संभावना समारोह की गणना कैसे करें

Question

3 इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के जीवनकाल हैं $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ तथा $X_{3} = 2.1$। पैरामीटर के साथ घातांक वितरण से THe यादृच्छिक चर को आकार 3 के यादृच्छिक नमूने के रूप में तैयार किया गया था$\theta$। संभावना समारोह, के लिए है$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$, कहाँ पे $x = (2, 1.5, 2.1)$।

और तब समस्या एमएलई के मूल्य का पता लगाने के लिए निर्धारित करती है $\theta$ वह अधिकतम हो जाता है $log f_{3}(x|\theta)$। मेरा सवाल है, मैं कैसे संभावना समारोह निर्धारित करते हैं? मैंने घातांक वितरण के पीडीएफ को देखा, लेकिन यह अलग है। तो क्या किसी समस्या में होने की संभावना हमेशा रहती है? या मुझे इसे स्वयं निर्धारित करना होगा? यदि हां, तो कैसे?

Comments

आप केवल 3 टिप्पणियों के साथ संभावना आकलन क्यों करना चाहते हैं? आप के लिए अनुमान प्राप्त करें$\theta$पक्षपाती होगा और इसमें भारी मात्रा में विचरण होगा। क्या यह एचडब्ल्यू है?

— ज़ाचरी ब्लुमेनफेल्ड

क्या आप जानते हैं कि संभावना की परिभाषा क्या है?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

एक नमूना की संभावना समारोह, यादृच्छिक चर के संयुक्त घनत्व है, लेकिन इन यादृच्छिक चर से वास्तविकताओं का एक विशिष्ट नमूना दिया अज्ञात मापदंडों के एक समारोह के रूप में देखा।

आपके मामले में, यह प्रतीत होता है कि इन इलेक्ट्रॉनिक घटकों का जीवनकाल प्रत्येक प्रकार का होता है (अर्थात इसका एक सीमान्त वितरण है), समान दर पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण$\theta$, और इसलिए सीमांत पीडीएफ है:

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

इसके अलावा, यह प्रतीत होता है कि प्रत्येक घटक का जीवन दूसरों के जीवन से पूरी तरह से स्वतंत्र है। ऐसे मामले में संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन तीन घनत्वों का उत्पाद है,

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

नमूना की संभावना समारोह में इसे चालू करने के लिए, हम इसे एक समारोह के रूप में देखते हैं $\theta$ का एक विशिष्ट नमूना दिया $x_i$'है।

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

जहां केवल बाएं हाथ की ओर बदल गया है, यह इंगित करने के लिए कि फ़ंक्शन के चर के रूप में क्या माना जाता है। आपके मामले में उपलब्ध नमूना तीन देखे गए जीवनकाल हैं$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$, इसलिए $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$। फिर संभावना है

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

दूसरे शब्दों में, आपके द्वारा दी गई संभावना में, उपलब्ध विशिष्ट नमूना पहले ही इसमें डाला जा चुका है। यह आमतौर पर नहीं किया जाता है, अर्थात हम सामान्य रूप से संभावना के सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व पर "रोकते हैं"$x_i$इसके बाद, हम इसके सम्मान के लिए इसके अधिकतमकरण की शर्तों को प्राप्त करते हैं $\theta$, और फिर हम अधिकतम अंकीयकरण स्थितियों में विशिष्ट संख्यात्मक नमूने का प्लग लगाते हैं $x$के लिए एक विशिष्ट अनुमान प्राप्त करने के क्रम में -values $\theta$।

हालांकि, इस तरह की संभावना को देखते हुए, इस तथ्य को और अधिक स्पष्ट कर सकता है कि अनुमान के लिए यहां क्या मायने रखता है (विशिष्ट वितरण धारणा के लिए), बोध का योग है, न कि उनके व्यक्तिगत मूल्य: उपरोक्त संभावना "नमूना" नहीं है - विशिष्ट "बल्कि" योग-बोध-विशिष्ट ": यदि हमें कोई अन्य दिया जाता है$n=3$ नमूना जिसके लिए उसके तत्वों का योग फिर से है $6.6$, हम इसके लिए एक ही अनुमान प्राप्त करेंगे $\theta$ (यह अनिवार्य रूप से ऐसा कहने का मतलब है $\sum x$ एक "पर्याप्त" आँकड़ा है जिसमें सभी जानकारी है कि नमूना विशिष्ट वितरण धारणा के तहत, अनुमान के लिए प्रदान कर सकता है)।