आर स्क्वेर की दिलचस्प व्युत्पत्ति

वर्षों पहले मुझे यह पहचान डेटा और परिवर्तनों के साथ प्रयोग के माध्यम से मिली। मेरे सांख्यिकी प्राध्यापक को यह समझाने के बाद वह वेक्टर और मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करते हुए एक पृष्ठ के प्रमाण के साथ अगली कक्षा में आए। दुर्भाग्य से मैंने वह कागज खो दिया जो उसने मुझे दिया था। (यह 2007 में वापस आ गया था)

क्या कोई भी एक सबूत को फिर से बनाने में सक्षम है?

चलो $(x_i,y_i)$ अपने मूल डेटा बिंदु बनें। कोण द्वारा मूल सेट को घुमाकर डेटा बिंदुओं के एक नए सेट को परिभाषित करें $\theta$ ; इन बिंदुओं को बुलाओ $(x'_i,y'_i)$ ।

बिंदुओं के मूल सेट का R चुकता मूल्य व्युत्पन्न के नकारात्मक उत्पाद के बराबर है $\theta$ बिंदुओं के नए सेट के प्रत्येक समन्वय के लिए मानक विचलन के प्राकृतिक लॉग, प्रत्येक का मूल्यांकन किया गया $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
स्रोत

व्युत्पत्ति प्रतीकात्मक हेरफेर का विशेष रूप से दिलचस्प अभ्यास नहीं है। जबसे,

\begin{aligned} {\frac{घ {एक्स}^{'}}{घ θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{घ y^{'}}{घ θ} |}_{θ = 0} & = एक्स, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$ तथा

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{घ {रों}_{{एक्स}^{'}}^{2}}{घ θ} |}_{θ = 0} = - 2 {रों}_{एक्स y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{घ {रों}_{y^{'}}^{2}}{घ θ} |}_{θ = 0} = 2 {रों}_{एक्स y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{घ}{घ θ} \ln ({रों}_{{एक्स}^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{{रों}_{एक्स y}}{{रों}_{एक्स}^{2}}, {\frac{घ}{घ θ} \ln ({रों}_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{{रों}_{एक्स y}}{{रों}_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ और परिणाम इस प्रकार है।

मैं यह जानने के लिए उत्सुक हूं कि आप इस तरह के समीकरण के साथ कैसे आए, खासकर किस विशेष प्रयोग से इस तरह की पहचान का पता चला।

— Khashaa
स्रोत

धन्यवाद! यह वास्तव में उनके प्रमाण की तुलना में बहुत सरल है जो मुझे याद है। पहचान के बारे में सिर्फ डेटा वर्षों के साथ खेलने से पहले आया था; किक्स के लिए मैं सिर्फ रोटेशन, मानक विचलन, व्युत्पन्न, लघुगणक, जोड़ना, गुणा करना आदि कर रहा हूं। मेरे पास मूल r ^ 2 एक क्षैतिज रेखा है, और थीटा के एक फ़ंक्शन के रूप में जो भी फ़ंक्शन बनाया गया है, उसे रेखांकन करें। कभी-कभी वे पार हो जाते हैं, लेकिन 'विषम' कोण पर; कभी-कभी पार नहीं हुआ। फिर किसी तरह उन्होंने थीटा = शून्य पर पार किया। सोचा कि दिलचस्प था। अन्य यादृच्छिक डेटा के साथ इसका परीक्षण किया और यह अभी भी आयोजित किया गया। मैंने नहीं देखा कि यह कैसे काम करता है, लेकिन साफ-सुथरी पहचान है।

— sheppa28