वितरण जो नकारात्मक द्विपद वितरित चर के बीच अंतर का वर्णन करता है?

Question

एक स्केलेम वितरण दो चर के बीच अंतर का वर्णन करता है जिसमें पॉइसन वितरण होता है । क्या एक समान वितरण है जो नकारात्मक द्विपद वितरण का अनुसरण करने वाले चर के बीच के अंतर का वर्णन करता है?

मेरे डेटा का उत्पादन एक पॉइसन प्रक्रिया द्वारा किया जाता है, लेकिन इसमें उचित मात्रा में शोर शामिल होता है, जिसके कारण वितरण में अधिकता होती है। इस प्रकार, डेटा को नकारात्मक द्विपद (एनबी) वितरण के साथ मॉडलिंग करना अच्छी तरह से काम करता है। अगर मैं इनमें से दो एनबी डेटा सेटों के बीच अंतर करना चाहता हूं, तो मेरे पास क्या विकल्प हैं? यदि यह मदद करता है, तो दो सेटों के लिए समान साधन और भिन्नता मान लें।

Comments

ऐसे कई वितरण हैं जो वर्णन करना आसान है जिनमें मानक नाम नहीं हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

मुझे इस वितरण का नाम नहीं पता, लेकिन आप इसे कुल संभावना के कानून से निकाल सकते हैं। मान लीजिए कि $X, Y$ प्रत्येक में क्रमशः मापदंडों $(r_{1}, p_{1})$ और साथ नकारात्मक द्विपद वितरण $(r_{2}, p_{2})$है। मैं पैरामीटर का उपयोग कर रहा हूं जहां क्रमशः आर 1 'वें, और आर 2 ' वें विफलताओं $X,Y$से पहले की सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर,$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

हम जानते है

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

तथा

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

इसलिए

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

यह सुंदर नहीं है (yikes!)। एकमात्र सरलीकरण जो मैं देख रहा हूं वह सही है

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

जो अभी भी बहुत बदसूरत है। मुझे यकीन नहीं है कि यह मददगार है, लेकिन यह भी फिर से लिखा जा सकता है

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

$p$

मैंने सिमुलेशन के साथ सत्यापित किया कि उपरोक्त गणना सही है। इस सामूहिक समारोह की गणना करने और कुछ सिमुलेशन करने के लिए यहां एक कच्चा आर फ़ंक्शन है

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

$r$$p_{1}, p_{2}$$1-p_{1}, 1-p_{2}$

Comments

धन्यवाद। मुझे इसे पचाने के लिए कुछ समय की आवश्यकता होगी, लेकिन आपकी मदद की बहुत सराहना की जाती है।

— चिरामिलर

Answer 2

हाँ। तिरछे सामान्यीकृत असतत लाप्लास वितरण दो नकारात्मक द्विपद वितरित यादृच्छिक चर का अंतर है। अधिक स्पष्टीकरण के लिए seetha Lekshmi.V द्वारा ऑनलाइन उपलब्ध लेख "तिरछा सामान्यीकृत असतत लाप्लास वितरण" देखें। और सिमी सेबस्टियन

Comments

क्या आप कागज में एक पूर्ण उद्धरण और जानकारी का सारांश प्रदान कर सकते हैं ताकि भविष्य के पाठक यह तय कर सकें कि क्या यह ऐसा कुछ है जिसे वे आगे बढ़ाना चाहते हैं?

— गंग - मोनिका

@ Simi-sebastian (लेखक?) द्वारा उल्लिखित लेख ijmsi.org/Papers/Volume.2.Issue.3/K0230950102.pdf है । हालाँकि, जब तक मैं गलत नहीं हूँ, यह केवल नकारात्मक द्विपद चर के मामले को संबोधित करता है$X$ तथा $Y$मूल पोस्टर द्वारा वर्णित अधिक सामान्य मामले के बजाय दोनों एक ही फैलाव पैरामीटर हैं।

— कॉन्स्टैंटिनो