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स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक प्रक्रिया है जो समय के साथ विकसित होती है, तो क्या यह वास्तव में "टाइम सीरीज़" कहने का एक कट्टर तरीका है?

time-series stochastic-processes definition

— विजेता
स्रोत

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एक समय श्रृंखला असतत समय अवलोकन समर्थन के साथ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। निरंतर समय में एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया देखी जा सकती है। (यह भी हो सकता है कि श्रृंखला अधिक यादृच्छिक वस्तु के साथ टिप्पणियों और स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं से संबंधित हो।)

— शीआन

"सीरीज़" "प्रक्रिया" के संभावित निरंतर प्रकृति के विपरीत प्रकृति को असतत या परिमित करती है।

— अक्कल

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एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया समय के साथ विकसित होने की आवश्यकता नहीं है ; यह स्थिर हो सकता है। मेरे दिमाग में, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया और समय श्रृंखला के बीच का अंतर एक दृष्टिकोण है। एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का एक संग्रह है जबकि एक समय श्रृंखला संख्याओं का संग्रह है, या एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का एक एहसास या नमूना पथ है। प्रक्रिया के बारे में अतिरिक्त मान्यताओं के साथ, हम समय श्रृंखला के मानों के हिस्टोग्राम का उपयोग करना चाह सकते हैं, जिसमें प्रक्रिया सहित सभी यादृच्छिक चर के सामान्य घनत्व (या बड़े पैमाने पर कार्य) का अनुमान है

— दिलीप सरवटे

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@DilipSarwate, टाइम सीरीज़ स्थिर हो सकती है या नहीं।

— अक्कल

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@ अक्षल मैं अलग होने की भीख माँगता हूँ। मान लीजिए कि सांख्यिकीविद् ने परिमित-लंबाई समय श्रृंखला ? क्या यह एक स्थिर श्रृंखला है? आप कैसे बता सकते हैं कि यह है (या नहीं है)? जब तक हमारे पास कई समय श्रृंखला (एक ही समय के उदाहरणों के लिए) उपलब्ध नहीं होती है, जिसमें से हम स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के बारे में अनुमान लगाने में सक्षम हो सकते हैं ("जी, द्वारा लिए गए मानों के हिस्टोग्राम बहुत ही समान हैं, चाहे की पसंद की परवाह किए बिना ") । लेकिन संख्याओं का एक क्रम? आप यह नहीं कह सकते हैं कि श्रृंखला स्थिर है या नहीं, लेकिन आप ऐसा मान सकते हैं कि अंतर्निहित स्टोचस्टिक प्रक्रिया मॉडल

1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1

$1,0,-1,0,1,0,-1$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— दिलीप सरवटे

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क्योंकि टिप्पणियों और उत्तरों में कई परेशान करने वाली विसंगतियां दिखाई दे रही हैं, आइए कुछ अधिकारियों को देखें।

जेम्स हैमिल्टन एक समय श्रृंखला को भी परिभाषित नहीं करते हैं, लेकिन वे स्पष्ट हैं कि कोई क्या है:

... नंबर का यह सेट अंतर्निहित स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का केवल एक संभावित परिणाम है जो डेटा उत्पन्न करता है। वास्तव में, भले ही हम एक अनंत समय के लिए प्रक्रिया का अवलोकन करने की कल्पना कर रहे थे, अनुक्रम पर पहुंचने अनंत अनुक्रम होगा अभी भी एक समय श्रृंखला प्रक्रिया से एक ही प्राप्ति के रूप में देखा जा सकता है। ... $T$
${y_{t}}_{t = \infty}^{\infty} = {\dots, y_{- 1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{T}, y_{T + 1}, y_{T + 2}, \dots,},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$
एक बैटरी की कल्पना करता ... अनुक्रम बनाने वाले कंप्यूटर , और प्रत्येक साथ तारीख से जुड़े अवलोकन का चयन करने पर विचार करें अनुक्रम: इसे रैंडम वेरिएबल के रियलाइजेशन के नमूने के रूप में वर्णित किया जाएगा । ... $I$ $\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$ $t$
${y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(2)}, \dots, y_{t}^{(I)}} .$ $\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$ $I$ $Y_t$

( समय श्रृंखला विश्लेषण , अध्याय 3.)

