जब एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन होता है, तो कैसे ढूंढें ?

इसे कैसे हल किया जा सकता है? मुझे मध्यवर्ती समीकरणों की आवश्यकता है। शायद इसका जवाब । $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है।

यह कहना है, और $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

स्रोत: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

नीचे दिए गए मध्यवर्ती समीकरणों की कोशिश करना:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— हिरोकी माचिदा
स्रोत

क्या आपका मतलब है ? शायदया क्या आप ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— हेनरी

पथरी के मौलिक प्रमेय का उपयोग करें

— हेनरी

एक आदिम पर विचार करें की , तो व्युत्पन्न करने के लिए आसान है।

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— स्टीफन लॉरेंट

कृपया self-studyटैग जोड़ें और उसका टैग विकि पढ़ें ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यदि आप एक परीक्षा के लिए अध्ययन कर रहे हैं, तो आपको पूरा समाधान देने की बात नहीं है। सेल्फ-स्टडी प्रश्नों का उद्देश्य उस व्यक्ति को लाना है जो सवाल पूछने का प्रबंधन करता है ताकि समस्या का समाधान स्वयं किया जा सके।

— शीआन

जवाबों:

परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न ( यदि यह मौजूद है ) अंतर भागफल की सीमा है

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

के रूप में । $h\to 0$

मान लेना एक अंतराल के भीतर निरंतर है पर्याप्त रूप से छोटे , भी इस पूरे अंतराल में निरंतर रहेगा। फिर मीन मूल्य प्रमेय का दावा है कुछ के बीच और जिसके लिए $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

के रूप में , जरूरी , और की निरंतरता के पास तो निकलता है बाएं हाथ की ओर एक सीमा होती है के बराबर । $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(यह देखकर अच्छा लगा कि इस विश्लेषण के लिए मूल अनुचित अभिन्न के अस्तित्व के बारे में कोई तर्क की आवश्यकता नहीं है ।) $\int_t^\infty x f(x) dx$

हालाँकि, जब किसी वितरण में घनत्व , तब भी उस घनत्व को निरंतर नहीं रखना पड़ता है। असंतोष के बिंदुओं पर, अंतर भागफल में अलग-अलग बाएं और दाएं सीमाएं होंगी: व्युत्पन्न वहां मौजूद नहीं है। $f$

यह एक ऐसा मामला नहीं है जिसे कुछ रहस्यमय गणितीय "पैथोलॉजी" के रूप में खारिज किया जा सकता है जिसे चिकित्सक अनदेखा कर सकते हैं। कई सामान्य और उपयोगी वितरण के PDF में असंतोष के बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, यूनिफ़ॉर्म वितरण में और पर असंतोषजनक पीडीएफ है ; एक गामा वितरण में पर एक बंद पीडीएफ होता है जब (जिसमें सर्वव्यापी घातांक वितरण और कुछ वितरण शामिल होते हैं); और इसी तरह। इसलिए, यह सावधानीपूर्वक योग्यता के बिना जोर देने के लिए महत्वपूर्ण नहीं है, कि इसका जवाब केवल : यह एक गलती होगी। $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— व्हीबर
स्रोत

एक बहुत छोटा परिशिष्ट: ऐसे मामले हैं जहां अभिन्न अभिन्न है, भले ही निरंतर न हो। चलो के लिए और के लिए और के लिए । तब 0 के पास, के लिए और 0 के लिए , जिस पर पूरी तरह से विभेदक है ।

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— एलेक्स आर।

@ एलेक्स नियर , , 2/2 नहीं । पथरी के मौलिक सिद्धांत पर विचार करें।

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

गलतफहमी के लिए खेद है! मैं को परिभाषित करता हूं ।

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— एलेक्स आर।

@ एलेक्स आपका इंटीग्रेटेड निरंतर शून्य के पास है, इसलिए मैं यह देखने में विफल हूं कि आप किस तरह का उदाहरण पेश कर रहे हैं या क्या दिखाते हैं।

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

महान व्युत्पत्ति (+1) - यह कुछ भी नहीं हो सकता है कि यह परिणाम लिबनीज अभिन्न नियम का मामला है ।

— बेन -

हल किया...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

आप सभी को धन्यवाद!!!

— हिरोकी माचिदा
स्रोत

फ़ंक्शन क्या है ? क्यों का व्युत्पन्न 0 है?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— व्लादिस्लाव्स डोवलगेक्स