घातीय वितरण के एमएल अनुमान (सेंसर डेटा के साथ)

उत्तरजीविता विश्लेषण में, आप एक आरवी के अस्तित्व के समय को तेजी से वितरित करने के लिए । अब ध्यान में रखते हुए कि मेरे पास rv के "परिणाम" हैं । इन परिणामों के केवल कुछ अनुपात वास्तव में "पूरी तरह से महसूस किए गए" हैं, अर्थात शेष अवलोकन अभी भी "जीवित" हैं। $X_i$ $x_1,\dots,x_n$ $X_i$

यदि मैं वितरण के दर पैरामीटर के लिए एक एमएल अनुमान प्रदर्शन करना चाहता था, तो मैं सुसंगत / उपयुक्त तरीके से गैर-एहसास टिप्पणियों का उपयोग कैसे कर सकता हूं? मेरा मानना है कि वे अभी भी अनुमान के लिए उपयोगी जानकारी रखते हैं। $\lambda$

क्या कोई मुझे इस विषय पर साहित्य के लिए मार्गदर्शन कर सकता है? मुझे यकीन है कि यह मौजूद है। हालाँकि मुझे इस विषय के लिए अच्छे कीवर्ड / खोज शब्द खोजने में परेशानी हो रही है।

— अच्छा लड़का माइक
स्रोत

तो आप कह रहे हैं कि यादृच्छिक चर जिनमें से आप का माप है, कहते हैं कि अवलोकन "अंतिम" जीवन-लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं (क्योंकि, संबंधित यादृच्छिक चर माप समय पर "मृत" थे), जबकि बाकी अवलोकन माप समय पर "अभी भी जीवित" थे कि यादृच्छिक चर की उत्तरजीविता लंबाई हैं? ( )

n

$n$

n_{1} < n

$n_1 < n$

n_{2} < n

$n_2 <n$

n_{1} + n_{2} = n

$n_1+n_2 = n$

— Alecos पापाडोपौलोस

यह एक काट-छाँट वाला मॉडल है, "जिंदा" यादृच्छिक चर जिस समय अवलोकन बंद हो जाता है।

— शीआन

काटे गए डेटा और संबंधित स्रोतों (जैसे यहां ) के लिए टोबिट मॉडल देखें ।

— रिचर्ड हार्डी

आपको लगता है कि जीवन भर, जैसे कि कुछ लोगों की मृत्यु हो गई, लेकिन सेंसर किए गए डेटा हैं, लेकिन कुछ अभी भी जीवित हैं, ऐसे तहर आप केवल जानते हैं, कहते हैं, कुछ ज्ञात स्थिर लिए ।

x_{i} > t_{i}

$x_i > t_i$

t_{i}

$t_i$

— kjetil b halvorsen

दो स्थितियों के बीच कभी-कभी सूक्ष्म अंतर से सावधान रहें। यह असामान्य नहीं है कि ट्रेंकुलेशन को सेंसर करने के लिए भ्रमित किया जाए, और इसके विपरीत।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

आप अभी भी सीधे संभावना का उपयोग करके मापदंडों का अनुमान लगा सकते हैं। टिप्पणियों को साथ घातांक वितरण के साथ दर और अज्ञात होने दें। घनत्व समारोह , संचयी वितरण फ़ंक्शन और पूंछ फ़ंक्शन । मान लें कि पहले अवलोकन पूरी तरह से देखे गए हैं, जबकि लिए हम केवल जानते हैं कि कुछ ज्ञात सकारात्मक स्थिरांक $x_1, \dots, x_n$ $\lambda>0$ $f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$ $F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$ $r$ $x_{r+1}, \dots, x_n$ $x_j > t_j$ $t_j$ । हमेशा की तरह, संभावना है "मनाया गया डेटा की संभावना", सेंसर किए गए अवलोकनों के लिए, जो द्वारा दिया गया है , इसलिए पूर्ण फ़ंक्शन loglikelihood फ़ंक्शन तब जिसका सामान्य रूप के लिए loglikelihood के समान रूप है, पूरी तरह से देखे गए मामले को छोड़कर, पहले शब्द से के स्थान पर । टिप्पणियों और सेंसरिंग के समय के लिए लेखन , अधिकतम संभावना अनुमानक बन जाता है $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