इस प्रकार, एक "टाइम सीरीज़ प्रक्रिया" यादृच्छिक चर का एक सेट है जो पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित होता । $\{Y_t\}$ $t$

में स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण, बर्न्ट क्सेंडल एक सामान्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का एक मानक गणितीय परिभाषा प्रदान करता है:

परिभाषा 2.1.4। एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक parametrized यादृच्छिक चर का संग्रह है एक प्रायिकता अंतरिक्ष पर परिभाषित और में मानों यह सोचते हैं ।
${X_{t}}_{t \in T}$ $\{X_t\}_{t\in T}$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$
पैरामीटर स्पेस आमतौर पर (इस पुस्तक की तरह) हाफलाइन , लेकिन यह एक अंतराल , गैर-नकारात्मक पूर्णांक और यहां तक कि सबसेट भी हो सकता है। लिए । $T$ $[0,\infty)$ $[a,b]$ $\mathbb{R}^n$ $n\ge 1$

दोनों को एक साथ रखकर, हम देखते हैं कि एक समय श्रृंखला प्रक्रिया पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है।

कुछ लोग "टाइम सीरीज़" का उपयोग टाइम सीरीज़ प्रक्रिया के बोध के लिए करते हैं (जैसे कि विकिपीडिया लेख में )। हम हैमिल्टन की भाषा में "टाइम सीरीज़ प्रक्रिया" के उपयोग द्वारा इस प्रक्रिया को वास्तविकता से अलग करने के लिए एक उचित प्रयास देख सकते हैं, ताकि वह वास्तविकताओं (या यहां तक कि डेटा) को संदर्भित करने के लिए "टाइम सीरीज़" का उपयोग कर सकें।

— व्हीबर
स्रोत

2

(+1) मुझे लगता है कि अंतिम पैराग्राफ विशेष रूप से महत्वपूर्ण है (यद्यपि सूक्ष्म)। मैं जोड़ना चाहता था, हालांकि, "निरंतर समय श्रृंखला" का विचार कभी-कभी देखा जाता है। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग केवल यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि चर स्वयं असतत के बजाय निरंतर है, लेकिन मैंने यह भी देखा है कि यह इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि समय का लगातार नमूना लिया जा रहा है , इसलिए "पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित" एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं हो सकती है। टाइम सीरीज के अंदर यहाँ देखें जैसे : ब्रॉकवेल और डेविस द्वारा सिद्धांत और तरीके।

— सिल्वरफिश

1

@Silverfish मैं उन टिप्पणियों की सराहना करता हूं। अंततः, हालांकि, मैं उन्हें सरल कारण के लिए असंबद्ध पाता हूं कि "श्रृंखला" का उपयोग गणितीय रूप से एक गणनीय डोमेन के साथ एक फ़ंक्शन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है । उस अवधारणा के भीतर "लगातार नमूना" शामिल नहीं किया जा सकता है। मैं आपकी टिप्पणियों को चुनौती नहीं दे रहा हूं कि कुछ लेखकों ने निरंतर समय की प्रक्रियाओं को "श्रृंखला" के रूप में संदर्भित किया हो सकता है - मैं केवल यह कह रहा हूं कि यदि यह मामला है, तो वे एक अच्छी तरह से स्थापित शब्दावली का दुरुपयोग कर रहे हैं।

— whuber

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मुझे लगता है कि इसमें "विवरण बनाम पर्चे" बहस की एक डिग्री है। "निरंतर समय श्रृंखला" का विचार निश्चित रूप से अल्पसंख्यक उपयोग है (मुझे आश्चर्य है कि अगर यह क्षेत्र-निर्भर है, तो मेरी सीमित समझ यह है कि सिग्नल प्रोसेसिंग लोग आमतौर पर "श्रृंखला" के बजाय "निरंतर समय संकेत" का उल्लेख करेंगे) और व्यक्तिगत रूप से मैं सहमत हूँ कि शब्द "श्रृंखला" तार्किक रूप से असतत नमूने के साथ अधिक सुसंगत है। मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि अल्पसंख्यकों का उपयोग अनसुना नहीं है, विशेषज्ञों के बीच भी, जो उत्पन्न होने वाले कुछ भ्रमों का कारण हो सकता है।

— सिल्वरफिश

@Silverfish, इस प्रकार, इस अल्पसंख्यक के लिए जो निरंतर समय श्रृंखला पर विचार करते हैं, स्टोचैस्टिक प्रक्रिया समय श्रृंखला के बराबर है?

— कोड पोप

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$\left\{X_t\right\}$

— Mwandri
स्रोत

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एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को परिभाषित करना

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $S$ $\mathbb{R}$

$\Omega$ $S$
- $t \in \mathcal{T}$ $X_t$
- $\omega \in \Omega$ $X(\omega)$ $X$

एक समय श्रृंखला को परिभाषित करना

जबकि एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में एक क्रिस्टल स्पष्ट, गणितीय परिभाषा है। एक समय श्रृंखला एक कम सटीक धारणा है, और लोग दो संबंधित लेकिन विभिन्न वस्तुओं को संदर्भित करने के लिए समय श्रृंखला का उपयोग करते हैं:

जैसा कि WHuber वर्णन करता है, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पूर्णांक या कुछ नियमित, समय की वृद्धिशील इकाई द्वारा अनुक्रमित होती है जो पूर्णांक में मैप द्वारा अर्थ में हो सकती है (उदाहरण के लिए। मासिक डेटा)।
नियमित अंतराल पर देखे गए आंकड़ों का संग्रह। यह एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का बोध हो सकता है जो पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित होती है। कभी-कभी इसे समय श्रृंखला डेटा के रूप में संदर्भित किया जाता है।

