें।

Comments

यदि यह एक होमवर्क प्रश्न है तो क्या आप स्व-अध्ययन टैग जोड़ सकते हैं? धन्यवाद!

— एंडी

यह एक समान आरवी नहीं हो सकता है?

— यार दून

यह वर्दी की तरह नहीं दिखता है। शायद लॉग के साथ कुछ? लेकिन मुझे नहीं पता कि यह कैसे लिखना है क्योंकि शून्य सीमा के बीच है, और फ़ंक्शन शून्य पर अपरिभाषित है।

— 18

Answer 1

एक ठीक, कठोर, सुरुचिपूर्ण जवाब पहले ही पोस्ट किया जा चुका है। इस का उद्देश्य एक ही परिणाम को एक तरह से प्राप्त करना है जो की अंतर्निहित संरचना का थोड़ा और खुलासा हो सकता है । यह दिखाता है कि संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) पर एकवचन क्यों होना चाहिए ।$XY$$0$

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घटक वितरण के रूपों पर ध्यान केंद्रित करके बहुत कुछ पूरा किया जा सकता है :

• $X$ , यादृच्छिक चर से दोगुना है । एक मानक, "अच्छा" है जो सभी समान वितरण की विशेषता है।$U(0,1)$$U(0,1)$

• $|Y|$ यादृच्छिक चर का दस गुना है ।$U(0,1)$

• का संकेत एक रेडीमैकर वितरण का अनुसरण करता है: यह या बराबर होता है , प्रत्येक संभावना साथ ।$Y$$-1$$1$$1/2$

(यह अंतिम चरण एक गैर-नकारात्मक चर को आसपास एक सममित वितरण में परिवर्तित करता है , जिसकी दोनों पूंछ मूल वितरण की तरह दिखती हैं।)$0$

इसलिए (a) बारे में सममित है और (b) इसका पूर्ण मान है जो दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का गुणनफल है ।$XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

अक्सर लॉगरिदम लेने से उत्पाद सरल हो जाते हैं। वास्तव में, यह सर्वविदित है कि चर के ऋणात्मक लॉग में एक घातांक वितरण होता है (क्योंकि यह यादृच्छिक घातीय चर उत्पन्न करने का सबसे सरल तरीका है), जिनमें से दो के उत्पाद के ऋणात्मक लॉग का है। दो घातांक के योग का वितरण। घातांक एक वितरण है। समान पैमाने के पैरामीटर के साथ गामा वितरण को जोड़ना आसान है: आप बस उनके आकार के मापदंडों को जोड़ते हैं। A प्लस a इसलिए एक वितरण है। इसके फलस्वरूप$U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

यादृच्छिक चर एक चर के ऋणात्मक के घातांक का गुना सममित संस्करण है ।$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

वितरण से के पीडीएफ के निर्माण को बाएं से दाएं दिखाया गया है, वर्दी से आगे बढ़ कर घातांक, , इसके नकारात्मक के घातांक तक , एक ही चीज को बढ़ाया गया , और अंत में उस का सममित संस्करण। इसकी पीडीएफ पर अनंत है , इस बात की पुष्टि वहाँ रुकती है।$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

हम यहाँ रुक सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह लक्षण वर्णन हमें वास्तविकताओं को उत्पन्न करने का एक तरीका देता है , जैसे कि इस अभिव्यक्ति में:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

थिसिस विश्लेषण से यह भी पता चलता है कि पीडीएफ पर क्यों फूटता है । $0$ यह विलक्षणता पहली बार तब सामने आई जब हमने एक वेरिएंट को एक दूसरे से भिन्न करने के लिए एक के समान एक) वितरण का घातांक (नकारात्मक) माना । मान (मान) के को कई तरीकों से उत्पन्न किया जाता है, जिसमें (लेकिन सीमित नहीं है) जब (क) कारकों में से एक या (b) से कम होता है, तो दोनों कारक से कम होते हैं । यह वर्गाकार रूट से बहुत बड़ा होता है जब करीब होता है$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$। यह लंबाई, अंतराल में निचोड़ा जाने के लिए, से अधिक राशि में, बहुत अधिक संभावना को बल देता है । यह संभव होने के लिए, उत्पाद का घनत्व पर मनमाने ढंग से बड़ा हो जाना है । इसके बाद के जोड़तोड़ - कारक और समरूपता के कारण - स्पष्ट रूप से उस विलक्षणता को समाप्त नहीं करेगा।$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

उत्तर का यह वर्णनात्मक लक्षण वर्णन भी फ़ार्मुलों को न्यूनतम उपद्रव के साथ सीधे ले जाता है, यह दिखा रहा है कि यह पूर्ण और कठोर है। उदाहरण के लिए, का pdf प्राप्त करने के लिए , एक वितरण के प्रायिकता तत्व के साथ शुरू करें ,$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Let अर्थ है और । यह परिवर्तन भी क्रम को उलट देता है: का बड़ा मान छोटे मानों तक ले जाता है । इस कारण से हमें प्रतिस्थापन, देने के बाद परिणाम को नकारना चाहिए$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

का पैमाना कारक इसे परिवर्तित करता है$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

अंत में, समभागीकरण की जगह द्वारा, इसके मूल्यों को से तक सीमित करने की अनुमति देता है , और कुल संभावना और समान रूप से कुल संभावना को फैलाने के लिए पीडीएफ को से विभाजित करता है :$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

Comments

इसे और अधिक "स्वीकार्य" बनाने की कोशिश करने के लिए धन्यवाद। मैं अभी भी इसे थोड़ा सा सहज महसूस कर रहा था, इसलिए मैंने अभी इसे क्रियान्वित किया (शीआन के "सिमुलेशन" के समान): plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )100 तक की लंबाई को क्रैंक करना, इस पर कलाकृतियों के लिए कुछ कलाकृतियों से बचा जाता है।

— बंधे हुए

Answer 2

अपने व्युत्पत्ति में, आप के घनत्व का उपयोग नहीं करते हैं । चूँकि , तो आपके कन्वेंशन फॉर्मूला में (मैंने संपूर्ण मान जोड़कर याकूब को सही किया)। इसलिये, $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ यहां परिणाम के अनुकरण द्वारा एक पुष्टि है:

के रूप में प्राप्त किया

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

Comments

धन्यवाद। मैं पूछना चाहता हूं कि सीमा -10 से 10 में बदलकर -10 से v / 2 क्यों हो गई?

— कॉग

क्या कहीं नकारात्मक होना चाहिए? धन्यवाद

— cgo

जवाब सही लग रहा है, अहंकार। नोट जब कि , है सकारात्मक क्योंकि । कथानक ग्राफ को दर्शाता है और स्पष्ट रूप से यह पूरे डोमेन में चित्रित सकारात्मक है। एक समतुल्य अभिव्यक्ति है , जिसे मैंने अपने उत्तर में उपयोग करने के लिए चुना है। लॉग ( 20 / | v | ) 20 / | वी | > 1 - लॉग ( | v | / 20 $-20\lt v \lt 20$$\log(20/|v|)$$20/|v|\gt 1$$-\log(|v|/20)$

— whuber