एक अंतरंग संभावना के साथ वास्तव में सरल मॉडल का एक उदाहरण क्या होगा?

Question

अनुमानित बायेसियन अभिकलन वास्तव में किसी भी स्टोकेस्टिक मॉडल को फिट करने के लिए एक बहुत ही अच्छी तकनीक है, जो उन मॉडलों के लिए अभिप्रेत है जहाँ संभावना संभव नहीं है (कहते हैं, यदि आप मापदंडों को ठीक करते हैं तो आप मॉडल से नमूना ले सकते हैं लेकिन आप नहीं कर सकते संख्यात्मक रूप से, एल्गोरिथम या विश्लेषणात्मक रूप से संभावना की गणना )। जब एक दर्शकों के लिए अनुमानित बायेसियन अभिकलन (एबीसी) को पेश किया जाता है तो कुछ उदाहरण मॉडल का उपयोग करना अच्छा होता है जो वास्तव में सरल है लेकिन अभी भी कुछ दिलचस्प है और जिसमें एक अंतरंग संभावना है।

वास्तव में सरल मॉडल का एक अच्छा उदाहरण क्या होगा जिसमें अभी भी एक अंतरंग संभावना है?

Comments

आपके मोज़े का उदाहरण वास्तव में सरल और ज्यादातर अट्रैक्टिव है ...

— शीआन

Ps: मोज़े उदाहरण लिंक ...

— शीआन

खैर, मैं उम्मीद कर रहा था कि मोजे अट्रैक्टिव होंगे, लेकिन आपने साबित कर दिया कि यह सही नहीं था? :)

— रासमस बैथ

यह अच्छा प्रश्न है! साहित्य में विभिन्न खिलौना उदाहरण हैं, लेकिन वे मुझे थोड़ा कृत्रिम महसूस करते हैं। यह वास्तव में एक सरल मॉडल है जो एक वास्तविक अनुप्रयोग से प्रेरित होता है, जिसमें एक अंतरंग संभावना होती है। मुझे लगता है कि डेविड कॉक्स को इन पंक्तियों के साथ कुछ याद आता है, लेकिन मैंने इसे प्रकाशित होते नहीं देखा ...

— डेनिस प्रैंक

Answer 1

साहित्य में बहुत उपयोग किए जाने वाले दो वितरण हैं:

• जी-और-के वितरण। यह इसके क्वांटाइल फ़ंक्शन (व्युत्क्रम cdf) द्वारा परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें एक अचूक घनत्व है। रेनेर और मैकगिलिव्रे (2002) इनमें से एक अच्छा अवलोकन है, और कई एबीसी पत्रों में से एक है जो इसे एक खिलौना उदाहरण के रूप में उपयोग करते हैं ड्रोवंडी और पेटिट (2011) है ।
• अल्फा स्थिर वितरण। ये उनके विशिष्ट कार्य द्वारा परिभाषित होते हैं, लेकिन कुछ विशेष मामलों को छोड़कर एक अचूक घनत्व होता है। यह वित्त में अनुप्रयोग है और अक्सर अनुक्रमिक एबीसी पत्रों में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए यिल्डिरिम एट अल (2013) ।

Comments

जी और कश्मीर वितरण एक बहुत अच्छा उदाहरण है, जहां quantile समारोह जबकि संभावना समारोह सब पर उपलब्ध नहीं है व्यक्त करने के लिए सरल है: $$Q(u;A,B,g,k)=A + B\left[1+c\dfrac{1-\exp\{-g\Phi(u)\}}{1+\exp\{-g\Phi(u)\}}\right]\{1+\Phi(u)^2\}^k\Phi(u)$$ $\alpha$

क्या कोई उन स्थितियों के उदाहरण जोड़ सकता है जो इन वितरणों के साथ मॉडल होंगी?

— अनुमान

Answer 2

$$x_1,\ldots,x_n\stackrel{\text{iid}}{\sim}\text{N}(\theta,\sigma^2)\,,$$ the reported data is (alas!) made of the two-dimensional summary $$S(x_1,\ldots,x_n)=(\text{med}(x_1,\ldots,x_n),\text{mad}(x_1,\ldots,x_n))\,,$$ which is not sufficient and which does not have a closed form joint density.

Comments

Just because the joint density is complicated to write down does not mean it does not have a closed form! "Intractable" is starting to seem like a matter of opinion in this thread. Perhaps you could clear that up by explaining what you mean by "intractable"?

— whuber

Since I do no of anyone who can compute this density, I call it intractable... Since I have no computer program that can produce the numerical value of this likelihood, I am forced to use an ABC algorithm.

— Xi'an

ABC does not compute the likelihood but uses simulations from the data to provide a sample of parameters that is an approximation of the true posterior. At the end of the day/computation, I am not the wiser about the likelihood function and I cannot produce a numerical value for $L(\theta|x_1,\ldots,x_n)$.

— Xi'an

@whuber If one could successfully compute the likelihood, the example would not be very suitable for demonstrating an algorithm for approximating posteriors without computing likelihood$\times$prior products.

— Juho Kokkala

@whuber I think your interpretation (2) in the comment beginning "What I am wondering" is at least essentially the intended one. However, I don't understand your last remark "unless your ABC algorithm is taking a long time to execute" - the point of the question is that the expensive likelihood evaluation will be avoided by using ABC instead.

— Juho Kokkala