उदाहरण: एक सौदे के दो फ़्लिप

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$ $X_1, X_2$

X_{1} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{H T}} \\ 0 : & ω \in {ω_{T H}, ω_{T T}} \end{array}

$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

X_{2} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{T H}} \\ 0 : & ω \in {ω_{H T}, ω_{T T}} \end{array}

$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

$\{X_1, X_2\}$ $X$ $X(\omega_{HH}) = (H, H)$

— मैथ्यू गुन
स्रोत

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एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया और एक समय श्रृंखला के बीच का अंतर कुछ हद तक एक कीबोर्ड पर एक बिल्ली और स्टैक एक्सचेंज पर एक उत्तर के बीच का अंतर जैसा होता है: कीबोर्ड पर बिल्लियां उत्तर उत्पन्न कर सकती हैं, लेकिन कीबोर्ड पर बिल्लियां उत्तर नहीं हैं। इसके अलावा, हर उत्तर कीबोर्ड पर बिल्ली द्वारा निर्मित नहीं होता है।

एक समय श्रृंखला को समय-मूल्य-डेटा-पॉइंट जोड़े के संग्रह के रूप में समझा जा सकता है। दूसरी ओर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक गणितीय मॉडल या समय श्रृंखला के वितरण का गणितीय विवरण है। कुछ समय श्रृंखला स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं (दोनों में से एक) का एहसास है। या, किसी अन्य दृष्टिकोण से: मैं समय श्रृंखला उत्पन्न करने के लिए एक मॉडल के रूप में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का उपयोग कर सकता हूं।

इसके अलावा, समय श्रृंखला को अन्य तरीकों से भी उत्पन्न किया जा सकता है:

वे टिप्पणियों का परिणाम हो सकते हैं और इस प्रकार वास्तविकता से उत्पन्न होते हैं। जबकि मैं वास्तविकता को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मॉडल कर सकता हूं (मैं यह भी कह सकता हूं कि मैं वास्तविकता को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मानता हूं), वास्तविकता उसी तरह से एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया नहीं है जिस तरह से एक बॉक्स का इंटीरियर अंकों का एक सेट नहीं है (हालांकि हम अक्सर मॉडलिंग संदर्भों में दो समकक्षों के संबंध में)।
$x=2$

^{¹ यदि यह एक असतत समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। सतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया समय श्रृंखला के बजाय कार्यों का वितरण है।}

— Wrzlprmft
स्रोत

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यह स्पष्ट नहीं है कि आप किसी मॉडल और डेटासेट के बीच अंतर कर रहे हैं या आप कुछ अन्य बिंदु बनाने की कोशिश कर रहे हैं या नहीं। यह भी स्पष्ट नहीं है कि आप क्या करने के लिए एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया लेते हैं। (आप सभी ने कहा है कि यह "असतत-समय स्टोकैस्टिक प्रक्रिया" भी नहीं है ")) आपके एक्सपोजर में ये अनिश्चितताएं इसे सुलझाने के बजाय भ्रम में डाल सकती हैं।

— whuber

@ वाउचर: मैंने कुछ पहलुओं को स्पष्ट करने के लिए अपना जवाब संपादित किया, लेकिन मुझे लगता है कि आपने कुछ "नहीं भी" वाक्य को गलत समझा।

— Wrzlprmft

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मैं समय श्रृंखला बनाम स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के विषय पर सभी योगदान चर्चाओं / टिप्पणियों की सराहना करता हूं। यहाँ अंतर की मेरी समझ है: टाइम सीरीज़ एक घटना है, जो अवलोकन के समय के साथ अनुक्रमित संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में दर्ज की गई है; यह सबसे वास्तविक रूप से न्यूयॉर्क स्टॉक एक्सचेंज में स्टॉक की कीमतों जैसे वास्तविक जीवन की घटनाओं की टिप्पणियों की एक श्रृंखला है। दूसरी ओर, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को हमेशा समय-श्रृंखला के गणितीय प्रतिनिधित्व (उत्पादन नहीं) के रूप में समझा जाता है।

— मैगस
स्रोत

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं समय श्रृंखला की तुलना में अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए मार्कोव श्रृंखलाएं स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं जो समय श्रृंखला नहीं हैं।

— बजे माइकल आर। चेरिक

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@ मिचेल चेरिक: मार्कोव चेन परिभाषाओं के अनुरूप नहीं हैं: "पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर का एक सेट" और "पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया"? मार्कोव चेन की इन परिभाषाओं के कौन से भाग संतुष्ट नहीं करते हैं या आप इन परिभाषाओं से असहमत हैं?

— कलरस्टैटिस्टिक्स

क्या एक समय श्रृंखला एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के समान है?

एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को परिभाषित करना

एक समय श्रृंखला को परिभाषित करना

उदाहरण: एक सौदे के दो फ़्लिप