फ़ंक्शन के आकार को बनाए रखते हुए किसी फ़ंक्शन को संभाव्यता घनत्व में कैसे बदल दिया जाए?

Question

मेरे पास कार्यों की एक श्रृंखला है, प्रत्येक एक माना जाता है जो एजेंटों के बीच एक यादृच्छिक चर के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक फ़ंक्शन में एक डोमेन भी होता है, जो बताता है कि यादृच्छिक चर के कौन से मूल्य मान्य हैं।

अब, अगर मुझे अपने आँकड़े कक्षाओं को सही ढंग से याद है, अगर मैं फ़ंक्शन के डोमेन द्वारा वर्णित मानों में से किसी एक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग लेता हूं, तो मुझे 1.0 का मान मिलना चाहिए। हालांकि ऐसा नहीं होता है।

क्या एक सामान्यीकरण तकनीक है जो किसी फ़ंक्शन को एक वास्तविक संभावना घनत्व में बदल सकती है, फिर भी फ़ंक्शन का आकार बनाए रखती है?

सभी कार्य फॉर्म , जहां यादृच्छिक चर है, और अलग-अलग स्थिरांक हैं।$\frac{a}{bx}+c$$x$$a,b,c$

Answer 1

आप एक गैर नकारात्मक समाकलनीय समारोह है, तो डोमेन के साथ ऐसी है कि$f$$D$

$$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$$

तब पर एक प्रायिकता घनत्व है । मान को सामान्यीकरण स्थिरांक के रूप में जाना जाता है ।$f(x)/k$$D$$k$

संपादित करें: आपने अपने उदाहरण में कहा कि ज्ञात स्थिरांक के लिए । उस मामले में, अनिश्चित अभिन्न गणना करने के लिए सरल है और स्थिर सामान्य होगा$f(x) = \frac{a}{bx} + c$$a,b,c$

$$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

यदि एक अंतराल है तो यह सरल हो जाता है$D$$(A,B)$

$$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$$ इसलिए एक संभावना घनत्व । $$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ $(A,B)$