L (λ) = \prod_{i = 1}^{r} f (x_{i}; λ) \cdot \prod_{i = r + 1}^{n} G (t_{j}; λ)

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$

l (λ) = r \log λ - λ (x_{1} + \dots + x_{r} + t_{r + 1} + \dots + t_{n})

$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$

r \log λ

$r\log\lambda$

n \log λ

$n\log\lambda$

T

$T$

λ

$\lambda$

\hat{λ} = \frac{r}{n T}

$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ , जिसे आप स्वयं पूरी तरह से देखे गए मामले से तुलना कर सकते हैं।

 EDIT

टिप्पणियों में प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करने के लिए: यदि सभी टिप्पणियों को सेंसर किया गया था, अर्थात, हमने किसी भी घटना (मृत्यु) का अवलोकन करने के लिए लंबे समय तक इंतजार नहीं किया, तो हम क्या कर सकते हैं? उस स्थिति में, , इसलिए loglikelihood हो जाता है यानी, यह में घटता हुआ रैखिक है । तो अधिकतम लिए होना चाहिए ! लेकिन, शून्य दर पैरामीटर के लिए मान्य मान नहीं है के बाद से यह किसी भी घातीय वितरण के अनुरूप नहीं है। हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि इस मामले में अधिकतम संभावना अनुमानक मौजूद नहीं है! हो सकता है कि एक के लिए विश्वास अंतराल में किसी प्रकार का निर्माण करने के लिए कोशिश कर सकते $r=0$

l (λ) = - n T λ

$l(\lambda) = -nT \lambda$

λ

$\lambda$

λ = 0

$\lambda=0$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$ उस loglikelihood फ़ंक्शन के आधार पर? उसके लिए, नीचे देखें।

लेकिन, किसी भी मामले में, उस मामले में डेटा से वास्तविक निष्कर्ष यह है कि हमें कुछ घटनाओं तक इंतजार करना चाहिए ...

यहां बताया गया है कि हम सभी टिप्पणियों को सेंसर किए जाने के मामले में लिए एक (एक तरफा) विश्वास अंतराल का निर्माण कर सकते हैं । उस मामले में संभावना कार्य , जिसमें द्विपद प्रयोग से संभावना कार्य के समान रूप है जहां हमें सभी सफलताएं मिलीं, जो कि (देखें द्विपद अनुमान के आसपास आत्मविश्वास अंतर भी 0 या 1 )। उस स्थिति में हम फॉर्म के लिए एकतरफा विश्वास अंतराल चाहते हैं । फिर हम को हल करके लिए एक अंतराल प्राप्त करते हैं । $\lambda$ $e^{-\lambda n T}$ $p^n$ $p$ $[\underset{\bar{}}{p}, 1]$ $\lambda$ $\log p = -\lambda T$

हम को हल करके लिए विश्वास अंतराल प्राप्त करते हैं ताकि । यह अंत में : लिए विश्वास अंतराल देता है $p$

पी (एक्स = n) = {पी}^{n} \geq 0.95 (कहते हैं)

$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$

n \log p \geq \log 0.95

$n\log p \ge \log 0.95$

λ

$\lambda$

λ \leq \frac{- लॉग 0.95}{n टी} ।

$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$

— kjetil b halvorsen
स्रोत

प्रश्न और उत्तर को पढ़ते हुए मैंने सोचा "क्या होगा यदि सभी अवलोकन दूसरे प्रकार के हैं, जिसके लिए हम केवल जानते हैं कि , और कोई अवलोकन पूरी तरह से नहीं देखा गया था?" विस्तार के रूप में इस मामले को भी अपने उत्तर में शामिल करना वास्तव में उपयोगी होगा।

x_{j} > t_{j}

$x_j > t_j$

— एलेकोस पापाडोपोलस