एक शोर साइन लहर के लिए संभावना वितरण

Question

मैं कुछ माप त्रुटि होने पर एक दोलन समारोह से नमूना बिंदुओं की संभावना वितरण की विश्लेषणात्मक रूप से गणना करने के लिए देख रहा हूं। मैंने पहले ही "शोर के बिना" भाग के लिए संभाव्यता वितरण की गणना कर ली है (मैं इसे अंत में डालूंगा), लेकिन मैं यह पता नहीं लगा सकता कि "शोर" को कैसे शामिल किया जाए।

संख्यात्मक अनुमान

स्पष्ट होने के लिए, कल्पना करें कि कुछ फ़ंक्शन जिसे आप अनियमित रूप से एक चक्र के दौरान अंक लेते हैं; यदि आप एक हिस्टोग्राम में बिंदुओं को बिन करते हैं तो आपको वितरण से संबंधित कुछ मिलेगा।$y(x) = \sin(x)$

बिना शोर के

उदाहरण के लिए यहाँ और संबंधित हिस्टोग्राम है$sin(x)$

शोर के साथ

अब अगर कुछ माप त्रुटि है तो यह हिस्टोग्राम के आकार को बदल देगा (और इसलिए मुझे लगता है कि अंतर्निहित वितरण)। उदाहरण के लिए

विश्लेषणात्मक गणना

इसलिए उम्मीद है कि मैंने आपको आश्वस्त किया है कि दोनों के बीच कुछ अंतर है, अब मैं लिखूंगा कि मैंने "शोर के बिना" मामले की गणना कैसे की:

बिना शोर के

$$y(x) = \sin(x)$$

फिर अगर हम जिस समय नमूना लेते हैं उसे समान रूप से वितरित किया जाता है तो लिए संभाव्यता वितरण को संतुष्ट करना होगा:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

तब से

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

इसलिए

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

जो उचित सामान्यीकरण के साथ "शोर" के मामले में उत्पन्न हिस्टोग्राम को फिट करता है।

शोर के साथ

तो मेरा सवाल है: मैं वितरण में शोर को विश्लेषणात्मक रूप से कैसे शामिल कर सकता हूं? मुझे लगता है कि यह एक चतुर तरीके से वितरणों को संयोजित करने जैसा है, या की परिभाषा में शोर भी शामिल है , लेकिन मैं विचारों और तरीकों से आगे निकल रहा हूं इसलिए कोई संकेत / सुझाव या यहां तक ​​कि पढ़ने की सिफारिश की जाएगी की सराहना की।$y(x)$

Answer 1

यह इस बात पर निर्भर करता है कि शोर प्रक्रिया कैसे संरचित है।

यह मानते हुए कि मैंने आपकी स्थिति को सही ढंग से समझा है, यदि शोर एडिटिव, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित किया जाता है, तो आप के घनत्व के साथ शोर घनत्व का दृढ़ संकल्प लेंगे ।$Y$

यदि एक चक्र को फिर से यादृच्छिक एक समान है, पर अपने शान्त प्रक्रिया सशर्त है , जो पतित है, मतलब के साथ और विचरण 0. के सीमांत वितरण उन पतित वितरण के एक समान मिश्रण है ; ऐसा लगता है कि आपने उस वितरण को सही ढंग से काम किया है; चलो कि घनत्व ।$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

यदि, उदाहरण के लिए आपका शोर , जिसे कहना है। , तब शोर के योग का घनत्व है, जो बिना किसी भिन्न चर के एक समान मिश्रण के साथ होता है।$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(यह दृढ़ संकल्प संख्यात्मक रूप से किया गया था; मुझे नहीं पता कि इस उदाहरण में कितना अभिन्न अंग है, क्योंकि मैंने इसका प्रयास नहीं किया था।)

Comments

अद्भुत सामान, मुझे "कनवल्शन" का विचार याद आ रहा था, क्योंकि आपके अंकज यह स्पॉट-ऑन हैं। बस एकीकरण का प्रयास करने के लिए मिला है। धन्यवाद

— ग्रेग

आपको यह अट्रैक्टिव लग सकता है, लेकिन आमतौर पर परिणाम को संख्यात्मक रूप से अनुमानित करना मुश्किल नहीं है।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 2

मुझे लगता है कि पी (एक्स) के लिए व्युत्पन्न अभिव्यक्ति दो के एक कारक से दूर है। समान रूप से वितरित नमूना समय अंतराल -पी, पीआई पर समान रूप से वितरित चरण के बराबर है। त्रिकोणमितीय विखंडन y अंतराल {-1,1} पर प्रायिकता वितरित करता है। इस अंतराल पर P (y) को एकीकृत करना = 1 होना चाहिए, 2 नहीं जैसा कि ऊपर दिए गए आपके इंटीग्रैंड का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। मुझे लगता है कि P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))

Comments

यह अच्छी तरह से हो सकता है, यही कारण है कि मैंने "उचित सामान्यीकरण के साथ" कहा था क्योंकि मैं उस समय इसके बारे में सोचने के लिए बहुत आलसी था। धन्यवाद।

— ग्रेग